广东省汕头市2023届高考数学模拟试卷-文(含解析)

2023年广东省汕头市高考数学模拟试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，B={2，3}，则（∁UA）∪B=（）A．{3} B．{4，5} C．{1，2，3} D．{2，3，4，5}2．已知向量=（1，2），2+=（3，2），则=（）A．（1，2） B．（1，﹣2） C．（5，6） D．（2，0）3．已知i是虚数单位，若（2﹣i）•z=i3，则z=（）A． B． C． D．4．从数字1，2，3中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于30的概率为（）A． B． C． D．5．已知，且，则tanα=（）A． B． C． D．6．已知函数f（x）=sin（2x﹣）（x∈R）下列结论错误的是（）A．函数f（x）的最小正周期为πB．函数f（x）是偶函数C．函数f（x）在区间[0，]上是增函数D．函数f（x）的图象关于直线x=对称7．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn=2an+1，则当n＞1时，Sn=（）A．（）n﹣1 B．2n﹣1 C．（）n﹣1 D．（﹣1）8．执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输出P的值为（）A．2 B．3 C．4 D．59．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球表面积为（）A．4π B．12π C．24π D．48π10．下列函数中，在（﹣1，1）内有零点且单调递增的是（）A．y=log2x B．y=2x﹣1 C．y=x2﹣2 D．y=﹣x311．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=，则g[f（﹣7）]=（）A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣212．设函数f（x）是定义在R上的周期为2的函数，且对任意的实数x，恒有f（x）﹣f（﹣x）=0，当x∈[﹣1，0]时，f（x）=x2，若g（x）=f（x）﹣logax在x∈（0，+∞）上有且仅有三个零点，则a的取值范围为（）A．[3，5] B．[4，6] C．（3，5） D．（4，6）二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13．设x，y满足约束条件，则z=x+3y+m的最大值为4，则m的值为．14．已知直线l：y=kx+b与曲线y=x3+3x﹣1相切，则斜率k取最小值时，直线l的方程为．15．已知正项等比数列{an}的公比q=2，若存在两项am，an，使得=4a1，则+的最小值为．16．下列有关命题中，正确命题的序号是．①命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”；②命题“∃x∈R，x2+x﹣1＜0”的否定是“∀x∈R，x2+x﹣1＞0”；③命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题是假命题．④若“p或q为真命题，则p，q至少有一个为真命题．”三、解答题.本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程和验算步骤.17．在△ABC中角A，B，C所对的边分别是a，b，c，b=，c=1，cosB=．（1）求sinC的值；（2）求△ABC的面积．18．已知{an}是公差d≠0的等差数列，a2，a6，a22成等比数列，a4+a6=26；数列{bn}是公比q为正数的等比数列，且b3=a2，b5=a6．（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）求数列{an•bn}的前n项和Tn．19．某区工商局、消费者协会在3月15号举行了以“携手共治，畅享消费”为主题的大型宣传咨询服务活动，着力提升消费者维权意识．组织方从参加活动的群众中随机抽取120名群众，按他们的年龄分组：第1组[20，30），第2组[30，40），第3组[40，50），第4组[50，60），第5组[60，70]，得到的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）若电视台记者要从抽取的群众中选1人进行采访，求被采访人恰好在第2组或第4组的概率；（Ⅱ）已知第1组群众中男性有2人，组织方要从第1组中随机抽取3名群众组成维权志愿者服务队，求至少有两名女性的概率．20．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90°，AB=4，AA1=6，点M时BB1中点．（1）求证；平面A1MC⊥平面AA1C1C；（2）求点A到平面A1MC的距离．21．已知函数f（x）=lnx﹣（1+a）x2﹣x．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当a＜1时，证明：对任意的x∈（0，+∞），有f（x）＜﹣﹣（1+a）x2﹣a+1．