【课件】平面向量基本定理 课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

平面向量基本定理新知探究问题1

给定平面内非零向量e1，如何作出2e1，

？作出图象如图．

e12e1

新知探究问题2

平面内，与e1共线的任意向量都能用e1表示出来吗？根据共线向量，都能表示出来．问题3

平面内还有很多与e1不共线的向量，很显然，只用e1表示不了它们，那么最少可以几个向量表示它们？最少用两个不共线向量表示．新知探究问题4

如图中的任意向量a如何用不共线的向量进行表示？e1e2a如图，所以a＝λ1e1＋λ2e2．

OABNMC新知探究问题5

如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？不一定，当a与e1共线时可以表示，否则不能表示．新知探究问题6

你能叙述平面向量基本定理吗？向量的基、正交基、标准正交基有区别吗？平面向量基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任意一个向量a，存在唯一的一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．有，不共线的向量e1，e2叫向量的一组基，记为{e1，e2}．标准正交基，指的是基中的两个向量是相互垂直的单位向量．而正交基，是基中的两个向量互相垂直，新知探究问题7

若存在λ1，λ2∈R，μ1，μ2∈R，且a＝λ1e1＋λ2e2，a＝μ1e1＋μ2e2，那么λ1，μ1，λ2，μ2有何关系？由已知得λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，即（λ1－μ1）e1＝（μ2－λ2）e2．∵e1与e2不共线，∴λ1－μ1＝0，μ2－λ2＝0，∴λ1＝μ1，λ2＝μ2．新知探究由于e1，e2不共线，则e1，2e2不共线，所以①③中的向量组都可以作为基；因为e1与2e1共线，e2与2e2共线，所以②④中的向量组都不能作为基．问题8

设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基的是____________．①e1，e2；②e1，2e1；③e1，2e2；④e2，2e2．②④初步应用

ABCDFEab

解：根据题意得所以

同理初步应用

解：根据题意，得

所以

同理初步应用例3

如图，在△ABC中，点M是边BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC．AM与BN相交于点P，则AP∶PM＝（）

因为A，P，M和B，P，N分别共线，

A．1∶4B．4∶1C．4∶5D．5∶4ABPNCM

初步应用例3

如图，在△ABC中，点M是边BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC．AM与BN相交于点P，则AP∶PM＝（）A．1∶4B．4∶1C．4∶5D．5∶4ABPNCM所以AP∶PM＝4∶1．所以

B由平面向量基本定理，

课堂练习练习：教科书第95页练习1，2，3，4．归纳小结（1）这节课我们发现了什么新知识？我们是如何研究它的？（2）如何用基表示向量？平面向量基本定理好在哪里？问题9

本节课收获了哪些知识，请你从以下几方面总结：（1）我们发现了平面向量基本定理，利用向量的线性运算研究它；（2）用基表示向量的两种方法：①运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止．（3）困惑是：……（3）你有什么困惑吗？②通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．作业布置作业：教科书第100页，A组1，2，3，4，5．1目标检测D

A．a－

bB．

a－bC．b＋D．b－

a

故选D．

＝－a＋b＋

a＝b－

a，

a2目标检测A

A．－a＋

bB．a－

bC．D．

又∵EF∥BC，解析：∵

，

∴

．

∴