V4第二章-稳态热传导-2014

1第二章稳态热传导22-1导热基本定律—傅里叶定律(1)温度场：某时刻空间所有各点温度分布的总称温度场是时间和空间的函数，即：三维非稳态温度场：三维稳态温度场：一维稳态温度场：二维稳态温度场：一、几个基本概念稳态温度场非稳态温度场3高炉铸钢冷却壁热面温度场4（2）等温面：同一时刻、温度场中所有温度相同的点构成的面(3)

等温线：用一个平面与各等温面相交，在这个平面上得到等温线簇，又称温度等值线。5(4)等温面和等温线的特点：

a温度不同的等温面或等温线彼此不能相交。

b在连续的温度场中，等温面或等温线不会中断，它们或者是物体中完全封闭的曲面（曲线），或者就终止与物体的边界上。

c热流总是垂直等温线或等温面传递的。一维稳态温度场：温度梯度是向量；指向温度增加方向（5）温度梯度：沿等温面法线方向上的温度增量与法向距离比值的极限。6二、导热的基本定律1、Fourier定律

傅里叶定律表明,导热热流密度的大小与温度梯度的绝对值成正比，其方向与温度梯度的方向相反。

对于各向同性物体对于一维平壁稳态导热常物性傅里叶定律揭示了连续温度场内热流密度与温度梯度关系。对于一维稳态导热问题可直接利用傅里叶定律积分求解,求出导热热流量。7*2.傅里叶定律的适用条件：

（1）傅里叶定律只适用于各向同性物体。对于各向异性物体，热流密度矢量的方向不仅与温度梯度有关,还与热导率的方向性有关,因此热流密度矢量与温度梯度不一定在同一条直线上。（2）傅里叶定律适用于工程技术中的一般稳态和非稳态导热问题，对于极低温（接近于0K）的导热问题和极短时间产生极大热流密度的瞬态导热过程,如大功率、短脉冲(脉冲宽度可达10-12～10-15s)激光瞬态加热等,傅里叶定律不再适用。xyqxqyqnxy8(1)物理意义：热导率的数值就是物体中单位温度梯度、单位时间、通过单位面积的导热量。热导率的数值表征物质导热能力大小，由实验测定。(2)影响因素：物质种类、材料成分、温度、湿度、压力、密度等2、导热系数(热导率)一些材料在280K时的导热系数

9（3）不同物质的导热系数彼此不同，即使是同一种物质，导热系数的值也随压力、温度以及该物质内部结构、湿度等因素而变化。通常由实验确定。气体0.006~0.6W/(mּK)；液体0.07~0.7W/(mּK)；金属6~470W/(mּK)；保温与建筑材料0.02~3W/(mּK)绝热保温材料λ<0.25W/(mּK)的材料，如石棉、膨胀珍珠岩、玻璃纤维制品等一般范围10（4）一般特性金属材料的导热系数比非金属材料为高，纯金属的导热系数又比合金高，各种纯金属中以

银的导热系数为最高。

气体的导热系数为最小，且在较大的压力范围内气体的导热系数只是温度的函数，与压力无关。除液态金属，液体材料中水的导热系数较大。各种材料导热系数随温度变化的规律不尽相同：

纯金属的导热系数一般随温度升高而下降；

气体导热系数随温度升高而增大；

除水和甘油外，液体导热系数一般随温度升高而增大；

保温与建筑材料大多数随温度升高而增大，还与材料的结构、孔隙度、密度和湿度有关。11参考温度时的导热系数

在一定温度范围内，大多数工程材料导热系数可以近似认为是温度的线性函数

122-2导热问题的数学描述（数学模型）

1.导热微分方程式导热微分方程式+单值性条件建立数学模型的目的：求解温度场假设：1）物体由各向同性的连续介质组成；

2）有内热源，强度为，表示单位时间、单位体积内的生成热，单位为W/m3

。1）选取物体中的微元体作为研究对象；导热数学模型的组成：方法：2）依能量守恒,根据傅里叶定律，建立微元体的热平衡方程式归纳、整理，最后得出导热微分方程式。

3）热导率、比热容和密度均为已知理论基础：Fourier定律+能量守恒定律导热微分方程式13dyyxodx根据能量守恒定律：导入微元体的总热流量-导出微元体的总热流量+