请考生在第22,23,24题中任选一题作答，选修4-1：几何证明选讲22．选修4﹣1：几何证明选讲如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，过点P的割线交圆于B、C两点，弦CD∥AP，AD、BC相交于点E，F为CE上一点，且DE2=EF•EC．（1）求证：CE•EB=EF•EP；（2）若CE：BE=3：2，DE=3，EF=2，求PA的长．选修4-4：坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ．（Ⅰ）直线l的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求直线l与曲线C交点的极坐标（其中ρ≥0，0≤θ≤2π）．选修4-5：不等式选讲24．已知关于x的不等式|2x﹣1|﹣|x﹣1|≤a．（Ⅰ）当a=3时，求不等式的解集；（Ⅱ）若不等式有解，求实数a的取值范围．2023年广东省汕头市高考数学模拟试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，B={2，3}，则（∁UA）∪B=（）A．{3} B．{4，5} C．{1，2，3} D．{2，3，4，5}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题．【分析】根据全集U求出A的补集，找出A补集与B的并集即可．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，∴∁UA={3，4，5}，∵B={2，3}，则（∁UA）∪B={2，3，4，5}．故选D【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．已知向量=（1，2），2+=（3，2），则=（）A．（1，2） B．（1，﹣2） C．（5，6） D．（2，0）【考点】平面向量的坐标运算．【专题】计算题；对应思想；向量法；平面向量及应用．【分析】根据向量的坐标的运算法则计算即可．【解答】解：=（1，2），2+=（3，2），则=（2+）﹣2=（3，2）﹣2（1，2）=（3，2）﹣（2，4）=（3﹣2，2﹣4）=（1，﹣2），故选：B．【点评】本题考查了向量的坐标运算，关键是掌握运算法则，属于基础题．3．已知i是虚数单位，若（2﹣i）•z=i3，则z=（）A． B． C． D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题．【分析】利用复数的运算法则和共轭复数的意义，即可得出．【解答】解：∵（2﹣i）•z=i3，∴（2+i）（2﹣i）z=﹣i（2+i），5z=﹣2i+1，∴z=，故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则和共轭复数的意义，属于基础题．4．从数字1，2，3中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于30的概率为（）A． B． C． D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】从数字1，2，3中任取两个不同的数字构成一个两位数，基本事件总数n==6，则这个两位数大于30包含的基本事件个数m=2，由此能求出这个两位数大于30的概率．【解答】解：从数字1，2，3中任取两个不同的数字构成一个两位数，基本事件总数n==6，则这个两位数大于30包含的基本事件个数m=2，∴这个两位数大于30的概率为P==．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．5．已知，且，则tanα=（）A． B． C． D．【考点】运用诱导公式化简求值；同角三角函数间的基本关系．【分析】通过诱导公式求出sinα的值，进而求出cosα的值，最后求tanα．【解答】解：∵cos（+α）=；∴sinα=﹣；又∴cosα=﹣=﹣∴tanα==故答案选B【点评】本题主要考查三角函数中的诱导公式的应用．属基础题．6．已知函数f（x）=sin（2x﹣）（x∈R）下列结论错误的是（）A．函数f（x）的最小正周期为πB．函数f（x）是偶函数C．函数f（x）在区间[0，]上是增函数D．函数f（x）的图象关于直线x=对称【考点】正弦函数的图象．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用诱导公式、余弦函数的单调性以及它的图象的对称性，得出结论．【解答】解：对于函数f（x）=sin（2x﹣）=﹣cos2x，它的最小正周期为=π，且函数f（x）为偶函数，故A、B正确；在区间[0，]上，2x∈[0，π]，故函数f（x）在区间[0，]上是减函数；当x=时，f（x）=0，不是最值，故函数f（x）的图象不关于直线x=对称，故选：D．【点评】本题主要考查诱导公式、余弦函数的单调性以及它的图象的对称性，属于基础题．7．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn=2an+1，则当n＞1时，Sn=（）A．（）n﹣1 B．2n﹣1 C．