概率论课件 第1章第1讲事件与概率

第一章事件与概率§1.1随机事件和样本空间§1.2概率和频率§1.3古典概型§1.4概率的公理化定义及性质§1.5条件概率、§1.7贝努里概型§1.6独立性全概率与贝叶斯公式概率统计是研究随机现象数量规律的数学学科,理论严谨,应用广泛,发展迅速。目前，不仅高等学校各专业都开设了这门课程,而且从上世纪末开始，这门课程特意被国家教委定为本科生考研的数学课程之一。概率(或然率或几率)——随机事件出现的可能性的量度——起源：博弈问题。16世纪意大利学者研究掷骰子问题，17世纪中叶，法国数学家B.帕斯卡、荷兰数学家C.惠更斯基于排列组合的方法，解决了“合理分配赌注问题”。本学科的ABC数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、整理和分析带有随机性的数据，以对客观世界中随机现象的分析产生了概率论；使概率论成为数学的一个分支的真正奠基人是瑞士数学家J.伯努利；而概率论的飞速发展则在17世纪微积分学说建立以后。统计方法的数学理论要用到很多近代数学知识，如函数论、拓扑学、矩阵代数、组合数学等等，但关系最密切的是概率论，概率论是数理统计学的基础，数理统计学是概率论的一种应用。而它们又是两个并列的数学分支学科。对所考察的问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策和行动提供依据和建议的数学分支学科。本学科的应用概率统计理论与方法的应用几乎遍及所有科学技术领域：

1.气象、水文、地震预报、人口控制及预测都与概率论紧密相关；2.产品的抽样验收，新研制的药品能否3.寻求最佳生产方案要进行实验设计和数据处理；在临床中应用，均需要用到假设检验；

4.电子系统的设计,火箭卫星的研制与发射都离不开可靠性估计;

5.探讨太阳黑子的变化规律时，时间序列分析方法非常有用;

6.研究化学反应的时变率，要以马尔可夫过程来描述;

7.在生物学中研究群体的增长问题时提出了生灭型随机模型，传染病流行问题要用到多变量非线性生灭过程；法国数学家拉普拉斯说：“生活中最重要的问题，其中绝大多数在实质上只是概率的问题。”许多服务系统，如电话通信、船舶装卸、机器维修、病人候诊、存货控制、水库调度、购物排队、红绿灯转换等，都可用一类概率模型来描述，其涉及到的知识就是排队论。§1.1随机事件和样本空间

生活中最重要的问题，其中绝大多数在实质上只是概率的问题。-------拉普拉斯

我又转念，见日光之下，快跑的人未必能赢，力战的未必得胜，智慧的未必得粮食，明哲的未必得资财，灵巧的未必得喜悦，所临到众人的，是在乎当时的机会。---------传道书

概率论是研究随机现象的规律性的数学分支，为了对随机现象的有关问题作出明确的数学描述，像其它数学学科一样，概率论具有自己的严格的体系和结构。本章重点介绍概率论的两个基本概念：随机事件和概率。

在重力的作用下，物体的位移随时间变化的函数x(t)，由二阶微分方程来描述，其中g为重力加速度，这是确定的，必然的。

客观世界的两类现象，一类是在一定的条件下必然出现的现象，称之为必然现象。另一类是在一定的条件下可能出现也可能不出现的现象，称之为随机现象。⒈掷一枚硬币,观察向上的面;⒉下一个交易日观察股市的指数上升情况;⒊某人射击一次,考察命中环数;……⒈抛一石块,观察结局;⒉导体通电,考察温度;⒊异性电菏放置一起,观察其关系;……确定性现象：随机现象：

随机现象的统计规律性

虽然随机现象中出现什么样的结果不能事先预言，但是可以假定全部可能结果是已知的。在上述例子中，抛掷一枚硬币只会有“正面”与“反面”这两种可能结果，而股指的升跌幅度大小充其量假定它可能是任意的实数。可见“全部可能的结果的集合是已知的”这个假定是合理的，而且它会给我们的学习研究带来许多方便。

由于随机现象的结果事先无法预知，初看起来，随机现象毫无规律可言。然而人们发现同一随机现象在大量重复出现时，其每种可能的结果出现的频率却具有稳定性，从而表明随机现象也有其固有的规律性。这一点被历史上许多人的试验所证明。

进行一次试验，如果其所得结果不能完全预知，但其全体可能结果是已知的，则称此试验为随机试验。（1）可重复性：试验原则上可在相同条件下重复进行;（2）可观察性：试验结果是可观察的，所有可能的结果是明确的；随机试验的特点：（3）

