【课件】余弦定理与正弦定理第1课时 课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

余弦定理与正弦定理第1课时导入新课情境中的问题可以转化为：已知b，c和角A，如何求a．问题1

隧道工程的设计，经常要测算山脚的长度，工程技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山脚B，C的距离，再利用经纬仪测出A对山脚BC（即线段BC）的张角，那么如何求出山脚的长度BC呢（如图）？

已知AB，AC，角A（两条边，一个夹角）ABC山新知探究问题2

在△ABC中，当C＝90°时，有c2＝a2＋b2，若a，b边的大小不变，变换角C的大小时，c2与a2＋b2有什么大小关系呢？当90°＜C＜180°时，－1＜cosC＜0，此时c2＞a2＋b2；据此看出，当C≠90°时，c2≠a2＋b2．当0°＜C＜90°时，0＜cosC＜1，此时c2＜a2＋b2．新知探究问题3

在问题2中，我们已经知道，当c≠90°时，c2≠a2＋b2，那么c2与a2＋b2到底有什么大小关系呢？如何探究？其它边也有类似的关系吗？

abcABC

＝a2＋b2－2abcosC，所以c2＝a2＋b2－2abcosC．同理可证：a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2accosB．所以其它边也有类似关系．新知探究问题3

在问题2中，我们已经知道，当c≠90°时，c2≠a2＋b2，那么c2与a2＋b2到底有什么大小关系呢？如何探究？其它边也有类似的关系吗？方法2：（坐标法）

所以a2＝（ccosA－b）2＋（csinA）2＝c2cos2A＋c2sin2A－2bccosA＋b2＝b2＋c2－2bccosA，同理可证b2＝c2＋a2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC．abcABCyx新知探究问题3

在问题2中，我们已经知道，当c≠90°时，c2≠a2＋b2，那么c2与a2＋b2到底有什么大小关系呢？如何探究？其它边也有类似的关系吗？方法3：（几何法）

∴a2＝CD2＋BD2＝（bsinA）2＋（c－bcosA）2＝b2sin2A＋c2＋b2cos2A－2bccosA当A为直角时：由勾股定理a2＝b2＋c2，又cosA＝0，∴a2＝b2＋c2－2bccosA成立，＝b2＋c2－2bccosA．当A为钝角同理可证．bcABCaD新知探究问题4

余弦定理和勾股定理有什么关系？余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．新知探究问题5

余弦定理及其变式有哪些？

追问：使用余弦定理可以解决哪些解三角形问题？①已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；②已知三边，求三个角．新知探究问题6

三角形的面积公式是什么？能用角表示吗？如何表示？能，如图，因为h＝bsinA＝asinb，

同理得

．

ACBhbca初步应用例1

如图，有两条直线AB和CD相交成80°角，交点为O．甲、乙两人同时从点O分别沿OA，OC方向出发，速度分别为4km/h，4.5km/h．3h后两人相距多远？（精确到0.1km）

3h后两人相距16.4km．（详解参考教材P109例1的解析．）BOPADQC80°初步应用

DCBA111

（详解参考教材P109例2的解析．）cos∠BAD＝

≈0.1691，

即∠BAD≈80°．初步应用（1）m＝1；（2）△ABC面积的最大值为

．

（详解参考教材P110例3的解析．）

（1）若mbc＝b2＋c2－a2，求实数m的值；

课堂练习练习：教科书第110页练习1，2，3．归纳小结（1）这节课我们发现了什么新知识？我们是如何研究它的？（2）余弦定理的变式有哪些？三角形的面积公式是什么？问题3

本节课收获了哪些知识，请你从以下几方面总结：（1）我们发现了余弦定理，三角形面积公式的另一种表达形式；

（2）变式：

归纳小结（3）余弦定理的应用有哪些？（4）你有什么困惑吗？问题3

本节课收获了哪些知识，请你从以下几方面总结：（3）余弦定理的应用：①已知三边，求三个角；（4）困惑是：……②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．作业布置作业：教科书第123页，A组3，4，5，6．1目标检测A在△ABC中，

，BC＝1，AC＝5，则AB＝（）

解析：∵

，

∴

得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC＝52＋12－2×5×1×＝32，

2目标检测C

在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，若c2＝（a－b）2＋4，C＝

，则△ABC的面积是（）A．

B．3

又由余弦定理可得：c2＝a2＋b2－ab，解得：ab＝4，解析：∵c2＝（a－b）2＋4＝a2＋b2－2ab＋4，C＝

，

∴4－2ab＝－ab，∴

3目标检测D在△ABC中，a∶b∶c＝3∶5∶7，则△ABC的最大角是（）A．30°C．90°D．120°B．60°解析：由a∶b∶c＝3∶5∶7，知最大边为c，∴最大角为C，设a＝3k，b＝5k，c＝7k（k＞0），则

又0°＜C＜180°，∴C＝120°．4目标检测△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＝7，c