有限元法的理论基础

有限元法的理论基础

1求解弹性力学问题方法概述

4弹性力学问题近似求解的加权残数法

2基于最小势能原理的变分法

3基于虚位移原理的变分法1求解弹性力学问题方法概述上图给出了求解弹性力学问题的5条途径：图3-4求解弹性力学问题的原理与方法框图1、①——①路径——直接法（从力平衡关系、几何关系以及物理关系出发，推导出一个或一组关于应力或者关于应变、有时是同时含有应力、应变的微分方程或偏微分方程，通过求解微分方程，解出应力、应变和变形量。）一、几种常用的能量原理和适用条件24、②——④——①或②——④——③路径，这两种方法都不经常使用。因为变分法比直接法使用的较晚，所以总是用变分法沿②——④路径推出控制方程，以证明变分的正确性。3、①——③路径，这是在已知控制方程的条件下经常使用的近似计算方法。（加权残数法）一、几种常用的能量原理和适用条件2、②——②路径——能量法这是经常使用的基于能量原理的近似计算方法。（变分法）3要利用能量原理去求解力学问题，必须会计算功（内力功、外力功）与能（外力势能、弹性能，如应变能）。与能量原理有关的基本知识4在弹性力学分析静力问题时，加载过程永远是逐加、缓加过程。在这一过程中，所有外加载荷都是由零逐渐加到它的额定值，由其引起的位移和应变也是由零逐渐达到它的额定值的。对于线弹性体，外力（内力）与其作用点的位移之间的关系，以及其应力与应变之间的关系都是线性关系（如图3－10所示）。（1）实功如图3－10（a）所示，力Pk在其作用方向上直接引起的位移vkk上所作的功叫做实功。对于线弹性体，Pk与vkk呈图3－10（b）所示的线性关系，实功的计算公式为：图3－10二向应力模型一功与能的计算5（2）虚功如图3－11所示，力Pk在别的原因（如Pm）引起的位移vkm上所做的功叫做虚功。其计算公式为：（3）应变能应变能是由内力（或应力）所做的实功来计算的。直粱弯曲应变能：图3－11二向应力模型一功与能的计算6（3）外力虚功计算公式式中vi——Pi对应的虚位移。式中——虚转角；M——原平衡力系引起的弯矩（4）内力虚功计算公式1）直粱弯曲内力虚功式中——虚转角；——原平衡力系引起的弯矩二、虚功原理2）一般弹性体的内力虚功式中—对应虚位移的虚应变；—原平衡力系引起的应力7总势能的计算包括弹性势能（以应变能形式表示）和外力势能两部分，对于不同的结构有不同的表达式。对于任何一个弹性结构，当有外力作用以后，必然会发生弹性变形，在这一变形过程中，结构会积蓄弹性势能，而作用其上的外力势能也会发生变化。根据能量原理可知，当该结构的能量最小时，它会达到稳定的平衡状态。最小势能原理：对于任何弹性结构，若其总势能表达为弹性位移（位移函数），则当它处于稳定平衡状态时，其总势能必取极小值。即达到稳定平衡状态的弹性体，真实的位移是使得弹性体的总势能取最小值时发生的位移三最小势能原理8（1）直粱的总势能有一受横向载荷的两端简支粱（如图3－12）所示，其弹性势能是由于粱弯曲变形引起的应变能，而外力势能是由于粱的扰度引起横向载荷势能的变化。设粱的扰度为v（x），弹性势能为2

，外力势能为1，由（3－18）式弹性势能为由外力势能的定义有：总势能＝1＋2，即（外力沿其正方向做功，总使其势能减小，故上式为负值）图3－12两端简支粱三、最小势能原理9（2）一般弹性体的总势能图3－13所示为一个一般体，其一部分边界为B1固定，其余的边界为B2自由；其体积力为q，在自由边界作用有分布力p。设其弹性势能为2，外力势能为1；再设q＝（qx

