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广东省深圳市福田区2023届九年级上学期期末数学试卷一、选择题(共12小题,每小题3分,满分36分)1.sin30°的值是()A.B.C.1D.2.已知反比例函数y=,下列各点不在该函数图象上的是()A.(2,3)B.(﹣2,﹣3)C.(2,﹣3)D.(1,6)3.一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是()A.x1=﹣1,x2=﹣2B.x1=1,x2=﹣2C.x1=1,x2=2D.x1=﹣1,x2=24.下面四个几何体中,主视图与俯视图不同的共有()A.1个B.2个C.3个D.4个5.抛物线y=2(x﹣1)2+1的顶点坐标是()A.(1,1)B.(1,﹣1)C.(﹣1,1)D.(﹣1,﹣1)6.口袋里有除颜色不同外其它都相同的红、蓝、白三种颜色的小球共30个,摸到红球的概率是,摸到蓝球的概率是,则袋子里有白球()个.A.15B.10C.5D.67.华为营销按批量投入市场,第一次投放20000台,第三次投放80000台,每次按相同的增长率投放,设增长率为x,则可列方程()A.20000(1+x)2=80000B.20000(1+x)+20000(1+x)2=80000C.20000(1+x2)=80000D.20000+20000(1+x)+20000(1+x)2=800008.如图,某汽车在路面上朝正东方向匀速行驶,在A处观测到楼H在北偏东60°方向上,行驶1小时后到达B处,此时观测到楼H在北偏东30°方向上,那么该车继续行驶()分钟可使汽车到达离楼H距离最近的位置.A.60B.30C.15D.459.如图,在△ABC中,D、E分别是线段AB、AC的中点,则△ABC与△ADE的面积之比为()A.1:2B.1:4C.4:1D.2:110.身高1.8米的人在阳光下的影长是1.2米,同一时刻一根旗杆的影长是6米,则它的高度是()A.10米B.9米C.8米D.10.8米11.如图,直线y=1与抛物线y=x2﹣2x相交于M、N两点,则M、N两点的横坐标是下列哪个方程的解?()A.x2﹣2x+1=0B.x2﹣2x﹣1=0C.x2﹣2x﹣2=0D.x2﹣2x+2=012.如图,点A、B在反比例函数y=的图象上,过点A、B作x轴的垂线,垂足分别是M、N,射线AB交x轴于点C,若OM=MN=NC,四边形AMNB的面积是3,则k的值为()A.2B.4C.﹣2D.﹣4二、填空题(本大题共有4小题,每小题3分,共12分)13.二次函数y=ax2﹣2ax+3的对称轴是x=.14.已知菱形的两条对角线长分别为10和24,则菱形的边长为.15.二次函数y1=ax2+bx+c的图象与一次函数y2=kx+b的图象如图所示,当y2>y1时,根据图象写出x的取值范围.16.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠ACB=45°,∠D=30°,B、C、D在同一直线上,连接AD,若AB=,则sin∠CAD=.三、解答题(本大题共52分)17.2cos60°﹣sin245°+(﹣tan45°)2023.18.解方程:2(x+1)2=x+1.19.小鹏和小娟玩一种游戏:小鹏手里有三张扑克牌分别是3、4、5,小娟有两张扑克牌6、7,现二人各自把自己的牌洗匀,小鹏从小娟的牌中任意抽取一张,小娟从小鹏的牌中任意抽取一张,计算两张数字之和,如果和为奇数,则小鹏胜;如果和为偶数则小娟胜.(1)用列表或画树状图的方法,列出小鹏和小娟抽得的数字之和所有可能出现的情况;(2)请判断该游戏对双方是否公平?并说明理由.20.如图,AD∥BC,AF平分∠BAD交BC于点F,BE平分∠ABC交AD于点E.求证:(1)△ABF是等腰三角形;(2)四边形ABFE是菱形.21.某商场一种商品的进价为每件30元,售价为每件40元,每天可以销售48件,为尽快减少库存,商场决定降价促销.(1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元,求两次下降的百分率;(2)经调查,若该商品每降价0.5元,每天可多销售4件,那么每天要想获得510元的利润,每件应降价多少元?(3)在(2)的条件下,每件商品的售价为多少元时,每天可获得最大利润?最大利润是多少元?22.如图,一次函数y=k1x﹣1的图象经过A(0,﹣1)、B(1,0)两点,与反比例函数y=的图象在第一象限内的交点为M,若△OBM的面积为1.(1)求一次函数和反比例函数的表达式;(2)在x轴上是否存在点P,使AM⊥PM?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由;(3)x轴上是否存在点Q,使△QBM∽△OAM?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由.23.