有限元分析的力学基础

第二章有限元分析的力学基础

本章主要内容2.1弹性力学同有限元分析的关系2.2弹性体的基本假设2.3弹性力学的基本变量2.4平面问题的基本力学方程2.5空间问题的基本力学方程2.6弹性问题中的能量表达2.7两大类平面问题本章要点变形体的三大类基本变量变形体的三大类基本方程及两类边界条件弹性问题中的能量表示平面应力、平面应变、刚体位移的特征及表达应力及应变的分解2.1弹性力学同有限元分析的关系弹性力学：弹性力学也称弹性理论，主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外界因素下所产生的应力、应变和位移，从而解决结构或机械设计中所提出的强度和刚度问题。是固体力学的重要分支，它研究弹性物体在外力和其它外界因素作用下产生的变形和内力。研究对象：包括杆状构件在内的各种形状的弹性体。弹性力学基本规律：变形连续规律、应力-应变关系和运动(或平衡)规律，它们有时被称为弹性力学三大基本规律。弹性力学中许多定理、公式和结论等，都可以从三大基本规律推导出来。2.1弹性力学同有限元分析的关系弹性力学同材料力学的比较1、研究内容：基本上没有什么区别。弹性力学也是研究弹性体在外力作用下的平衡和运动，以及由此产生的应力和变形。2、研究的对象：材料力学基本上只研究杆、梁、柱、轴等杆状构件，即长度远大于宽度和厚度的构件；弹性力学虽然也研究杆状构件，但还研究材料力学无法研究的板与壳及其它实体结构，即两个尺寸远大于第三个尺寸，或三个尺寸相当的构件。2.1弹性力学同有限元分析的关系弹性力学同材料力学的比较3、研究的方法：相同点：静力学、几何学与物理学三方面进行研究；不同点：材料力学：对构件的整个截面建立分析方程，引用一些截面的变形状况或应力情况的假设，因而得出的结果往往是近似的，不精确。弹性力学：对构件采用无限小单元体来建立分析方程的，因而无须引用那些假设，分析的方法比较严密，得出的结论也比较精确。所以，可以用弹性力学的解答来估计材料力学解答的精确程度，并确定它们的适用范围。2.1弹性力学同有限元分析的关系

从几何形状复杂程度来考虑可以分为：

1）简单形状变形体—材料力学

2）任意形状变形体—弹性力学任意变形体是有限元方法处理的对象，因而，弹性力学中有关变量和方程的描述是有限元方法的重要基础。

弹性力学的弱点：由于研究对象的变形状态较复杂，处理的方法又较严谨，因而解算问题时，往往需要冗长的数学运算。但为了简化计算，便于数学处理，它仍然保留了材料力学中关于材料性质的假定。2.2弹性力学中关于材料性质的假定连续性：亦即物体整个体积内部被组成这种物体的介质填满，不留任何空隙。这样，物体内的一些物理量，如应力、应变、位移等等才可以用座标的连续函数来表示。完全弹性：亦即当使物体产生变形的外力被除去以后，物体能够完全恢复原形，而不留任何残余变形。这样，当温度不变时，物体在任一瞬时的形状完全决定于它在这一瞬时所受的外力，与它过去的受力情况无关。服从虎克定律(应力应变成比例)均匀性：也就是说整个物体是由同一种材料组成的。这样，整个物体的所有各部分才具有相同的物理性质，因而物体的弹性常数(弹性模量和泊松系数)才不随位置座标而变。各向同性：也就是说物体内每一点各个不同方向的物理性质和机械性质都是相同的。物体的变形是微小的：亦即当物体受力以后，整个物体所有各点的位移都远小于物体的原有尺寸，因而应变和转角都远小于1，这样，在考虑物体变形以后的平衡状态时，可以用变形前的尺寸来代替变形后的尺寸，而不致有显著的误差；并且，在考虑物体的变形时，应变和转角的平方项或乘积项都可以略去不计，这就使得弹性力学中的微分方程都成为线性方程。2.2弹性力学中关于材料性质的假定2.3弹性力学基本变量基本变量2.3弹性力学基本变量外力：指其他物体对研究对象（弹性体）的作用力。可以分为体积力和表面力

1、表面力：是分布于物体表面的力，如静水压力，一物体与另一物体之间的接触压力等。2、体力：是分布于物体体积内的外力，如重力、磁力、惯性力等。均为矢量。弹性体受外力以后，其内部将产生应力（内力）2.3弹性力学基本变量内力：应力