qy

qz）T，p＝（px

py

pz）T，＝（uvw）T，则由3－24式有：由外力势能的定义有：总势能＝1＋2，即图3－13受载的一般弹性体三、最小势能原理10（3）最小势能原理的数学表达式由最小势能原理可知，弹性体受力以后，其总势能就是其位移函数v或的泛函，而其平衡位置就是使取极小值的位置。因而最小势能原理的数学表达式为：三、最小势能原理112基于最小势能原理的变分法一、利用变分法推导控制方程图3-14受均布载荷简支粱1、求总势能（建立泛函）2、由最小势能原理求控制方程（求泛函极值）由最小势能原理可知，粱在外力作用下处于稳定平衡的条件是其总势能取极小值。即（3－32）式12将上式第一项中的微分变分符号互调，并将该式代入（3－32）式有由（3－30）式将上式的第一项分步积分两次变为（3－35）式中前两项给出了边界条件，而后一项则给出了控制方程。现按李景涌给出的三类边界条件分别写出。2基于最小势能原理的变分法13（3－35）式前两项得0，据变分法的基本预备定理，必得控制方程：（1）两端固定粱（2）两端简支粱2基于最小势能原理的变分法（3－35）式前两项得0，据变分法的基本预备定理，必得控制方程：14（3－35）式前两项得0，据变分法的基本预备定理，必得控制方程：（3）一端固定一端自由由对（3－35）式的分析可知，（3－22）式，也即＝0这个算式中已全部包含了由直接方法得出的控制方程和边界条件。由此，可以得到重要结论：2基于最小势能原理的变分法由变分法可以推出控制方程和相应的边界条件，然后去求解方程。这是②—④—①的思路。15由此可见，不去直接求解控制方程式（3－35），而直接利用＝0这一算式去寻求位移函数v（x），同样可以使问题得到解答。由（3－35）式可知，若能找到一个位移函数v(x)，它既满足（3－35）式的前两项（边界条件），又满足最后一项（控制方程），则它就是问题的精确解。但是，由于选择一个精确位移函数v(x)很不容易，在实际应用中往往只让v(x)精确地满足（3－35）式中的部分项，而近似地满足另外的项，这就是“利用变分法直接近似计算”的理论依据。2基于最小势能原理的变分法图3-1516（1）设位移函数根据位移边界条件vx=0=0，vx=l=0，设该方法是假设一位移函数v（x），只令其先满足位移边界条件，然后再通过＝0（最小势能原理）去近似满足力边界条件和平衡方程（控制方程）式。(以图3－12所示简支梁为例)（2）求（总势能）对上式进行积分得1）、里兹法17由（3－42）式可知，v（x）的函数形式是已知的，当它产生变分v时，只是它的幅值a产生一个微小变化a。当把（3－43）式代入（3－32）时，将有（3）由＝0求解a因为a不得为0，所以上式变为：故将（3－44）式代入（3－42）式得1）里兹法181）中点扰度（4）求各点的扰度、内力和应力精确解为1）里兹法2）各截面弯矩3）截面上任一点应力位移函数v（x）可以选取任何形式的函数，对项数和参数a的个数也没有限制，只要满足它们的边界条件即可。19（1）设位移函数该方法是在里兹法的基础上发展起来的，其特点是在设定位移函数时除了使v（x）满足位移边界条件外，还要求它满足力边界条件，然后通过＝0使其近似满足控制方程式。仍以图3－12所示简支粱为例进行介绍。（2）求（总势能）2）伽辽金法20由＝0求解a1、a2、a3上式进行积分得将（3－50）式代入（3－32）式有将上式中ai（i=1,2,3）相同的项合并，则2）伽辽金法代入（3－30）式，得21求解（3－53）式得由于ai的任意性，且不得为0，必有将（3－54）式代入（3－49）式有2）伽辽金法22（1）思路里兹法所设位移函数在全域内连续（如3－11）式），而有限元法所设位移函数是在单元内连续，在全域内并非完全连续（只一阶或二阶连续）。至于求解原理两个方法是相同的。将简支粱分为n个单元，其单元号与节点号如图3－16所示。若任一节点i处的扰度为vi，转角为i，则可以每个单元的插值函数：3）有限元法所连成的曲线作为粱的位移函数，如图（3－16）（b）所示。这样，在求总势能时沿粱长l的积分将变成沿每个单元长度le之和，即图3-16简支粱受弯的插值函数挠度曲线23将（3－57）代入（3－32）式将有式中由（3－59）式可知，只要求得每个单元的e，然后代入（3－59）式，就可以求得每个节点的vi和i（i=1，2，n，n+1），从而得到位移函数ve（x），使问题得解（因为在此，节点的位移vi，i是位移函数的待定系数）。3）有限元法24图（3－17）所示为任一单元（e）变形后的位移曲线ve（x），其在i，j节点处所示的位移与转角均为正方向。现设单元位移函数ve（x）（插值函数）为（2）求单元位移函数ve（x）式中ai（i=0，1，2，3）为待定系数。若其两端的位移与转角为已知，则由边界条件可求出ai。边界条件为：3）有限元法将和代入（3－61）有图3-17粱单元位移函数25将ai代入（3－60）式，并按vi，i，vj，j的顺序加以整理，则联立求解得上式就是插值形式的位移函数。写成矩阵形式为：（3－62）式可以进一步缩写成3）有限元法式中式中26（3－63）式中的Ni（i=1，2，3，4）叫做形状函数。在粱单元中，它表示一个两端固定粱只产生一个单位位移时粱弯曲成的形状。见图3－18。（3）形状函数3）有限元法图3－18粱单元的形状函数27再将（3－64）式写成如下形式：求e（单元总势能）由（3－64）式得：将(3-66),(3-67)式代入（3－58）式，有（4）求e因为Ni是x的已知函数，所以是由节点位移的变分eT而引起的。故（3－68）式的变分为：3）有限元法28对（3－70）式第一项进行积分将eT和e提到积分号外将Ni”代入（3－71）式并积分得：3）有限元法29对（3－70）式第二项进行积分将Ni代入（3－73）式并积分得：3）有限元法将（3－72），（3－74）式及e表达式代入（3－70）式得：30将（3－72）式和（2－9）式作比较发现，若不考虑轴向位移，（3－72）式恰是粱单元的刚度矩阵Ke，而（3－75）式中大括号内的第一项，恰是粱单元由节点位移vi，i，vi，j引起的节点力Vi，Mi，Vj，Mj。3）有限元法313）有限元法将（3－74）式和（2－29）式作比较发现，（3－74）式恰是承受均布载荷q的两端固定粱的固端反力，由上向下依次为V0i，M0i，V0j，M0j。由上面的分析，（3－75）式可写成下面的矩阵形式。32由（3－75）式可见，在eT与e中节点位移的排列顺序是一样的。若将（3－77）式各项按整个粱的节点顺序排列，并注意到＝（v11vn+1n＋1）的任意性，则由（3－77）式可得。（5）由＝0求解节点位移式中KZ是由每个单元刚度矩阵Ke集合而成（整体刚度矩阵），FZ0是由每个单元的固端反力集合而成，若将该矩阵前加“—”号，它就是等效节点载荷。3）有限元法将每个单元的e（如3－76式）代入（3－59）式，得：33将其移到等号右边，则（3－78）式变为：3）有限元