大学物理之机械波

第七章机械波17.1

机械波的产生与传播7.2

平面简谐波7.3

波的能量7.4

惠更斯原理7.5

波的干涉7.6

驻波7.7

多普勒效应第七章机械波27.1机械波的产生与传播一、机械波的产生产生条件（1）波源；（2）弹性介质。波动只是振动状态在媒质中的传播，介质的各质点并不随波传播，只在各自的平衡位置附近振动。机械波机械振动在弹性介质中的传播。注意3横波质点振动方向与波的传播方向垂直。二、横波与纵波特征具有交替出现的波峰和波谷。4纵波质点振动方向与波的传播方向平行。特征具有交替出现的密部和疏部。5三、波线和波面波线沿波的传播方向画的带箭头的线。波面在波的传播过程中，任一时刻媒质中各振动相位相同的点联结成的面。在任一时刻，波面可以有任意多个。在任一时刻，只有一个波前。在各向同性的介质中，波线与波面垂直。波前在任一时刻，由波源最初振动状态传到的各点所连成的曲面。6*球面波平面波波前波面波线7四、波长周期频率波速OyAA-1.波长λ波传播时，同一波线上两个相邻的、相位差为2π的质点之间的距离。2.周期T波前进一个波长的距离所需要的时间。8(2)波的频率

与媒质的性质无关。说明(1)波长反映了波的空间周期性。周期表征了波的时间周期性。3.频率ν周期的倒数，即单位时间内波动所传播的完整波的数目。4.波速u振动状态（即振动相位）在媒质中的传播速度（也叫相速）。9a.拉紧的绳子或弦线中横波的波速b.均匀细棒中，纵波的波速(3)波速u

大小主要决定于媒质的性质。T—张力μ—线密度Y—固体棒的杨氏模量ρ—固体棒的密度c.液体和气体只能传播纵波，波速B—液体或气体的体积模量ρ—液体或气体的密度107.2平面简谐波简谐波如果所传播的是谐振动，且波所到之处，媒质中各质点均作同频率、同振幅的谐振动，这样的波即为简谐波。平面简谐波波面为平面的简谐波。说明(1)复杂的波可分解为一系列简谐波。(2)平面简谐波各处振幅相同。11一、平面简谐波的波函数波函数介质中任一质点（坐标为x）相对其平衡位置的位移（坐标为y）随时间的变化关系，即y=f(x,t)。1.推导以速度u沿+x方向传播的平面简谐波波动方程。设原点O的振动方程为y

xxPO

12点O

的振动方程点P振动方程t时刻点P

的运动t-x/u时刻点O的运动点P振动方程(1)时间推迟方法——波函数13点P

比点O落后的相位(2)相位落后法O点的相位为时,P点的相位为y

xxPO

点P振动方程——波函数14波函数的其他形式沿x

轴正方向传播取“-”；沿x

轴负方向传播取“+”。152.波函数的物理意义（1）当x一定，t变化时（具有时间的周期性）则表示x点处质点的振动方程ytt+T/4时刻t时刻16（波具有空间的周期性）（2）当t一定，x变化时令（定值）则表示t

时刻波传播方向上各质点的位移,即t

时刻的波形yxt0

时刻的波形曲线17ytx1x2t

1时刻t2时刻t1时刻，x1

处质点的位移为t2

时刻，x2处质点的位移为（3）若x，t

均变化，波函数表示波形沿传播方向的运动情况（行波）18若，则。

x1处质点的位移在Δt

时间后出现在

x2

(=x1+ut)

处，即x1

处点的位移经Δt

时间传播了x=ut

的距离，传播速度为u。19把波动方程改写成解

方法一（比较系数法）例1一平面简谐波沿x轴正方向传播，已知其波函数为。求(1)波的振幅、波长、周期及波速；(2)质点振动的最大速度。比较标准波函数，得20振幅、周期、波长和波速为方程21方法二（由各物理量的定义解）

周期T

质点振动相位变化2所经历的时间振幅A

即位移的最大值，所以A=0.04m设x处质点在T=t2-t1的时间内相位变化2

波长在同一波形图上相位差为2的两点间的距离。22波速单位时间内某一振动状态（相位）传播过的距离。设时刻t1，x1处的相位在质点在时刻t2传到x2处，则23最大值为(3)质点的振动速度为24x2x1Oy1m1m例2

