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第十章积分学定积分二重积分三重积分积分域区间平面空间曲线积分曲线曲面曲线积分曲面积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分曲面积分曲线积分一、问题的提出实例:曲线形物体的质量匀质之质量分割求和取极限近似值准确值有平面上的曲线形物体，曲线弧为L

,线密度为近似二、对弧长的曲线积分的概念1.定义被积函数积分弧段积分和式曲线形物体的质量2.存在条件：3.推广注：思考:(1)若在

L

上f(x,y)≡1,(2)定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例?否!

对弧长的曲线积分要求ds

0,但定积分中dx

可能为负.4.性质三、对弧长的曲线积分的计算基本思路:计算定积分转化定理:且上的连续函数,是定义在光滑曲线弧则曲线积分求曲线积分(注意到说明:因此积分限必须满足注:2.上述计算公式相当于“换元法”.推广:例1.

计算其中L是抛物线与点

B(1,1)之间的一段弧.解:上点O(0,0)例2解例4.计算曲线积分

其中为螺旋的一段弧.解:

线四、几何与物理意义例.计算半径为R,中心角为的圆弧L

对于它的对称轴的转动惯量I(设线密度

=1).解:

建立坐标系如图,则五、小结1.对弧长曲线积分的概念2.对弧长曲线积分的计算3.对弧长曲线积分的应用思考与练习1.已知椭圆周长为a,求提示:原式=利用对称性注：若平面曲线弧具

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