排列组合的解题常用策略

解排列组合的问题一般的思考过程如下：元素放进位置(1)弄清楚要做什么事.(2)怎么做才能完要做的事.(熟悉两个计数原理)即采取分步还是分类，或分步分类同时进行。(3)确定每一类或每一步是有序（排列）还是无序（组合）问题。元素总数多少，取多少个元素。(4)掌握一些常用的解题策略。常用的解题策略（1）特殊元素，特殊位置优先处理策略（2）相邻元素，捆绑策略（3）不相邻元素，插空策略（4）定序问题，倍缩策略，空位策略，插入策略（5）允许重复的排列问题，以元素为对象，求幂策略（6）排列组合混合问题，先选后排策略（7）元素相同，隔板策略（8）多类元素，分类，分步策略（9）平均分组，除法策略（11）正难则反，总体淘汰策略（10）树形图策略（1）特殊元素，特殊位置优先处理策略例1：由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.第一步：排末位，共有1，3,5三个选一个

第二步：排首位，共有除了0和末位选择的一个数字外，剩余4个数字

第三步：排其它位置共有其余的四个数字没限制，全排列由分步计数原理得

策略说明：位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,1）若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.2）若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。3）若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件4）在同一题里，是选择元素分析，还是位置分析，可以根据题目中的特殊元素，特殊位置个数较少的来选择。练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？元素分析位置分析（2）相邻元素，捆绑策略例2：7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有种不同的排法。策略说明要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为20（先思考，再看解析）解：四抢命中，即有四枪不命中。可以把不命中的四枪排开，则有5个空隙，

3枪连在一起，看成一个元素，与另外一枪（看成另一元素），安排放进5个空隙中。本题，既有捆绑，也有插空。（3）不相邻元素，插空策略例3：一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？第一步排2个相声和3个独唱共有（第一步跟顺序有关，排列问题）由分步计数原理,节目的不同顺序共有解:分两步进行第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有（第二步依旧与顺序有关，排列问题）策略说明元素不相邻问题可先把没有位置要求的元素进行排队，再把不相邻元素插入中间和两端。练习题1：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为（）

练习题2：马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？解：把此问题当作在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有（4）定序问题，倍缩策略，空位策略，插入策略例4：7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法。解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：

(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有种方法，其余的三个位置甲乙丙共有1种坐法，则共有种方法。（插入法)先排甲乙丙三个人,7个位置选择3（无序组合问题）有，因为定序，共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有

练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？（5）允许重复的排列问题，以元素为对象，求幂策略例5：把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有7种分法.把第二名实习生分配到车间也有

7

种分法依此类推,由分步计数原理共有策略说明允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为练习题：某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法2.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为42

（6）排列组合混合问题，先选后排策略例6：有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.解:第一步从5个球中选出2个组成一个复合元素共有第二步把4个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有根据分步计数原理装球的方法共有策略说明解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗?

练习题1：一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有

种练习题2：有6名男医生，4名女医生，从中选出3名男医生，2名女医生到5个不同的地区巡回医疗，但规定男医生甲不能到地区A，则共有多少种不同的分派方法？（7）元素相同，隔板策略例7：有10个远动员名额，分给7个班，每班至少一个，有多少种分配方案？解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成９个空隙。在９个空档中选６个位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有策略说明：元素相同时，才使用隔板法（与插入法区分）将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为练习1：有10个相同的小球，装入4个盒内，每个盒子至少有一个球，共有多少种不同的装法？练习2：（1）10个优秀指标分配给6个班级，每个班级至少一个，共有多少种不同的分配方法？（2）10个优秀指标分配到1、2、3三个班，若名额数不少于班级序号数，共有多少种不同的分配方法？分析：（1）这是同种元素的“不平均分组”问题.本小题可构造数学模型，用5个隔板插入10个指标中的9个空隙，既有种方法。按照第一个隔板前的指标数为1班的指标，第一个隔板与第二个隔板之间的指标数为2班的指标，以此类推，因此共有种分法.练习2：注：第一小题也可以先给每个班一个指标，然后，将剩余的4个指标按分给一个班、两个班、三个班、四个班进行分类，共有种分法.分析：

（2）先拿3个指标分给二班1个，三班2个，然后，问题转化为7个优秀指标分给三个班，每班至少一个.由（1）可知共有种分法练习2：（8）多类元素，分类，分步策略例8：在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法。第一类：只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有第二类：只会唱的5人中只有1人选上唱歌人员第三类：只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有由分类计数原理共有解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。以选上唱歌人员为标准进行研究*以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准*以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准*以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准本题还有如下分类标准：例9.在产品检验中，常从产品中抽出一部分进行检查.现有100件产品，其中3件次品，97件正品.要抽出5件进行检查，根据下列各种要求，各有多少种不同的抽法？(1)无任何限制条件；(2)全是正品；(3)只有2件正品；(4)至少有1件次品；(5)至多有2件次品；(6)次品最多.100个元素选5个元素构成正品（97）次品（3）第一类50第二类41第三类32第四类23或解答：（1）（2）（3）（4）（5）（6）策略说明解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有34

练习题：（9）平均分组，除法策略例10.6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？解:分三步取书得种方法,但这里出现重复计数的现象不妨记6本书为ABCDEF，若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF该分法记为(AB,CD,EF),则中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有故共有种分法。种取法,而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,平均分组，除法策略平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以(为均分的组数)避免重复计数。3.10名学生分成3组,其中一组4人,另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的分组方法（1540）练习题：1、将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队,有多少分法？2.某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为______（11）正难则反，总体淘汰策略有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰.具体做法：一）把题目中的限制条件去掉，求出整体；二）把限制条件改为反面，求出反面；三）整体减去反面。正难则反，总体淘汰策略在思想上，与补集，命题的否定，反证法的假设，对立事件是一致的。例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种？解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法。所取的三个数含有3个偶数的取法有,

这十个数字中有5个偶数5个奇数,只含有1个偶数的取法有,和为偶数的取法共有

,再淘汰和小于10的偶数共9种，则练习题：我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?（12）树形图策略3人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过5次传求后,球仍回到甲的手中,则不同的传球方式有______对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，树图会收到意想不到的结果1.同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？(9)号人不坐（2.分别编有1，2，3，4，5号码的人与椅，其中）的不同坐法有多少种？号椅全错位排列概率问题古典概形几何概形基本事件：和事件（并事件）：积事件（交事件）：互斥事件：对立事件：（1）求概率就是求两个排列组合数之比。（2）概率问题同样适用“分类加，分步乘”的运算法则。计数原理的应用-----概率问题①单独概率=②某条件成立的概率=1-该条件不成立的概率（对立事件）③总体概率=满足条件的各类情况概率之和（和事件）④总体概率=满足条件的各步情况概率之积（积事件）例13:学校要从30名候选人中选10名组成学生会，其中①求该班恰有2名同学被选到的概率。②求该班至少有2名同学被选到的概率。某个班有4名候选人，每名候选人有相同的机会被选到。①（单独概率：；）例13:学校要从30名候选人中选1