指数函数、对数函数、幂函数图像与性质

..指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质〔一指数与指数函数1．根式〔1根式的概念根式的概念符号表示备注如果,那么叫做的次方根当为奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数零的次方根是零当为偶数时,正数的次方根有两个,它们互为相反数负数没有偶次方根n为奇数n为偶数〔2n为奇数n为偶数①；②〔注意必须使有意义。2．有理数指数幂〔1幂的有关概念①正数的正分数指数幂:。②正数的负分数指数幂:③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.注：分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根式的运算。〔2有理数指数幂的性质①aras=ar+s<a>0,r、s∈Q>。②<ar>s=ars<a>0,r、s∈Q>。③<ab>r=arbs<a>0,b>0,r∈Q>。.3．指数函数的图象与性质y=axa>10<a<1图象定义域R值域〔0,+性质〔1过定点〔0,1〔2当x>0时,y>1。x<0时,0<y<1<2>当x>0时,0<y<1。x<0时,y>1<3>在〔-,+上是增函数〔3在〔-,+上是减函数注：如图所示,是指数函数〔1y=ax,〔2y=bx,〔3,y=cx〔4,y=dx的图象,如何确定底数a,b,c,d与1之间的大小关系？提示：在图中作直线x=1,与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值,即c1>d1>1>a1>b1,∴c>d>1>a>b。即无论在轴的左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大。〔二对数与对数函数1、对数的概念〔1对数的定义如果,那么数叫做以为底,的对数,记作,其中叫做对数的底数,叫做真数。〔2几种常见对数对数形式特点记法一般对数底数为常用对数底数为10自然对数底数为e2、对数的性质与运算法则〔1对数的性质〔：①,②,③,④。〔2对数的重要公式：①换底公式：；②。〔3对数的运算法则：如果,那么①；②；③；④。3、对数函数的图象与性质图象性质〔1定义域：〔0,+〔2值域：R〔3当x=1时,y=0即过定点〔1,0〔4当时,；当时,〔4当时,；当时,〔5在〔0,+上为增函数〔5在〔0,+上为减函数注：确定图中各函数的底数a,b,c,d与1的大小关系提示：作一直线y=1,该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数。∴0<c<d<1<a<b.4、反函数指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称。〔三幂函数1、幂函数的定义形如y=xα〔a∈R的函数称为幂函数,其中x是自变量,α为常数注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同,幂函数的自变量在底数位置,而指数函数的自变量在指数位置。2、幂函数的图象注：在上图第一象限中如何确定y=x3,y=x2,y=x,,y=x-1方法：可画出x=x0；当x0>1时,按交点的高低,从高到低依次为y=x3,y=x2,y=x,,y=x-1；当0<x0<1时,按交点的高低,从高到低依次为y=x-1,,y=x,y=x2,y=x3。3、幂函数的性质y=xy=x2y=x3y=x-1定义域RRR[0,值域R[0,R[0,奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x∈[0,时,增；x∈时,减增增x∈<0,+>时,减；x∈<-,0>时,减定点〔1,1三：例题诠释,举一反三知识点1：指数幂的化简与求值例1.<2007育才A>〔1计算：；〔2化简：变式：〔2007执信A化简下列各式〔其中各字母均为正数:〔1〔2<3>知识点2：指数函数的图象及应用例2.<2009广附A>已知实数a、b满足等式,下列五个关系式：①0＜b＜a。②a＜b＜0。③0＜a＜b。④b＜a＜0。⑤a=b.其中不可能成立的关系式有〔A.1个B.2个C.3个D.4个变式：〔2010华附A若直线与函数且的图象有两个公共点,则a的取值范围是_______.