已知△ABC是边长为4的等边三角形,BC在x轴上,点D为BC的中点,点A在第一象限内,AB与y轴的正半轴交与点E,已知点B(﹣1,0).(1)点A的坐标:,点E的坐标:;(2)若二次函数y=﹣x2+bx+c过点A、E,求此二次函数的解析式;(3)P是AC上的一个动点(P与点A、C不重合)连结PB、PD,设l是△PBD的周长,当l取最小值时,求点P的坐标及l的最小值并判断此时点P是否在(2)中所求的抛物线上,请充分说明你的判断理由.广东省深圳市福田区2023届九年级上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(共12小题,每小题3分,满分36分)1.sin30°的值是()A.B.C.1D.【考点】特殊角的三角函数值.【分析】由30°的正弦值为,即可求得答案.【解答】解:sin30°=.故选A.【点评】此题考查了特殊角的三角函数值.注意熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.2.已知反比例函数y=,下列各点不在该函数图象上的是()A.(2,3)B.(﹣2,﹣3)C.(2,﹣3)D.(1,6)【考点】反比例函数图象上点的坐标特征.【分析】由于反比例函数y=可知xy=﹣6,故A、B、C、D中,积为6的点为反比例函数图象上的点,否则,不是图象上的点.【解答】解:A、∵2×3=6,点在反比例函数图象上,故本选项错误;B、∵﹣2×(﹣3)=6,点在反比例函数图象上,故本选项错误;C、∵2×(﹣3)=﹣6≠6,点不在反比例函数图象上,故本选项正确;D、∵1×6=6,点在反比例函数图象上,故本选项错误;故选C.【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,要明确,反比例函数图象上的点符合函数解析式.3.一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是()A.x1=﹣1,x2=﹣2B.x1=1,x2=﹣2C.x1=1,x2=2D.x1=﹣1,x2=2【考点】解一元二次方程-因式分解法.【专题】计算题.【分析】利用因式分解法解方程即可.【解答】解:(x﹣2)(x+1)=0,x﹣2=0或x+1=0,所以x1=2,x2=﹣1.故选D.【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法:先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式,那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解,这样也就把原方程进行了降次,把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想).4.下面四个几何体中,主视图与俯视图不同的共有()A.1个B.2个C.3个D.4个【考点】简单几何体的三视图.【分析】主视图是从正面看到的图形,俯视图是从物体的上面看到的图形,可根据各几何体的特点进行判断.【解答】解:圆柱的主视图是矩形,俯视图是圆,它的主视图与俯视图不同;圆锥的主视图是等腰三角形,俯视图式圆,它的主视图与俯视图不同;球体的三视图均为圆,故它的主视图和俯视图相同;正方体的三视图均为正方形,故它的主视图和俯视图也相同;所以主视图与俯视图不同的是圆柱和圆锥,故选B.【点评】本题考查了几何体的三种视图,掌握定义及各几何体的特点是关键.5.抛物线y=2(x﹣1)2+1的顶点坐标是()A.(1,1)B.(1,﹣1)C.(﹣1,1)D.(﹣1,﹣1)【考点】二次函数的性质.【分析】直接根据抛物线的顶点式:y=a(x﹣h)2+k,(a≠0)写出顶点坐标即可.【解答】解:∵抛物线y=2(x﹣1)2+1,∴抛物线的顶点坐标为(1,1).故选A.【点评】本题考查了抛物线的顶点式:y=a(x﹣h)2+k,(a≠0),则抛物线的顶点坐标为(h,k).6.口袋里有除颜色不同外其它都相同的红、蓝、白三种颜色的小球共30个,摸到红球的概率是,摸到蓝球的概率是,则袋子里有白球()个.A.15B.10C.5D.6【考点】概率公式.【分析】让球的概率乘以球的总数即为摸出是球的个数.【解答】解:因为摸到红球的概率是,摸到蓝球的概率是,所以红球的个数为,蓝球的个数为,所以袋子里有白球有30﹣15﹣10=5.故选C.【点评】考查概率的求法;用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.7.华为营销按批量投入市场,第一次投放20000台,第三次投放80000台,每次按相同的增长率投放,设增长率为x,则可列方程()A.20000(1+x)2=80000B.20000(1+x)+20000(1+x)2=80000C.20000(1+x2)=80000D.20000+20000(1+x)+20000(1+x)2=80000【考点】由实际问题抽象出一元二次方程.