--外力(或温度)的作用

内力

设作用于上的内力为,则内力的平均集度,即平均应力,为/这个极限矢量S,就是物体在截面mn上、P点的应力。应力就是弹性体内某一点作用于某截面单位面积上的内力2.3弹性力学基本变量正应力σ剪应力τ每一个面上的应力分解为一个正应力和两个剪应力正应力下标表示作用在垂直于轴的面上同时也沿着轴方向作用的剪应力加上两个角码，前一个角码表明作用面垂直于哪一个坐标轴，后一个角码表明作用方向沿着哪一个坐标轴。2.3弹性力学基本变量正面（外法线是沿着坐标轴的正方向）负面（外法线是沿着坐标轴的负方向）正面上的应力以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负负面上的应力以沿坐标轴负方向为正，沿坐标轴正方向为负正应力以拉应力为正，压应力为负2.3弹性力学基本变量剪应力互等定律：作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面交线的剪应力是互等的。(大小相等，正负号也相同)。因此剪应力记号的两个角码可以对调。不同的坐标表示应力张量一点的应力状态应变——形状的改变（形变）——长度的改变和角度的改变

应变和位移

为了分析物体在其某一点P的形变状态,在这一点沿着坐标轴x,

y,

z

的正方向取三个微小的线段PA,

PB,

PC。

2.3弹性力学基本变量正应变——各线段的每单位长度的伸缩,即单位伸缩或相对伸缩。以伸长为正、缩短为负剪应变——各线段之间的直角的改变,用弧度表示。以直角减小为正、增大为负。2.3弹性力学基本变量位移——就是位置的移动。物体内任意一点的位移,用它在x,y,z三轴上的投影，，来表示以正标向为正。一般而论,弹性体内任意一点的体力分量、面力分量、应力分量、应变分量和位移分量,都是随着该点的位置而变的,因而都是位置坐标的函数。

2.3弹性力学基本变量位移与应变的关系2.3弹性力学基本变量应变位移刚体位移位移刚体转动strain-displacementrelations.（几何方程柯西方程）应力分量的矩阵表示称为应力列阵或应力向量。弹性体在载荷作用下，将产生位移和变形，即弹性体位置的移动和形状的改变。弹性体内任一点的位移可由沿直角坐标轴方向的3个位移分量来表示。它的矩阵形式是：称作位移列阵或位移向量。基本方程受外部作用的任意形状变形体，在其微小体元dxdydz中，基于位移、应变和应力这三大类变量，可以建立以下三大类方程平衡方程：外力和内力之间的平衡关系几何方程：描述的是位移和应变之间关系物理方程：应力和应变之间的关系2.4平面问题的基本力学方程平衡方程：外力和内力之间的平衡关系几何方程：描述的是位移和应变之间关系物理方程：应力和应变之间的关系边界条件：平面(二维)平衡方程

平面问题的静力学平衡,设微小正六面体,在X,Y方向的尺寸dx,dy,Z方向的尺寸取一个单位长度.两个对面存在微小差量,通过中心点C,平行与Z轴的直线为轴,列出平衡方程上式两边除dxdy,可得:剪力互等关系以X轴为投影轴,满足平衡方程:上式两边除dxdy,可得:同理平面(二维)几何方程经过弹性体内任一点P,沿X轴和Y轴的方向取两个微小长度的线段PA=dx,PB=dy见图变形协调条件它的物理意义是：材料在变形过程中应该是整体连续的，不应该出现“撕裂”和“重叠”现象发生。写成矩阵形式为物理方程E称为杨氏模量反映材料对于拉伸或压缩变形的抵抗能力。

是泊松系数，描写材料横向收缩或膨胀的特性。线应变（相对伸长或压缩）

绝对伸长（或压缩）与原长之比称为相对伸长（或压缩）。公式：

其中：设想直杆横截面是正方形每边长为,横向形变后为。横向形变和纵向形变之比为泊松系数：

当时，为拉伸形变；时，为压缩形变，因而，它很好地反映形变程度。如直杆拉伸压缩时，还产生横向形变，则对应的应变(或形变)为：按照边界情况，弹性力学问题一般分为三类：

位移边界问题：在边界面上全部给定位移，即全部是Su

边界

应力边界问题：在边界面上全部给定表面力，即全部是应力边界。这时，外力（包括体力和面力）应是平衡力系。

混合边界问题：既有Su

边界，又有应力边界。二者可以分别在边界表面不同的区域上，或同一区域不同的方向上。边界条件在上弹性体的位移已知为

即有:

用矩阵形式表示是弹性体V的全部边界为S,一部分边界上已知外力称为力的边界条件，这部分边界用表示;另一部分边界上弹性体的位移已知，称为几何边界条件与位移边界条件，这部分边界用表示。这两部分边界构成弹性体的全部边界，即:

几何边界条件作用在任意平面上该点的应力分量可以由下式表示为：其中

2.5空间问题的基本力学方程平衡方程：外力和内力之间的平衡关系几何方程：描述的是位移和应变之间关系物理方程：应力和应变之间的关系边界条件：

平衡方程X方向负面X方向正面Y方向负面Y方向正面Z方向负面Z方向正面

X方向力平衡化简得Y方向力平衡化简得Z方向力平衡化简得如果这六个量在某点是已知的，就可以求得经过该点的任何面上的正应力和剪应力，因此，这六个量可以完全确定该点的应力状态，它们就称为在该点的应力分量。一般说来，弹性体内各点的应力状态都不相同，因此，描述弹性体内应力状态的上述六个应力分量并不是常量，而是坐标x、y、z的函数。六个应力分量的总体，可以用一个列矩阵来表示：

几何方程工程应变写成矩阵形式为几何方程可见，当弹性体的位移分量完全确定时，应变分量是完全确定的。反过来，当应变分量完全确定时，位移分量却不完全确定；这是因为，具有确定形状的物体，可能发生不同的刚体位移。为了说明这一点，试命：式中的u0,v0,w0,x,y,z是积分常数。u0——弹性体沿x方向的刚体移动v0——弹性体沿y方向的刚体移动w0——弹性体沿z方向的刚体移动x——弹性体绕x轴的刚体转动y——弹性体绕y轴的刚体转动z——弹性体绕z轴的刚体转动为了完全确定弹性体的位移，必须有六个适当的约束条件来确定这六个刚体位移。变形协调条件当6个应变分量满足以上应变协调方程时，就能保证得到单值连续的位移函数。当沿x轴方向的两个对面受有均匀分布的正应力时，在满足先前假定的材料性质条件下，正应力不会引起角度的任何改变，而其在x方向的单位伸长则可表以方程

弹性体在x方向的伸长还伴随有侧向收缩，即在y和z方向的单位缩短可表示为：方程既可用于简单拉伸，也可用于简单压缩，且在弹性极限之内，两种情况下的弹性模量和

泊松系数相同。应力分量与应变分量之间的关系----虎克定律物理方程设图中的弹性体在各面上都受有均匀分布的正应力，则合成应变的分量可用前面两式求得。实验证明，只须将三个应力中的每一应力所引起的应变分量叠加，就得到合成应变的分量。单位伸长与应力之间的关系完全由两个物理常数E及μ所确定。两个常数也可用来确定剪应力与剪应变之间的关系。公式的适用范围:

在线弹性范围内,小变形条件下,各向同性材料。如果弹性体的各面有剪应力作用任何两坐标轴的夹角的改变仅与平行于这两轴的剪应力分量有关，即得到：

正应变与剪应变是各自独立的。因此，由三个正应力分量与三个剪应力分量引起的一般情形的应变，可用叠加法求得；即将六个关系式写在一起，得弹性方程或物理方程，这种空间状态的应力应变关系称为广义虎克定律。写成矩阵形式为

边界条件XN,YN,ZN分别为作用在某一任意平面上的沿三个坐标轴方向的分量。对于已知应力边界条件的情况，相应的应力边界条件为

二维问题：

2个位移分量，3个应力分量，3个应变分量

2个平衡方程，3个几何方程，3个物理方程三维问题：3个位移分量，6个应力分量，6个应变分量

3个平衡方程，6个几何方程，6个物理方程我们得到的变量和方程都是从任意变形体中所取出来的微单元体来建立的，因此无论对象的几何形状和边界条件如何不同，其基本变量和基本方程是完全相同，不同之处在于边界条件，所以求解的难度是如何处理边界条件（几何形状）。2.5弹性问题中的能量表示能量分类1）施加外力在可能位移上所作的功(即外力在弹性变形过程中所做的功)。2）变形体由于变形而存储的能量(即由于变形而储存于弹性体内的能量)。主要是研究泛函及其极值的求解方法泛函：就是以函数为自变量的一类函数，简单地讲，泛函就是函数的函数。弹性力学变分法中所研究的泛函，就是弹性体的能量，如形变势能、外力势能等。因此，弹性力学中的变分法又称为能量法。取位移为基本未知函数2.5弹性问题中的能量表示2.5.1外力功施加外力在可能位移上所作的功，外力有两种，包括作用在物体上的面力和体力，这些力被假设为与变形无关的不变力系（保守力），则外力功包括这两部分力在可能位移上所作的功。2.5弹性问题中的能量表示2.5.2应变能以位移（或应变）为基本变量所表达的变形能叫做应变能（strainenergy）。它也包括两部分