知识点3：指数函数的性质例3.〔2010省实B已知定义域为的函数是奇函数。〔Ⅰ求的值；〔Ⅱ判断函数的单调性。〔Ⅲ若对任意的,不等式恒成立,求的取值范围．变式：〔2010XXB设a＞0,f<x>=是R上的偶函数.〔1求a的值；〔2求证：f<x>在〔0,+∞上是增函数.知识点4：对数式的化简与求值例4.〔2010XXA计算：〔1〔22<lg>2+lg·lg5+。〔3lg-lg+lg.变式：〔2010XXA化简求值.〔1log2+log212-log242-1。〔2<lg2>2+lg2·lg50+lg25。〔3<log32+log92>·<log43+log83>.知识点5：对数函数的性质例5.〔2011XXA对于,给出下列四个不等式：①②；③④其中成立的是〔〔A①与③〔B①与④〔C②与③〔D②与④变式：〔2011XXA已知0＜a＜1,b＞1,ab＞1,则loga的大小关系是〔A.logaB.C.D.例6.〔2010XXB已知函数f<x>=logax<a＞0,a≠1>,如果对于任意x∈［3,+∞都有|f<x>|≥1成立,试求a的取值范围.变式：〔2010广雅B已知函数f〔x=log2<x2-ax-a>在区间〔-∞,1-］上是单调递减函数.求实数a的取值范围.知识点6：幂函数的图象及应用例7.<2009XXB>已知点在幂函数的图象上,点,在幂函数的图象上．问当x为何值时有：〔１；〔２；〔３．变式：〔2009揭阳B已知幂函数f<x>=x〔m∈Z为偶函数,且在区间〔0,+∞上是单调减函数.〔1求函数f<x>。〔2讨论F〔x=a的奇偶性.四：方向预测、胜利在望1．〔A函数的定义域为〔A．<1,4>B．[1,4>C．<－∞,1>∪<4,＋∞>D．<－∞,1]∪<4,＋∞>2.〔A以下四个数中的最大者是〔<A><ln2>2 <B>ln<ln2> <C>ln <D>ln23〔B设a>1,函数f<x>=logax在区间［a,2a］上的最大值与最小值之差为则a=<><A>〔B2〔C2〔D44.〔A已知是周期为2的奇函数,当时,设则〔 〔A〔B〔C〔D5.〔B设f<x>=则不等式f<x>>2的解集为〔<A>〔1,2〔3,+∞<B>〔,+∞<C>〔1,2〔,+∞<D>〔1,26．〔A设,,,则〔Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．7．<A>已知,则<> A． B．C．D．8．〔B下列函数中既是奇函数,又是区间上单调递减的是〔〔A<B><C><D>9.〔A函数的定义域是：〔ABCD10.<A>已知函数的图象有公共点A,且点A的横坐标为2,则〔A．B．C．D．11．〔B若函数、三、四象限,则一定有〔 A．B．C．D．12．<B>若函数在区间上的最大值是最小值的3倍,则a=〔A.B.C.D.13.<A>已知0＜x＜y＜a＜1,则有〔〔A〔B〔C〔D14.〔A已知,那么等于〔 〔A 〔B8 〔C18 〔D15．〔B函数y＝lg|x|〔A．是偶函数,在区间<－∞,0>上单调递增B．是偶函数,在区间<－∞,0>上单调递减C．是奇函数,在区间<0,＋∞>上单调递增D．是奇函数,在区间<0,＋∞>上单调递减16.〔A函数的定义域是____________________________.17．〔B函数的图象恒过定点,若点在直线上,则的最小值为．18．〔A设则__________19．〔B若函数f<x>=的定义域为R,则a的取值范围为___________.20．<B>若函数是奇函数,则a=．21.<B>已知函数,求函数的定义域,并讨论它的奇偶性和单调性.参考答案：三：例题诠释,举一反三例1.解：〔1,〔2变式：解：〔11,〔2<3>110例2.解：B变式：解：；例3.解：〔Ⅰ〔Ⅱ减函数。〔Ⅲ变式：解：〔1a=1.〔2略例4.解：〔1-1.〔21.〔3.变式：解：<1>〔22.〔3例5.解：选D。变式：解：C例6.解：<1,3］∪［,1变式：解：{a|2-2≤a＜2}例7.解：〔1当或时,；〔2当时,；〔3当且时,．变式：解：〔1f<x>=x-4.〔2F〔x=,∴F〔-x=+bx3.①当a≠0,且b≠0时,F〔x为非奇非偶函数；②当a=0,b≠0时,F〔x为奇函数；③当a≠0,b=0时,F〔x为偶函数；④当a=0,b=0时,F〔x既是奇函数,又是偶函数.四：方向预测、胜利在望1—5ADDDC；6—10AADDA；11