（）n﹣1 D．（﹣1）【考点】数列递推式．【专题】转化思想；等差数列与等比数列．【分析】利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵Sn=2an+1，a1=1，∴a1=2a2，解得a2=．当n≥2时，Sn﹣1=2an，∴an=2an+1﹣2an，化为=．∴数列{an}从第二项起为等比数列，公比为．∴Sn=2an+1=2××=．故选：A．【点评】本题考查了递推关系与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输出P的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；分析法；算法和程序框图．【分析】根据输入A的值，然后根据S进行判定是否满足条件S≤2，若满足条件执行循环体，依此类推，一旦不满足条件S≤2，退出循环体，求出此时的P值即可．【解答】解：A=2，P=1，S=0，满足条件S≤2，则P=2，S=，满足条件S≤2，则P=3，S=，满足条件S≤2，则P=4，S=不满足条件S≤2，退出循环体，此时P=4故选：C【点评】本题主要考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断．9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球表面积为（）A．4π B．12π C．24π D．48π【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；立体几何．【分析】作出几何体的直观图，根据其结构特征求出外接球的半径，得出球的表面积．【解答】解：由三视图可知几何体为三棱锥P﹣ABC，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，取PC中点O，AC中点D，连结OA，OD，BD，OB，则AC==2，PC==2．∴OP=OC=，OA=PC=，BD==，OD==1，∴OB==，∴OA=OB=OC=OP，∴O是棱锥P﹣ABC外接球的球心，外接球半径r=OA=，∴外接球表面积S=4πr2=12π．故选B．【点评】本题考查了棱锥的三视图和结构特征，球与内接多面体的关系，属于中档题．10．下列函数中，在（﹣1，1）内有零点且单调递增的是（）A．y=log2x B．y=2x﹣1 C．y=x2﹣2 D．y=﹣x3【考点】函数零点的判定定理；函数单调性的判断与证明．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据解析式判断单调性，再根据零点存在性定理判断即可得出答案．【解答】解：y=logx在（﹣1，1）有没有意义的情况，故A不对，y=x2﹣1在（﹣1，0）单调递减，故C不对，y=﹣x3在（﹣1，1）单调递减，故D不对，故A，C，D都不对，∵y=2x﹣1，单调递增，f（﹣1）＜0，f（1）＞0，∴在（﹣1，1）内存在零点故选：B【点评】本特纳考查了函数的单调性，零点的判断，函数解析式较简单，属于容易题．11．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=，则g[f（﹣7）]=（）A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2【考点】函数的概念及其构成要素．【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】先设x＜0，则﹣x＞0，根据函数的奇偶性，即可求出g（x），再代值计算即可．【解答】解：函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=，设x＜0，则﹣x＞0，则f（﹣x）=log2（﹣x+1），∵f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣log2（﹣x+1），∴g（x）=﹣log2（﹣x+1）（x＜0），∴f（﹣7）=g（﹣7）=﹣log2（7+1）=﹣3，∴g（﹣3）=﹣log2（3+1）=﹣2，故选：D．【点评】本题考查了函数的奇偶性和函数解析式的求法以及函数值的求法，属于基础题．12．设函数f（x）是定义在R上的周期为2的函数，且对任意的实数x，恒有f（x）﹣f（﹣x）=0，当x∈[﹣1，0]时，f（x）=x2，若g（x）=f（x）﹣logax在x∈（0，+∞）上有且仅有三个零点，则a的取值范围为（）A．[3，5] B．[4，6] C．（3，5） D．（4，6）【考点】函数的周期性．【专题】函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】根据函数的周期和奇偶性作出f（x）和y=logax在（0，+∞）上的图象，根据交点个数列出不等式解出a．【解答】解：∵f（x））﹣f（﹣x）=0，∴f（x）=f（﹣x），∴f（x）是偶函数，根据函数的周期和奇偶性作出f（x）的图象如图所示：∵g（x）=f（x）﹣logax在x∈（0，+∞）上有且仅有三个零点，∴y=f（x）和y=logax的图象在（0，+∞）上只有三个交点，∴，解得3＜a＜5．故选C．