【专题】增长率问题.【分析】设增长率为x,第二次投放20000(1+x)台,第三次投放20000(1+x)2台,而第三次投放80000台,由此即可列出方程求解.【解答】解:设增长率为x,由题意得20000(1+x)2=80000.故选:A.【点评】此题考查从实际问题抽象出一元二次方程,解决变化类问题,可利用公式a(1+x)2=b,其中a是变化前的原始量,b是两次变化后的量,x表示平均每次的增长率是解题的关键.8.如图,某汽车在路面上朝正东方向匀速行驶,在A处观测到楼H在北偏东60°方向上,行驶1小时后到达B处,此时观测到楼H在北偏东30°方向上,那么该车继续行驶()分钟可使汽车到达离楼H距离最近的位置.A.60B.30C.15D.45【考点】解直角三角形的应用-方向角问题.【分析】作HC⊥AB交AB的延长线于C,根据题意得到BA=BH,根据∠BHC=30°得到BC=BH,等量代换得到答案.【解答】解:作HC⊥AB交AB的延长线于C,由题意得,∠HAB=60°,∠ABH=120°,∴∠AHB=30°,∴BA=BH,∵∠ABH=120°,∴∠CBH=60°,又HC⊥AB,∴∠BHC=30°,∴BC=BH,∴BC=AB,则该车继续行驶30分钟可使汽车到达离楼H距离最近的位置,故选:B.【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题,正确作出辅助线、熟记锐角三角函数的定义和特殊角的三角函数值是解题的关键.9.如图,在△ABC中,D、E分别是线段AB、AC的中点,则△ABC与△ADE的面积之比为()A.1:2B.1:4C.4:1D.2:1【考点】相似三角形的判定与性质.【分析】根据三角形的中位线得出DE=BC,DE∥BC,推出△ADE∽△ABC,根据相似三角形的性质得出即可.【解答】解:∵D、E分别为AB、AC的中点,∴BC=2DE,DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴△ABC与△ADE的面积之比=()2=4:1.故选C.【点评】本题考查了三角形的性质和判定,三角形的中位线的应用,注意:相似三角形的面积比等于相似比的平方.10.身高1.8米的人在阳光下的影长是1.2米,同一时刻一根旗杆的影长是6米,则它的高度是()A.10米B.9米C.8米D.10.8米【考点】相似三角形的应用.【分析】设旗杆的高度约为hm,再根据同一时刻物高与影长成正比求出h的值即可.【解答】解:设旗杆的高度约为hm,∵同一时刻物高与影长成正比,∴=,解得:h=9(米).故选:B.【点评】本题考查的是相似三角形的应用,熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键.11.如图,直线y=1与抛物线y=x2﹣2x相交于M、N两点,则M、N两点的横坐标是下列哪个方程的解?()A.x2﹣2x+1=0B.x2﹣2x﹣1=0C.x2﹣2x﹣2=0D.x2﹣2x+2=0【考点】抛物线与x轴的交点.【专题】探究型.【分析】由于直线y=1与抛物线y=x2﹣2x相交于M、N两点,故把y=1代入抛物线的解析式即可求出此方程.【解答】解:把y=1代入抛物线y=x2﹣2x得,x2﹣2x=1,即x2﹣2x﹣1=0.故选B.【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点,只要把关于y的方程与抛物线的解析式联立即可求出以M、N两点的横坐标为根的方程.12.如图,点A、B在反比例函数y=的图象上,过点A、B作x轴的垂线,垂足分别是M、N,射线AB交x轴于点C,若OM=MN=NC,四边形AMNB的面积是3,则k的值为()A.2B.4C.﹣2D.﹣4【考点】反比例函数系数k的几何意义.【分析】根据三角形面积公式得到S△AOM=S△AOC,S△ACM=4S△BCN,再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到S△AOM=|k|,然后利用k<0去绝对值求解.【解答】解:∵点A、B在反比例函数y的图象上,∴S△AOM=|k|,∵OM=MN=NC,∴AM=2BN,∴S△AOM=S△AOC,S△ACM=4S△BCN,S△ACM=2S△AOM,∵四边形AMNB的面积是3,∴S△BCN=1,∴S△AOM=2,∴|k|=4,∵反比例函数y=的图象在第二四象限,∴k=﹣4,故选D.【点评】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义:在反比例函数y=图象中任取一点,过这一个点向x轴和y轴分别作垂线,与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|.