微元体内热源的生成热=微元体热力学能的增量a导入微元体的总热流量14b导出微元体的总热流量c内热源的生成热d热力学能的增量15a、b、c、d代入能量守恒定律得：——三维、非稳态、变物性、有内热源的导热微分方程。(1)若物性参数、c和均为常数：讨论导温系数；热扩散率——m2/s(2)无内热源、常物性：导热微分方程式建立了导热过程中物体的温度随时间和空间变化的函数关系。16(3)稳态、常物性：(4)稳态、常物性、无内热源：物理意义：表征物体传递热量的能力，或者说物体内部温度的扯平能力：如木材a=1.5×10-7

m2/s

、紫铜a=5.33×10-5

m2/s。分母c

表示物体的储热能力，c

越小，则有更多的热量向物体内部传递，从而使温度更快扯平。分子越大，在相同的温度梯度下，可以传导更多的热量；或者说，如果传递相同的热量，越大则所需要的温度梯度越小2.热扩散率(导温系数)17*圆柱坐标系下的导热微分方程式如果为常数：18*球坐标系下的导热微分方程式为常数时193.单值性条件

导热微分方程式推导过程中没有涉及导热过程的具体特点,为完整地描写某个具体的导热过程，必须说明导热过程的具体特点,即给出导热微分方程的单值性条件（或称定解条件），使导热微分方程式具有唯一解。

单值性条件一般包括：几何条件、物理条件、时间条件、边界条件。1)几何条件说明参与导热物体的几何形状及尺寸。2)物理条件说明导热物体的物理性质,例如物体有无内热源以及内热源的分布规律，给出热物性参数(、、c、a等)的数值及其特点等。3)时间条件

说明导热过程时间上的特点,是稳态导热还是非稳态导热。对于非稳态导热,应该给出过程开始时物体内部的温度分布规律（初始条件）：204)边界条件

说明导热物体边界上的热状态以及与周围环境之间的相互作用。例如,边界上的温度、热流密度分布以及边界与周围环境之间的热量交换情况等。

常见的边界条件分为以下三类:(a)第一类边界条件

给出边界上的温度分布及其随时间的变化规律：(b)第二类边界条件

给出边界上的热流密度分布及其随时间的变化规律：21(c)第三类边界条件给出与物体表面进行对流换热的流体的温度tf及表面传热系数h

。

根据边界面的热平衡，由傅里叶定律和牛顿冷却公式可得

第三类边界条件建立了物体内部温度在边界处的变化率与边界处对流换热之间的关系，也称为对流换热边界条件。

目前应用最广泛的求解导热问题的方法有:(1)分析解法、

(2)数值解法、

(3)实验方法。对数学模型进行求解,就可以得到物体的温度场,进而根据傅里叶定律就可以确定相应的热流分布。22

导热微分方程的适用范围：傅立叶导热过程。不适用的情况：非傅立叶导热过程各向异性物体。

极短时间(如10-8～10-10s)产生极大的热流密度的热量传递现象，如激光加工过程。极低温度(接近于0K)时的导热问题。微纳米尺度的导热问题。求解导热问题的思路：分析物理问题，确定相关的简化假设条件；确定适用物理问题的导热微分方程和定解条件；求解微分方程得到温度场的分布；代入傅立叶定律求解热流量和热流密度。232-3典型一维稳态导热分析解

1.单层平壁一维，稳态，常物性，无内热源直角坐标系温度分布热流密度

应用热阻的概念：导热系数λ如何取？导热系数与温度成线性关系常数线性分布一、通过平壁的导热24

2.多层平壁

热阻分析法适用范围：一维、稳态、无内热源t1t2t3t4t1t2t3t4热阻分析法第一层：第二层：第i层：n为层数热流密度：温度分布：25例2-1锅炉炉墙由三层材料组成：内层为耐火砖，厚度230mm，导热系数为1.1W/(mּK)；中间层为石棉隔热层，厚度为60mm，导热系数为0.1W/(mּK)；外层为红砖，厚度为240mm，导热系数0.58W/(mּK)；已知炉墙内、外表面的温度分别为500℃和50℃，试求通过炉墙的热流密度和各层接触面处的温度。解：26=500℃-368.9W/m2×0.21=422.5℃