一平面简谐横波以400m/s的波速在均匀介质中沿直线传播。已知波源的振动周期为0.01s，振幅A=0.01m。设以波源振动经过平衡位置向正方向运动时作为计时起点，求(1)以距波源2m处为坐标原点写出波函数。(2)以波源为坐标原点写出波函数。(3)距波源2m和1m两点间的振动相位差。解

(1)以波源为坐标原点t=0时，y0=0，u0>0，所以初相位为-/2

。25波源的振动方程为波从O点传播到2m处质点所需要的时间为距波源2m处质点的振动方程x2x1Oy1m1m26以距波源2m处为坐标原点的波函数为以波源为坐标原点的波函数为(2)波源的振动方程为27距波源2m和1m两点间的振动相位差为(3)将x=2m和x=1m分别代入(2)中的波函数x2x1Oy1m1m28O点的振动相位超前于x0点x0/u，则O点的振动方程为例3一平面简谐波，波速为u，已知在传播方向上x0点的振动方程为。试就图所示的(a)、(b)两种坐标取法分别写出各自的波函数。解

(a)坐标取法中，波的传播方向与x轴正方向相同。yxx0O

yxx0O

29沿x轴正方向传播的平面简谐波的波函数为波由O点传播到x0点使得O点的振动相位落后于x0点x0/u(b)坐标取法中，波的传播方向与x轴正方向相反。yxx0O

30沿x轴反方向传播的平面简谐波的波函数为则O点的振动方程为yxx0O

317.3波的能量一、波的能量和能量密度设绳子的横截面积为△S，波的传播速度为u。取波的传播方向为x轴，绳子的振动方向为y轴，则简谐波的波函数为。在绳子上x处取线元△x，则μ为绳子的质量线密度。1.波的能量y

xO

32该线元的振动速度为(1)线元的动能在波的传播过程中，由原长△x变成△l，形变为△l-△x，线两端受张力T=T1=T2。张力做的功等于线元的势能y

xO

33用二项式定理展开，并略去高此项，得34(2)线元的势能(3)线元的总机械能讨论(1)

在波动传播的媒质中，任一线元的动能、势能、总机械能均随x,t作周期性变化，且变化是同相位的。35(2)体积元在平衡位置时，动能、势能和总机械能均最大。(3)体积元的位移最大时，三者均为零。(4)任一线元都在不断地接收和放出能量，即不断地传播能量。任一线元的机械能不守恒，随t

作周期性变化，所以，波动过程是能量的传播过程。362.能量密度w

单位体积介质中波的能量。ρ为绳子单位体积的质量。平均能量密度

能量密度在一个周期内的平均值。37二、能流密度单位时间内，沿波的传播方向垂直通过单位面积的平均能量。udtS(波的强度)写成矢量形式为38三、平面波和球面波的振幅1.平面波

（介质不吸收能量）介质不吸收能量一个周期内通过两个面的能量分别为平面波在媒质不吸收的情况下,各处振幅相同。392.球面波一个周期内通过两个球面的能量分别为介质不吸收能量40设距波源单位距离处波的振幅为A0，则距波源r处的波的振幅则球面简谐波的波函数为球面波的振幅随r增大而减小。41四、波的吸收吸收媒质,实验表明(1)

为介质吸收系数，与介质的性质及波的频率有关。说明(2)波的强度随传播距离按指数衰减。O427.4惠更斯原理波在传播的过程中遇到障碍物或小孔时，能够绕过障碍物的边缘继续传播的现象。衍射43惠更斯原理(1)行进中的波面上任意一点都可看作是新的次波源；(2)所有次波源各自向外发出许多子波；(3)各个次波所形成的包络面，就是原波面在一定时间内所传播到的新波面。44说明(1)若已知某一时刻波前，可用几何方法求出下一时刻波前。S2S1Out45(2)解释衍射、反射、折射现象。波的反射反射角等于折射角。AB1B2B3A3B1246波的折射DAE1E2CBt47(3)亦适用于电磁波，非均匀和各向异性媒质。(4)不足之处（未涉及振幅，相位等的分布规律）。说明487.5波的干涉一、波的叠加原理1.波传播的独立性2.叠加原理几列波相遇之后，仍然保持它们各自原有的特征（频率、波长、振幅、振动方向等）不变，并按照原来的方向继续前进，好象没有遇到过其他波一样。在相遇区域内任一质点的振动，为各列波单独存在时在该点所引起的振动的合振动。49二、相干波与相干条件干涉现象相干条件频率相同、振动方向相同、相位差恒定。两列（或多列）相干波叠加，将在空间形成一种稳定的强弱相间的强度(振幅)分布。相干波满足相干条件的两列波。50*波源振动方程点P的两个分振动三、干涉规律点P的合振动51