二、填空题(本大题共有4小题,每小题3分,共12分)13.二次函数y=ax2﹣2ax+3的对称轴是x=1.【考点】二次函数的性质.【专题】推理填空题.【分析】根据二次函数的对称轴公式可以求得y=ax2﹣2ax+3的对称轴,本题得以解决.【解答】解:∵二次函数y=ax2﹣2ax+3∴此抛物线的对称轴为:x=﹣,故答案为:1.【点评】本题考查二次函数的性质,解题的关键是明确二次函数的对称轴公式.14.已知菱形的两条对角线长分别为10和24,则菱形的边长为13.【考点】菱形的性质.【分析】首先根据题意画出图形,然后由平行四边形的性质,可得OA=AC=12,OB=BD=5,AC⊥BD,继而利用勾股定理,求得这个菱形的边长.【解答】解:如图,BD=10,AC=24,∵四边形ABCD是菱形,∴OA=AC=12,OB=BD=5,AC⊥BD,∴AB==13,故答案为:13.【点评】本题考查了菱形对角线互相垂直平分的性质,考查了菱形各边长相等的性质,考查了勾股定理在直角三角形中的运用,根据勾股定理求AB的值是解题的关键.15.二次函数y1=ax2+bx+c的图象与一次函数y2=kx+b的图象如图所示,当y2>y1时,根据图象写出x的取值范围﹣2<x<1.【考点】二次函数与不等式(组).【分析】利用一次函数与二次函数图象,进而结合其交点横坐标得出y2>y1时,x的取值范围.【解答】解:当y2>y1时,即一次函数y2=kx+b的图象在二次函数y1=ax2+bx+c的图象的上面,可得x的取值范围是:﹣2<x<1.故答案为:﹣2<x<1.【点评】此题主要考查了二次函数与不等式,正确利用函数图象得出正确信息是解题关键.16.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠ACB=45°,∠D=30°,B、C、D在同一直线上,连接AD,若AB=,则sin∠CAD=.【考点】解直角三角形.【分析】先解等腰直角三角形ABC,得出BC=AB=,AC=AB=.再解Rt△ABD,得出AD=2AB=2,BD=AB=3,那么CD=BD﹣BC=3﹣.过C点作CE⊥AD于E.根据S△ACD=AD•CE=CD•AB,求出CE=,然后在Rt△AEC中利用正弦函数的定义即可求出sin∠CAD的值.【解答】解:∵在Rt△ABC中,∠B=90°,∠ACB=45°,∴△ABC是等腰直角三角形,∵AB=,∴BC=AB=,AC=AB=.∵在Rt△ABD中,∠B=90°,∠D=30°,AB=,∴AD=2AB=2,BD=AB=3,∴CD=BD﹣BC=3﹣.过C点作CE⊥AD于E.∵S△ACD=AD•CE=CD•AB,∴CE===,∴sin∠CAD===.故答案为.【点评】本题考查了解直角三角形,等腰直角三角形的性质,含30°角的直角三角形的性质,三角形的面积,锐角三角函数的定义,作出辅助线并且求出CE的长是解题的关键.三、解答题(本大题共52分)17.2cos60°﹣sin245°+(﹣tan45°)2023.【考点】实数的运算;特殊角的三角函数值.【专题】计算题;实数.【分析】原式利用特殊角的三角函数值,以及乘方的意义计算即可得到结果.【解答】解:原式=2×﹣()2+(﹣1)2023=1﹣+1=1.【点评】此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.18.解方程:2(x+1)2=x+1.【考点】解一元二次方程-因式分解法.【分析】将x+1看作整体,进而利用提取公因式法分解因式解方程即可.【解答】解:2(x+1)2=x+12(x+1)2﹣(x+1)=0,(x+1)[2(x+1)﹣1]=0,解得:x1=﹣1,x2=﹣.【点评】此题主要考查了因式分解法解方程,正确分解因式是解题关键.19.小鹏和小娟玩一种游戏:小鹏手里有三张扑克牌分别是3、4、5,小娟有两张扑克牌6、7,现二人各自把自己的牌洗匀,小鹏从小娟的牌中任意抽取一张,小娟从小鹏的牌中任意抽取一张,计算两张数字之和,如果和为奇数,则小鹏胜;如果和为偶数则小娟胜.(1)用列表或画树状图的方法,列出小鹏和小娟抽得的数字之和所有可能出现的情况;(2)请判断该游戏对双方是否公平?并说明理由.【考点】游戏公平性;列表法与树状图法.【分析】(1)根据题意画出树状图,然后根据概率公式列式进行计算即可得解;(2)根据计算概率比较即可.【解答】解:(1)画出树状图如下:(2)此游戏公平,由树形图可知:小娟赢的概率==小鹏赢的概率.【点评】本题考查了用列表法或画树状图法求概率.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.20.如图,AD∥BC,AF平分∠BAD交BC于点F,BE平分∠ABC交AD于点E.求证:(1)△ABF是等腰三角形;(2)四边形ABFE是菱形.【考点】菱形的判定;等腰三角形的判定.