=500℃-368.9W/m2×(0.21+0.60)=201.2℃

27例2-2高层建筑的双层整体玻璃窗高1.4m，宽1.6m，玻璃厚度为4mm，导热系数等于0.78W/(mK)。中间的空气夹层厚度为10mm。冬季室内室外的温度分别为21℃和5℃，内外表面传热系数分别等于8W/(m2K)和20W/(m2K)。试求通过这种玻璃窗的热流量和玻璃内外表面的温度。解：分析：在假设(1)常物性；(2)给定的表面传热系数为复合表面传热系数；(3)通过空气夹层的传热按纯导热对待后，本题成为对流边界条件下的一维多层平壁传热问题夹层中空气物性—导热系数暂按10℃取值λ=0.0251W/(mK)。28通过该玻璃的总散热量玻璃两侧的温度应分别等于讨论：(1)在相同的条件下，单层玻璃厚度6mm29(2)实际上，空气夹层中存在自然对流和辐射，综合传热水平大约近似为纯导热的一倍。可见，使用双层玻璃，散热热流降低了一倍以上。相应室内侧玻璃的温度大幅度提升。30例2-3混凝土砌块的单元结构和主要尺寸如图示。刚性泡沫的导热系数为0.032W/(mK)，钢筋混凝土的导热系数等于1.54W/(mK)，砖的导热系数为0.81W/(mK)。若墙内外侧的表面传热系数分别等于6W/(m2K)和14W/(m2K)，相应的空气温度为24℃和－10℃。求该传热过程的总热阻和单位表面积的传热量。解：假设：(1)复合壁仍维持一维导热；

(2)常物性；(3)表面传热系数为常量热阻网络图计算各导热热阻，注意各热阻对应的导热面积有所不同31R3、R4

、R5的并联总热阻R345为32包括墙壁两侧对流热阻在内的全部串连热阻总和等于一个砌块单元的传热量和折算成单位面积的传热量讨论：(1)复合平壁问题画出热阻网络后，与串并联电路求解方法雷同。

(2)严格说，3-4-5部分中已经不是一维导热了，但在一般的工程计算中允许作这种近似处理。

(3)如果去掉保温层，串连总热阻将减为0.956K/W，相应的热流密度增加到127W/m2，是上述结果的4.5倍。这充分说明了房屋外墙壁提高保温水平对建筑节能的重要性。33

二、通过圆筒壁的导热一维，稳态，常物性，无内热源温度分布热流密度对数曲线热流量与半径成反比常数，与半径无关直接利用傅立叶定律求热流量：1.单层圆筒壁二、通过圆筒壁的导热34

2.通过多层圆筒壁的导热

热阻分析法适用范围：一维、稳态、无内热源热阻分析法热流量温度分布n为层数逐层求解t2t3…tn35例2-4蒸汽管道的内径为160mm，外径为170mm。管外覆有两层保温材料，第一层的厚度δ1=30mm，第二层厚度δ2=50mm。设钢管和两层保温材料的导热系数分别为λ1=50W/(mּK)、λ2=0.15W/(mּK)和λ3=0.08W/(mּK)。若已知蒸汽管内表面温度t1=300℃，第二层保温材料的外表面温度t4=50℃，试求每米长蒸汽管的散热损失和各层接触面上的温度。解：由d1=0.16m、d2=0.17m

d3=d2+2δ1=0.23m，d4=d3+2δ2=0.33m每米长管道的热流量

36各层接触面上的温度

结果表明，由于钢管壁的导热热阻极小。因此两侧表面温度差很小，相对于绝热层，薄金属壁的热阻常可忽略不计。37例2-5输送高温水蒸气的碳钢金属管道外径159mm，壁厚6mm，导热系数为48W/(mK)。管外包覆2层隔热材料，内层为玻璃棉，厚5cm，导热系数0.058W/(mK)。外层为酚醛泡沫塑料，厚4cm，导热系数0.04W/(mK)。外侧空气的温度为25℃，表面传热系数为12W/(m2K)，管内蒸汽温度等于320℃，求该管道单位长度的散热量以及两层隔热材料之间的温度。假设(1)常物性；(2)空气表面传热系数为复合表面传热系数；(3)管内表面传热系数视为无限大，认为管道内壁温即等于320℃；(4)隔热层与钢管间以及两层隔热材料之间的热接触良好。解：分析：这是一侧恒壁温，另一侧对流边界条件下的一维多层圆筒壁的导热问题。38单位管长的散热量两层隔热材料之间的温度讨论：(1)金属管道的导热热阻在总热阻中所占比例极小，可以忽略不计；

