高二物理波的干涉3

波的干涉一、波的迭加原理实验证明：当介质中存在两个以上的波源时，这时各波源所激起的波可在同一介质中独立地传播；而在各个波相互交迭的区域，各点的振动(位移或电磁场)则是各个波在该点激起的振动的矢量和。例如：(1)几个水波可以互不干扰地相互贯穿，然后继续按各自原来方式传播；

(2)当交响乐队演奏时，人耳仍能清晰地分辨出每个乐器演奏的旋律。两水波的叠加SS12沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加理论分析：由于波动的方程式

2y/2t=u22y/2x是线性的。可证明：如果y1(x、t)和y2(x、t)分别满足波动方程，则合成波y=y1(x、t)+y2(x、t)也满足波动方程，这就是波的波加原理的数学表示。二、波的干涉1、相干源两个频率相同，振动方向相同、相位相同或相位差恒定的波源。干涉现象：两个相干源波在空间迭加时，在某些点处振动始终加强，而在另一些点处，振动始终减弱。光既然是电磁波，也能产生干涉现象。光的相干性：(1)两独立的光源不可能成为一对相干光源原因：原子发光是随机的，间歇性的，两列光波的振动方向不可能一致，周相差不可能恒定。钠光灯A钠光灯B两束光不相干！(2)同一光源上两个不同的部分，也不可能得到相干光源。钠光灯A两束光不相干！相干光实现方法：为了利用普通光源(除激光外)获得相干光，其基本方法是把由同一光源上同一点发出的光，设法分成两部分。(1)分波阵面法从光源发出的同一列波的波面上分割出两个微小的部分(例如双孔干涉)，这两个微小部分可以看作两个子光源，它们发出的光是相干光。(2)分振幅法设法把同一波列(一个分子或原子在持续时间内发出的光波)的光波通过反射或折射等过程，分成两束光波(例如薄膜干涉)。显然，这两列光波是相干光波，它们的能量是从同一波列的光波分出来的。

激光是目前最理想的相干光源，它不仅同一光源上同一点发出的是相干光，而且同一光源上两个不同的部分也具有很好的相干性，甚至两个独立激光器的光波也能相干。y10=A10cos(2t+φ1)y20=A20

cos(2t+φ2)S1和S2发出的波到达P点的振动分别为：y1=A1cos(2t+φ1-2r1/λ)y2=A2cos(2t+φ2-2r2/λ)两个振动在P点的相位差为：Δφ=φ2-φ1-2(r2-r1)/λP点的振动就是这两个振动的合振动。S1S2r1r2P2、两个相干源的干涉设波源S1、S2的振动方程为：P点合振动：频率

—两同频率、同方向振动的合振动仍为同频率的振动；振幅

—由两分振动的相位差来决定。由于两波源的相位差φ2-φ1是恒定的，因此，空间中任一P点两振动的相位差也是恒量，所以，任一P点合振幅也是恒量。干涉加强与减弱条件：加强：Δφ=φ2-φ1-2(r2-r1)/λ

=±2k(k=0，1，2，3…)

合振幅A最大，A=A1+A2。减弱：Δφ=φ2-φ1-2(r2-r1)/λ=±(2k+1)(k=0，1，2，3…)

合振幅A为最小，A=|A1-A2|。如果φ1=φ2，上述条件可简化为波程差δ：加强：δ=r2-r1=±2k(λ/2)

(k=0，1，2…)

又称为干涉相长减弱：δ=r2-r1=±(2k+1)(λ/2)

（k=0，1，2…)

又称为干涉相消xk=+1k=-2k=+2k=0k=-1S1S2S***I例10-4杨氏双孔干涉实验现象解：S

是单色点光源，在遮光屏B上开两小孔

S1，S2作为相干光源。设S

到S1

和S2

的距离相等，则S1和S2可看作两个相位相同的相干光源。问题的关键是计算从S1和S2到P(x,y)点的波程差

δ=r2-r1。xDSS12rr12dP(x,y)SOB通常D>>d，由几何关系可得：r12=D2+(x-d/2)2+y2r22=D2+(x+d/2)2+y2两式相减后，得：r22-r12=(r2-r1)(r2+r1)=2dxxDSS12rr12dP(x,y)SOrBr22-r12=(r2-r1)(r2+r1)=2dx因D>>d

r2+r12r

波程差：δ=r2-r1

dx/r当x<<D

时，r

D

波程差：δ=r2-r1

dx/DxDSS12rr12dP(x,y)SOrB波程差：δ=r2-r1

dx/DP点干涉加强的条件为：δdx/D=±2k(λ/2)明条纹中心的位置：

x=±kDλ/d(k=0，1，2，3…)其中k叫做明条纹的级次。由于上式表示一条直线方程，所以两孔干涉在光屏上的明条纹为等间隔直条纹。相邻明条纹的间距为：Δx=Dλ/d同理可得暗纹中心的位置：

x=±(2k+1)Dλ/2d

(k=0，1，2，3…)暗条纹也是等间隔直条纹，相邻间距与明条纹一样。

如果用白光做实验，则除了k=0级次(中央明纹)的中部为白色外，其他各级次明纹将因不同波长(色光)的极大在不同位置而变成彩色。

著名的杨氏双孔实验，证实光的波动性。后来狭缝代替针孔称为双缝实验可得更清晰且明亮干涉图样，请同学们想想其中的原因。

思考题在杨氏双孔实验（D»d）中，如果点光源S1、沿垂直画面方向作微小位移，

2、沿平行于S1S2连线方向作微小位移，问：屏上的干涉条纹将会如果变化？k=+1k=-2k=+2k=0k=-1S1S2S***I考虑N个完全相同的相干波源排在一条线上的情形。简化起见假定在很远处观察合成的波动，所以干涉的波线实际上是平行的。相邻波源的波程差：δ=dsin