随机性：每次试验将要出现的结果是不确定的，事先无法准确预知。下表列出Buffon等人连续抛掷均匀硬币所得的结果。从表中数据可以看到，当抛掷次数很大时，正面出现的频率非常接近0.5，就是说，出现正面与出现反面的机会差不多各占一半。

表1.1抛掷硬币试验试验抛硬币次数出现正面次数出现正面频率Buffon404020480.5069DeMorgan409220480.5005Feller1000049790.4979Pearson1200060190.5016Pearson24000120120.5005Lomanovskii80640396990.4923试验的结果表明，在相同条件下大量地重复某一随机试验时，各可能结果出现的频率稳定在某个确定的数值附近。称这种性质为频率的稳定性。样本空间随机试验的每一个可能的结果称为一个样本点，因而一个随机试验的所有样本点也是明确的，它们的全体，称为样本空间，习惯上分别用与表示样本点与样本空间。例1.抛掷两枚硬币观察其正面与反面出现的情况。其样本空间由四个样本点组成。即={(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}。这里，比如样本点=（正，反）表示第一枚硬币抛出正面而第二枚抛得反面。

例2.观察某电话交换台在一天内收到的呼叫次数，其样本点有可数无穷多个：i次，i=0,1,2,…，样本空间为={0次，1次，2次,…}

例4.观察一个新灯泡的寿命，其样本点也有无穷多个：t小时，样本空间为：

例3.连接射击直到命中为止。为了简洁地写出其样本空间，我们约定以“0”表示一次射击未中，而以“1”表示命中。则样本空间={1，01，001，…，0001，…}写出下列各个试验的样本空间:1掷一枚均匀硬币，观察正面(H)反面(T)出现的情况；2.将一枚硬币连抛三次，观察正面出现的情况；3.某袋子中装有5个球,其中3个红球,编号A、B、C,有2个黄球，编号D、F，现从中任取一个球,观察颜色.若是观察编号呢？课堂练习4.袋中有编号为1,2,3,…,n的球,从中任取一个,观察球的号码；5.从自然数1,2,3,…,N(N≥3)中接连随意取三个,每取一个还原后再取下一个.若是不还原呢？若是一次就取三个呢？6.接连进行n次射击,记录命中次数.若是记录n次射击中命中的总环数呢？7.观察某条交通干线中某天交通事故的次数。课堂练习我们时常会关心试验的某一部分可能结果是否出现。称这种由部分样本点组成的试验结果为随机事件，简称事件。通常用大写的字母A、B…等表示。某事件发生，就是属于该集合的某一样本点在试验中出现。记为试验中出现的样本点，那么事件A发生当且仅当时发生。由于样本空间包含了全部可能结果，因此在每次随机事件及其运算试验中都会发生，故称为必然事件。相反，空集不包含任何样本点，每次试验必定不发生，故称为不可能事件。1.事件的包含如果事件A发生必然导致B发生，则称事件B包含事件A，或称事件A包含于事件B。记作或

2.事件相等

如果事件A包含事件B，事件B也包含事件A，则称事件A与B相等。记作A=B。

3.事件的并“事件A与B至少有一个发生”这一事件称作事件A与B的并，记作。4.事件的交“事件A与B都发生”这一事件称作事件A与B的交,记作或AB。

5.事件的差“事件A发生而B不发生”这一事件称作事件A与B的差,记作A-B.B事件A与B不能同时发生，也就是说AB是不可能事件，即，则称A与B是互不相容事件.6.互不相容事件7.对立事件“事件A不发生”这一事件称作事件A的对立事件，记作，易见，AB

8.完备事件组设是有限或可数个事件，若满足：是一个完备事件则称组。显然，A与构成一个完备事件组。表1.2符号集合论概率论全集样本空间：必然事件空集不可能事件事件的关系和运算集合论的有关结论中的点（或称元素）样本点单点集基本事件的子集A事件A集合A包含在集合B中事件A包含于事件B中集合A与集合B相等事件A与事件B相等集合A与集合B的并事件A与B至少有一个发生集合A与集合B的交事件A与事件B同时发生集合A的余集事件A的对立事件集合A与集合B的差事件A发生而B不发生集合A与B没有公共元素事件A与B互不相容（互斥）推广:注:1.设事件A={甲种产品畅销，乙种产品滞销}，则A的对立事件为（

）①甲种产品滞销，乙种产品畅销；②甲、乙两种产品均畅销；③甲种产品滞销；④甲种产品滞销或者乙种产品畅销。课堂练习④2.设x表示一个沿数轴做随机运动的质点位置，试说明下列各对事件间的关系