【点评】本题考查了零点个数的判断，作出f（x）的函数图象是解题关键．二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13．设x，y满足约束条件，则z=x+3y+m的最大值为4，则m的值为﹣4．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合z=x+3y+m的最大值为4，建立解关系即可求解m的值．【解答】解：由z=x+3y+m得﹣，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线﹣由图象可知当直线﹣经过点A时，直线﹣的截距最大，此时z也最大，由，解得，即A（2，2），将A代入目标函数z=x+3y+m，得2+3×2+m=4．解得m=﹣4，故答案为：﹣4．【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．14．已知直线l：y=kx+b与曲线y=x3+3x﹣1相切，则斜率k取最小值时，直线l的方程为3x﹣y+1=0．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；方程思想；分析法；导数的概念及应用．【分析】求出原函数的导函数，得到导函数的最小值，求出此时x的值，再求出此时的函数值，由直线方程的点斜式，求得斜率k最小时直线l的方程．【解答】解：由y=x3+3x+1，得y′=3x2+3，则y′=3（x2+1）≥3，当y′=3时，x=0，此时f（0）=1，∴斜率k最小时直线l的方程为y﹣1=3（x﹣0），即3x﹣y+1=0．故答案为：3x﹣y+1=0．【点评】本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是基础题．15．已知正项等比数列{an}的公比q=2，若存在两项am，an，使得=4a1，则+的最小值为．【考点】基本不等式；等比数列的性质．【专题】不等式的解法及应用．【分析】正项等比数列{an}的公比q=2，由于存在两项am，an，使得=4a1，可得=4a1，化为m+n=6．再利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．【解答】解：正项等比数列{an}的公比q=2，∵存在两项am，an，使得=4a1，∴=4a1，∵a1≠0，∴2m+n﹣2=24，∴m+n=6．则+=（m+n）（）==，当且仅当n=2m=4时取等号．∴+的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查了等比数列的通项公式、“乘1法”和基本不等式的性质，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．16．下列有关命题中，正确命题的序号是④．①命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”；②命题“∃x∈R，x2+x﹣1＜0”的否定是“∀x∈R，x2+x﹣1＞0”；③命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题是假命题．④若“p或q为真命题，则p，q至少有一个为真命题．”【考点】四种命题；命题的否定．【专题】对应思想；综合法；简易逻辑．【分析】分别对①②③④进行判断，从而得到结论．【解答】解：①命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”；故①错误；②命题“∃x∈R，x2+x﹣1＜0”的否定是“∀x∈R，x2+x﹣1≥0”；故②错误；③命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题是若sinx≠siny，则x≠y，是真命题，故③错误；④若“p或q为真命题，则p，q至少有一个为真命题．”，正确；故答案为：④．【点评】本题考察了命题的否定以及命题之间的关系，是一道基础题．三、解答题.本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程和验算步骤.17．在△ABC中角A，B，C所对的边分别是a，b，c，b=，c=1，cosB=．（1）求sinC的值；（2）求△ABC的面积．【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】（1）利用同角三角函数基本关系式可求sinB，由正弦定理可得sinC的值．（2）由c＜b，可得C为锐角，由（1）可得cosC，利用两角和的正弦函数公式可求sinA的值，利用三角形面积公式即可得解．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵b=，c=1，cosB=．∴sinB==，∴由正弦定理可得：sinC===…4分（2）∵c＜b，C为锐角，∴由（1）可得：cosC==，∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=×+×=，∴S△ABC=bcsinA==…12分【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18．