P

点处波的强度合振动的振幅其中讨论(1)合振动的振幅（波的强度）在空间各点的分布随位置而变，但是稳定的。52(2)干涉相长(3)干涉相消53干涉相长干涉相消波程差若则54例1

A、B

两点为两相干波源,振幅均为5cm,频率均为100Hz,当A

点为波峰时,B

点适为波谷,设波速为10m/s

，求P

点的干涉结果。

解已知AP=15m,AB=20

m20m15mABP55两波在P点的相位差为：由于两波在P

点相位相反,故合振幅为零。A=020m15mABP56例2两波源分别位于同一介质A和B处，振动方向相同，振幅相等，频率皆为100Hz，但A处波源比B处波源相位落后。若A、B相距10m，波速为4000m/s，试求由A、B之间连线上因干涉而静止的点。解

建立所示的坐标系，任取一点x，则两波到该点的波程分别为O10mrArBBAx57两波相位差为58所以，因干涉而静止的点为因干涉而静止的点，满足干涉相消条件597.6驻波一、弦线上的驻波实验驻波两列振幅、振动方向和频率都相同，而传播方向相反的同类波相干叠加的结果形成驻波。60二、驻波波函数讨论(1)振幅分布振幅随位置x

按余弦分布。61a.波节相邻波节间的距离62b.波腹相邻波腹间的距离相邻波节和波腹间的距离63(2)相位分布结论1

相邻两波节间各点振动相位相同。64结论2一波节两侧各点振动相位相反。相位不做定向传播，振动状态无定向传播。xy65ABC波节波腹位移最大时平衡位置时(3)能量分布a.驻波的能量在相邻的波腹和波节间往复变化;b.相邻波节间动能和势能相互转换;c.动能主要集中在波腹,势能主要集中在波节,但无能量的定向传播。66驻波一般由入射、反射波叠加而成，反射发生在两介质交界面上，在交界面处出现波节还是波腹，取决于介质的性质。n

小—波疏介质,

n

大—波密介质。介质分类(4)半波损失（相位跃变）67当波从波疏介质垂直入射到波密介质，被反射到波疏介质时形成波节。入射波与反射波在此处的相位时时相反,即反射波在分界处产生π的相位跃变，相当于出现了半个波长的波程差，称半波损失。半波损失（相位跃变）

当波从波密介质垂直入射到波疏介质，被反射到波密介质时形成波腹。入射波与反射波在此处的相位时时相同，即反射波在分界处不产生相位跃变。68(5)振动的简正模式驻波频率为两端固定的弦线形成驻波时，波长n和弦线长l应满足由频率n决定的各种振动方式称为弦线振动的简正模式。69两端固定的弦振动的简正模式70一端固定一端自由的弦振动的简正模式71例1一长为L的弦线，拉紧后将其两端固定。拨动弦线使其振动，形成的波将沿弦线传播，在固定端发生反射而在弦线上形成驻波。已知波在弦线中传播的速度为，式中是弦线单位长度的质量，T是弦线的张力。证明此弦线只能作下列固有频率的振动72解由于弦线两端固定，波在固定端反射时有半波损失，形成驻波时，两端点处为波节，两相邻波节之间距离为，所以有73即将弦线中的波速代入上式，得74例2一沿x

方向传播的入射波在x=0处发生反射，反射点为一波节。已知波函数为求(1)反射波的波函数；(2)求合成波（驻波）的波函数；(3)各波腹和波节的位置坐标。解

(1)反射点为波节，说明波反射时有的相位跃变，所以反射波的波函数