【教案】变化率问题（第2课时）教学设计-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第五章一元函数的导数及其应用《5.1.1变化率问题》教学设计第2课时教学目标教学目标1．通过求曲线上某点处切线斜率的过程，体会求切线斜率的一般方法.2.理解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念．教学重难点教学重难点教学重点：理解曲线上某点处切线斜率的概念及算法教学难点：理解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念课前准备课前准备PPT课件．教学过程教学过程【新课导入】问题1：阅读课本第62~64页，回答下列问题：（1）本节将要探究哪类问题？（2）本节探究的起点是什么？目标是什么？师生活动：学生带着问题阅读课本，并在本节课中回答相应问题．预设的答案：（1）本节课主要学习变化率问题：曲线上某点处切线斜率的问题．（2）总结归纳出一般函数的平均变化率概念和瞬时变化率的概念，在此基础上，要求学生掌握函数平均变化率和瞬时变化率解法的一般步骤．平均变化率是个核心概念，它在整个高中数学中占有及其重要的地位，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础．在这个过程中，注意特殊到一般、数形结合等数学思想方法的渗透．一般曲线的切线的概念与学生熟悉的圆的切线的定义方式不同，学生不易理解，因此曲线的切线概念是本节的教学难点．通过本节的学习，学生的数学抽象和直观想象素养将得以提升．设计意图：通过阅读读本，让学生明晰本阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架．问题2：什么叫直线与圆相切？师生活动：学生回顾并回答．预设的答案：如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切．对于一般的曲线C，如何定义它的切线呢？设计意图：通过复习直线与圆相切，引出问题，进入新课．【探究新知】知识点1：曲线在某点处的切线我们以抛物线f（x）=x2为例进行研究．问题3：如何定义抛物线在点处的切线？师生活动：学生思考，尝试回答，教师讲解．与研究瞬时速度类似，为了研究抛物线在点处的切线，我们通常在点的附近任取一点，考察抛物线的割线的变化情况.如图，当点无限趋近于点时，割线无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线称为抛物线在点处的切线.知识点2：曲线在某点处的切线斜率抛物线在点处的切线的斜率与割线的斜率有内在联系.记，则点的坐标是.于是，割线的斜率.我们可以用割线的斜率近似地表示切线的斜率，并且可以通过不断缩短横坐标间隔来提高近似表示的精确度，得到如下表格.…………当无限趋近于0时，即无论从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，割线的斜率都无限趋近于2.事实上，由可以直接看出，当无限趋近于0时，无限趋近于2.我们把2叫做“当无限趋近于0时，的极限”，记为.从几何图形上看，当横坐标间隔无限变小时，点P无限趋近于点，于是割线无限趋近于点处的切线.这时，割线的斜率无限趋近于点处的切线的斜率.因此，切线的斜率.【巩固练习】例1已知函数，求该函数在点x＝1处的切线斜率．师生活动：学生分组讨论，每组派一代表回答，教师完善．预设的答案：∵，∴斜率k＝．设计意图：通过求曲线上某点处切线斜率的问题，加深学生对曲线在某点处的切线和切线斜率的理解，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养．方法总结：求曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线斜率(1)计算，（2）计算，该值即为曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线斜率．例2已知函数f(x)＝3x2＋5，曲线y=f（x）在点（（x0，f（x0））处的切线方程．师生活动：学生分组讨论，每组派一代表回答，教师完善．预设的答案：因为f(x)＝3x2＋5，所以Δy=f(x0＋Δx)－f(x0)＝3(x0＋Δx)2＋5－(3x02＋5)=3x02＋6x0Δx＋3(Δx)2＋5－3x02－5＝6x0Δx＋3(Δx)2.所以，所以，所以曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线斜率为6x0，所以曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程为，即．方法总结：求曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程(1)计算，（2）计算，即曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线斜率为．（3）写出切线方程．设计意图：通过求曲线上某点处切线的方程问题，进一步加深学生对曲线在某点处的切线的理解，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养．练习：教科书P64练习1、2设计意图：通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养．【课堂总结】1．板书设计：5.1.1变化率问题新知探究巩固练习知识点1：曲线在某点处的切线例1知识点2：曲线在某点处的切线斜率例22．总结概括：（1）什么叫曲线在某点处的切线；（2）如何求曲线在某点处的切线斜率．师生活动：学生总结，老师适当补充．设计意图：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力．3．课堂作业：教科书P70习题5.12、4、7【目标检测设计】1.在曲线上取一点及附近一点，则曲线在点处的切线的斜率为()A. B.2 C. D.设计意图：让学生进一步理解曲线在某点处的切线及切线斜率的求解.2.已知曲线上两点，当时，割线的斜率为_______.

设计意图：让进一步理解曲线的割线．3．求曲线在x＝2处的切线的方程．设计意图：让学生进一步理