已知{an}是公差d≠0的等差数列，a2，a6，a22成等比数列，a4+a6=26；数列{bn}是公比q为正数的等比数列，且b3=a2，b5=a6．（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）求数列{an•bn}的前n项和Tn．【考点】数列的求和；平面向量坐标表示的应用．【专题】计算题；整体思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）利用等差中项及a4+a6=26可知a5=13，进而通过a2，a6，a22成等比数列计算可知d=3，利用q2=及=4可知q=2，进而计算可得结论；（Ⅱ）通过（I）可知an•bn=（3n﹣2）•2n﹣1，进而利用错位相减法计算即得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵{an}是公差d≠0的等差数列，且a4+a6=26，∴a5=13，又∵a2，a6，a22成等比数列，∴（13+d）2=（13﹣3d）（13+17d），解得：d=3或d=0（舍），∴an=a5+（n﹣5）d=3n﹣2；又∵b3=a2，b5=a6，∴q2====4，∴q=2或q=﹣2（舍），又∵b3=a2=4，∴bn=b3•qn﹣3=4•2n﹣3=2n﹣1；（Ⅱ）由（I）可知，an•bn=（3n﹣2）•2n﹣1，∴Tn=1•20+4•21+7•22+…+（3n﹣5）•2n﹣2+（3n﹣2）•2n﹣1，2Tn=1•21+4•22+…+（3n﹣5）•2n﹣1+（3n﹣2）•2n，错位相减得：﹣Tn=1+3（21+22+…+2n﹣1）﹣（3n﹣2）•2n=1+3•﹣（3n﹣2）•2n=﹣5﹣（3n﹣5）•2n，∴Tn=5+（3n﹣5）•2n．【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．19．某区工商局、消费者协会在3月15号举行了以“携手共治，畅享消费”为主题的大型宣传咨询服务活动，着力提升消费者维权意识．组织方从参加活动的群众中随机抽取120名群众，按他们的年龄分组：第1组[20，30），第2组[30，40），第3组[40，50），第4组[50，60），第5组[60，70]，得到的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）若电视台记者要从抽取的群众中选1人进行采访，求被采访人恰好在第2组或第4组的概率；（Ⅱ）已知第1组群众中男性有2人，组织方要从第1组中随机抽取3名群众组成维权志愿者服务队，求至少有两名女性的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】概率与统计．【分析】（Ⅰ）设第2组[30，40）的频率为f2，利用概率和为1，求解即可．（Ⅱ）设第1组[30，40）的频数n1，求出n1，记第1组中的男性为x1，x2，女性为y1，y2，y3，y4列出随机抽取3名群众的基本事件，列出至少有两名女性的基本事件，然后求解至少有两名女性的概率．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设第2组[30，40）的频率为f2=1﹣（0.005+0.01+0.02+0.03）×10=0.35；…第4组的频率为0.02×10=0.2所以被采访人恰好在第2组或第4组的概率为P1=0.35+0.2=0.55…（Ⅱ）设第1组[30，40）的频数n1，则n1=120×0.005×10=6…记第1组中的男性为x1，x2，女性为y1，y2，y3，y4随机抽取3名群众的基本事件是：（x1，x2，y1），（x1，x2，y2），（x1，x2，y3），（x1，x2，y4）（x1，y2，y1），（x1，y3，y2），（x1，y1，y3），（x1，y4，y1），（x1，y2，y4），（x1，y3，y4），（x2，y2，y1），（x2，y3，y2），（x2，y1，y3），（x2，y4，y1），（x2，y2，y4），（x2，y3，y4），（y1，y2，y3），（y1，y2，y4），（y2，y3，y4），（y1，y3，y4）共20种…其中至少有两名女性的基本事件是：（x1，y2，y1），（x1，y3，y2），（x1，y1，y3），（x1，y4，y1），（x1，y2，y4），（x1，y3，y4），（x2，y2，y1），（x2，y3，y2），（x2，y1，y3），（x2，y4，y1），（x2，y2，y4），（x2，y3，y4），（y1，y2，y3），（y1，y2，y4），（y2，y3，y4），（y1，y3，y4）共16种所以至少有两名女性的概率为…【点评】本题考查古典概型概率公式的应用概率的求法，考查计算能力．20．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90°，AB=4，AA1=6，点M时BB1中点．（1）求证；平面A1MC⊥平面AA1C1C；（2）求点A到平面A1MC的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；平面与平面垂直的判定．【专题】证明题；转化思想；向量法；空间位置关系与距离．