(2)注意保温材料的使用温度范围不得超过允许值。39作业：2-42-92-122-162-1840

三、通过球壳的导热一维，稳态，常物性，无内热源球坐标系直接利用傅立叶定律求热流量：

41

四、第二类及第三类边界条件下的一维导热一维，稳态，常物性，无内热源直角坐标系

左侧为第二类边界条件右侧为第三类边界条件见p54~5542

五、通过变截面及变导热系数物体的导热导热系数与温度成线性关系：对于一维导热的第一类边界条件问题，如果求解的目的在于获得热流量的计算式，则可直接对傅里叶定律表达式做积分求解热流量。当导热系数为变数或者导热面积沿热流密度矢量方向改变时，上述方法特别有效。43一维稳态导热问题解析解小结：

求解导热问题的基本思路：物理问题、数学描述、求解导热微分方程得到温度分布、导热量计算。求解导热问题的两种基本方法：基于导热微分方程的数学求解、热阻分析方法。注意热阻分析方法的前提是在热量传递的方向上热流量为常数。导热系数的确定：一般采用平均温度下的导热系数。多层壁导热问题中需要迭代。如何判断是否为一维问题？

温度分布为一维：无限大平壁（仅厚度方向存在温度的变化）无限长圆壁（仅半径方向存在温度的变化）442-4通过肋片的稳态导热

第三类边界条件下通过平壁的一维稳态导热（传热过程）：强化传热的措施：增加内外侧流体的温差减小壁厚增加导热系数增加表面换热系数增加传热面积肋片（翅片）45

46

肋片的类型

肋片导热的特点在肋片伸展的方向上有表面的对流换热及辐射换热，因而热流量沿传递方向不断变化。肋片表面的所传递的热量都来自（或进入）肋片根部，即肋片与基础表面的相交面。分析目的：得出温度场、热流量。47

简化成一维：长度l>>高度H，假定肋片长度方向温度均匀分布；厚度方向的导热热阻δ/

λ<<表面传热热阻1/h，厚度方向温度均匀；已知：长度l，高度H，厚度δ，截面积Ac，截面周长P

肋根温度t0，流体温度t∞，导热系数λ，表面传热系数h（综合计入对流和辐射传热的影响），肋片顶端绝热。

求解：肋片温度分布及通过肋片的热流量。三维、稳态、常物性、无内热源48

分析思路导热微分方程能量守恒+傅立叶定律一维的稳态导热问题只需要给定高度方向x＝0，x＝H的边界条件。可以将厚度方向的表面对流换热处理为负的内热源。教材

49

分析思路导热微分方程能量守恒+傅立叶定律能量守恒：傅立叶定律：牛顿冷却公式：50

第一类边界条件绝热边界条件令，称为过余温度

这是一个二阶线性齐次常微分方程，通解为得微分方程为：令51

0::00====dxdHxxqqq应用边界条件可得：最后可得等截面内的温度分布：52

温度分布热流量等截面直肋片中的温度变化为一双曲函数.θx0θ0θLh由于肋片散入外界的全部热量都必须通过x=0处的肋根截面，于是53

两点说明：t0t∞0H(t0-t∞)/ch(mH)P61,例题2-6推导过程基于肋片末端绝热边界条件，适用于高而薄的肋片；如果必须考虑末端的散热，则可近似为H‘＝H+δ/2代入。不适用短而厚的肋片，此时为二维导热问题，可以采用数值求解。54

肋片的种类繁多，变截面肋的导热微分方程求解复杂。如何简便有效的评估肋片的散热量？肋效率表征肋片表面温度接近肋根温度的程度t0t∞0H肋效率＝阴影面积/虚线框面积肋片表面温度越接近肋根温度，则肋效率越高。等截面直肋55

等截面直肋故肋效率只与(mH)有关，mH

增加，ηf

减小肋片高度H

增加，效率降低（肋片高度并非越高越好）；肋片导热系数增加，m减小，效率增加；肋片厚度增加，m

减小，效率增加。56

肋片效率曲线：矩形及三角形直肋效率曲线矩形剖面环肋效率曲线可见，mH与参量有关，其与f关系曲线如图所示。这样，矩形直肋的肋片可以不用公式计算，而直接用图查出。肋片散热量的计算步骤：记AL=H为肋片纵剖面积,根据已知参数查图计算肋效率；假定肋表面温度＝肋根温度，计算理想散热量Ah(t0-t∞)；实际散热量＝肋效率×理想散热量。57

增加对流传热面积，但是同时增加了导热热阻。等截面直肋：δ/

λ≤0.25(1/h)，加肋片有益。肋片的选用：最小重量肋片：肋片是航天器辐射散热的唯一手段，但是需要综合考虑散热效果与航天器的重量——一定散热量下最小重量的肋片。散热最佳：抛物线截面