【分析】(1)由平行线的性质和角平分线得出∠AFB=∠ABF,即可得出结论;(2)由(1)得:AB=AF,同理:AB=BE,证出AF=BE,由AF∥BE,得出四边形ABFE是平行四边形,即可得出结论.【解答】证明:(1)∵AD∥BC,∴∠AFB=∠EBF,∵BF平分∠ABC,∴∠ABF=∠EBF,∴∠AFB=∠ABF,∴AB=AF,即△ABF是等腰三角形;(2)由(1)得:AB=AF,同理:AB=BE,∴AF=BE,∵AF∥BE,∴四边形ABFE是平行四边形,又∵AB=AF,∴四边形ABFE是菱形.【点评】本题考查了菱形的判定、等腰三角形的判定、平行线的性质等知识;熟练掌握菱形的判定方法,证明AB=AF,AB=BE是解决问题的关键.21.某商场一种商品的进价为每件30元,售价为每件40元,每天可以销售48件,为尽快减少库存,商场决定降价促销.(1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元,求两次下降的百分率;(2)经调查,若该商品每降价0.5元,每天可多销售4件,那么每天要想获得510元的利润,每件应降价多少元?(3)在(2)的条件下,每件商品的售价为多少元时,每天可获得最大利润?最大利润是多少元?【考点】二次函数的应用;一元二次方程的应用.【专题】销售问题.【分析】(1)设每次降价的百分率为x,(1﹣x)2为两次降价的百分率,40降至32.4就是方程的平衡条件,列出方程求解即可;(2)设每天要想获得510元的利润,且更有利于减少库存,则每件商品应降价y元,由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可;(3)设每件商品应降价y元,获得利润为W,根据题意得到函数解析式,即可得到最大值.【解答】解:(1)设每次降价的百分率为x.40×(1﹣x)2=32.4,解得x=10%或190%.答:该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元,两次下降的百分率为10%;(2)设每天要想获得510元的利润,且更有利于减少库存,则每件商品应降价y元,由题意,得(40﹣30﹣y)(4×+48)=510,解得:y1=1.5,y2=2.5,∵有利于减少库存,∴y=2.5.答:要使商场每月销售这种商品的利润达到510元,且更有利于减少库存,则每件商品应降价2.5元;(3)设每件商品应降价y元,获得利润为W,由题意得,W=(40﹣30﹣y)(4×+48)=﹣8y2+32y+480=﹣8(y﹣2)2+512,故每件商品的售价为38元时,每天可获得最大利润,最大利润是512元.【点评】此题主要考查了二次函数的应用,一元二次方程应用,关键是根据题意找到等式两边的平衡条件,这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系,列出方程,解答即可.22.如图,一次函数y=k1x﹣1的图象经过A(0,﹣1)、B(1,0)两点,与反比例函数y=的图象在第一象限内的交点为M,若△OBM的面积为1.(1)求一次函数和反比例函数的表达式;(2)在x轴上是否存在点P,使AM⊥PM?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由;(3)x轴上是否存在点Q,使△QBM∽△OAM?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由.【考点】反比例函数综合题.【分析】(1)利用已知点B坐标代入一次函数解析式得出答案,再利用△OBM的面积得出M点纵坐标,再利用相似三角形的判定与性质得出M点坐标即可得出反比例函数解析式;(2)过点M作PM⊥AM,垂足为M,得出△AOB∽△PMB,进而得出BP的长即可得出答案;(3)利用△QBM∽△OAM,得出=,进而得出OQ的长,即可得出答案.【解答】解:(1)如图1,过点M作MN⊥x轴于点N,∵一次函数y=k1x﹣1的图象经过A(0,﹣1)、B(1,0)两点,∴0=k1﹣1,AO=BO=1,解得:k1=1,故一次函数解析式为:y=x﹣1,∵△OBM的面积为1,BO=1,∴M点纵坐标为:2,∵∠OAB=∠MNB,∠OBA=∠NBM,∴△AOB∽△MNB,∴==,则BN=2,故M(3,2),则xy=k2=6,故反比例函数解析式为:y=;(2)如图2,过点M作PM⊥AM,垂足为M,∵∠AOB=∠PMB,∠OBA=∠MBP,∴△AOB∽△PMB,∴=,由(1)得:AB==,BM==2,故=,解得:BP=4,故P(5,0);(3)如图3,∵△QBM∽△OAM,∴=,由(2)可得AM=3,故=,解得:QB=,则OQ=,故Q点坐标为:(,0).【点评】本题考查了反比例函数综合以及待定系数法求函数解析式、三角形相似的判定与性质等知识,熟练应用相似三角形的判定
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