【分析】（1）以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面A1MC⊥平面AA1C1C．（2）由=（0，0，6），平面A1MC的法向量=（3，﹣3，4），利用向量法能求出点A到平面A1MC的距离．【解答】证明：（1）以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，由题意A1（0，4，6），M（0，0，3），C（4，0，0），A（0，4，0），=（0，4，3），=（4，0，﹣3），=（0，0，6），=（4，﹣4，0），设平面A1MC的法向量为=（x，y，z），则，取x=3，得=（3，﹣3，4），设平面AA1C1C的法向量=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，1，0），∴=0，∴平面A1MC⊥平面AA1C1C．解：（2）∵=（0，0，6），平面A1MC的法向量=（3，﹣3，4），∴点A到平面A1MC的距离：d===．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．21．已知函数f（x）=lnx﹣（1+a）x2﹣x．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当a＜1时，证明：对任意的x∈（0，+∞），有f（x）＜﹣﹣（1+a）x2﹣a+1．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】综合题；函数思想；转化思想；分析法；导数的综合应用．【分析】（1）求出原函数的导函数，对a分类求解原函数的单调区间；（2）利用分析法证明，把要证的不等式转化为证明成立，即证．令g（x）=，h（x）=x﹣lnx，由导数求出g（x）的最大值和h（x）的最小值，由g（x）的最大值小于h（x）的最小值得答案．【解答】（1）解：由f（x）=lnx﹣（1+a）x2﹣x，得f′（x）=（x＞0），当a=﹣1时，f′（x）=，当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；当时，﹣2（1+a）＞0，﹣2（1+a）x2﹣x+1≥0，即f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上为增函数；当时，﹣2（1+a）＞0，二次方程﹣2（1+a）x2﹣x+1=0有两根，，当x∈（0，x1），x∈（x2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；当a＞﹣1时，﹣2（1+a）＜0，二次方程﹣2（1+a）x2﹣x+1=0有两根，，，当x∈（0，x2）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（x2，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数．（2）证明：要证f（x）＜﹣﹣（1+a）x2﹣a+1，即证lnx﹣（1+a）x2﹣x＜﹣﹣（1+a）x2﹣a+1，即，∵a＜1，∴1﹣a＞0，也就是证，即证．令g（x）=，则g′（x）=，当x∈（0，e）时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，当x∈（e，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）为减函数，∴；令h（x）=x﹣lnx，h′（x）=1﹣，当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，h（x）为减函数，当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）为增函数，∴h（x）min=h（1）=1，∴成立，故对任意的x∈（0，+∞），有f（x）＜﹣﹣（1+a）x2﹣a+1．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，体现了分类讨论的数学思想方法，考查逻辑推理能力和运算能力，属难题．请考生在第22,23,24题中任选一题作答，选修4-1：几何证明选讲22．选修4﹣1：几何证明选讲如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，过点P的割线交圆于B、C两点，弦CD∥AP，AD、BC相交于点E，F为CE上一点，且DE2=EF•EC．（1）求证：CE•EB=EF•EP；（2）若CE：BE=3：2，DE=3，EF=2，求PA的长．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】选作题．【分析】（I）由已知可得△DEF∽△CED，得到∠EDF=∠C．由平行线的性质可得∠P=∠C，于是得到∠EDF=∠P，再利用对顶角的性质即可证明△EDF∽△EPA．于是得到EA•ED=EF•EP．利用相交弦定理可得EA•ED=CE•EB，进而证明结论；（II）利用（I）的结论可得BP=，再利用切割线定理可得PA2=PB•PC，即可得出PA．【解答】（I）证明：∵DE2=EF•