相位差：Δφ=2δ/λ=2dsin/λ式中d为相邻波源的间距，为观察方向。dδ3、多个相干源的干涉极小条件：NΔφ=±2k’

见图

3

dsin=±k’λ/N

(k’N整数倍)主极大条件：Δφ=±2k

见图

2即：dsin=±kλ

(k=0，1，2，3…)旋转矢量的矢量和：

见图

1Aφ图1xo

图2φ图3因为每两个主极大之间有(N-1)个极小，所以每两个主极大之间有(N-2)个次极大。N=2dsin/dsin/N很大dsin/N=4从图中可看出当增加波源数N时，系统变为高度方向性。方向性效应被广泛用于广播或接收电台上。例如：对于相距d=λ/2的四个线型天线。主极大条件：

sin=kλ/d=2k

(k=0)即：

=0及π方向上有极大值；极小条件：

sin=k’λ/Nd=k’/2

(k’=±1，±2)即：

=±π/3和±π/2方向上有极小值。于是这种天线就比较善于发射或接收垂直于连接波源线的方向上的信号，因而被称为横列指向天线。同样方向性效应也被应用干射电望远镜上。四个线型天线强度随角度分布：见下图=-π/3

=π/3

=π/2

=π

=0

d=λ/2

三、驻波1、驻波的形成和特点(1)驻波形成的条件

两列振幅相同，传播方向相反的相干波的迭加。——波干涉的特例。(2)定量分析（以平面简谐波为例）设两列频率、振幅及振动方向相同，传播方向相反的平面简谐波：y1=Acos2(t-x/)，y2=Acos2(t+x/)。合成波：y=y1+y2

=[2Acos2x/]

cos2t合成波：y=[2Acos2x/]cos2t讨论：(A)各点都在作同频率的振动

cos2t；(B)位置x点的振幅|2Acos2x/|

(C)位置x点的振动相位依赖与2Acos2x/

的正负号。正号（或负号）各处相位相同，但正、负号之间处相位反相。波节波腹(D)在x=k/2处，振幅|2Acos2x/|=2A，

振幅最大，称为波腹；

在x=(2k+1)/4处，振幅|2Acos2x/|=0，

静止不动，称为波节。其中k=0，1，2…。(F)相邻两个波腹或波节之间的距离为/2。这为我们提供了一种测定波长的方法波节波腹波节波腹(G)驻波使波线上各点作分段振动

(两个相邻波节为一分段

)，在每一分段中，各点的振动相位是相同；两个相邻分段，振动相位正好反相。每分段中各点的振动相位是相同的，这种波称为驻波；而相位逐点传播的波称为行波。(3)驻波特点频率：各质元频率相同；振幅：与位置有关；相位：同一分段，相位相同；相邻分段，相位反相。能量：波腹处，动能为零，聚集势能；波节处，势能为零，聚集动能。

驻波能量不断在相邻波腹与波节之间相互转换，没有单一方向的能量传播。入射波y反射波y(4)半波损失绳子波在固定端反射：叠加后的波形在反射端形成波节。在反射端入射波和反射波周相相反，即入射波到达两种媒质分界面时发生相位突变，称为半波损失。墙体)波密媒质(反射波叠加后的波形入射波自由端yy绳子波在自由端反射在反射端形成波腹。在反射端入射波和反射波周相相同，无半波损失。“半波损失”将决定于波的种类和两种介质的有关性质以及入射角的大小。机械波：波密介质

—密度ρ与波速u的乘积ρu较大的介质。

波疏介质

—乘积ρu较小的介质。光波：光密介质

—折射率n较大的介质；

光疏介质

—折射率n较小的介质。可以证明：当波从波(光)疏介质垂直入射到波(光)密介质而反射时，则反射波有

相位突变，相应有半波波程的损失。这样在分界处出现波节，这种现象称为“半波损失”。例10-5一平面波沿x轴正方向传播，传到波密介质分界面M在B点发生反射。已知坐标原点O到介质分界面M的垂直距离L=1.75m，波长λ=1.4m，原点O处的振动方程为：

yo=510-3cos(500t+/4)m，并设反射波不衰减，试求：(1)入射波和反射波的波动方程；(2)O和B之间其余波节的位置；(3)离原点为0.875m

处质点的振幅。LOBMu

解：(1)已知原点振动方程为：yo=510-3

cos(500t+/4)m则入射波的波动方程为：y入=510-3cos[2(250t-x/1.4)+/4]

m反射波：考虑C点，反射波引起C点振动的相位落后于O点振动的相位为2(2L-x)/λ+

，所以反射波的波动方程为：y反

=510-3cos[500t+/4-2(2L-x)/λ+]=510-3cos[2(250t+x/1.4)+/4]

mLOBMu

Cx(2)x处反射波与入射波引起振动相位差：Δφ=(2x/1.4+/4)-(-2x/1.4+/4)=4x/1.4干涉减弱条件可得波节位置满足条件为：4x/1.4=(2k+1)波节位置：

x=0.35(2k+1)m，(k=0，1，2…)=0.35，1.05，1.75m所以O和B之间其余波节位置：x1=0.35

m,x2=1.05

m。(3)在x=0.875m

处，反射波和入射波间的相位差：

Δφ=40.8751.4

=5/2合振幅：

A=(A入2+A反2+2A入A反cosΔφ)1/2

=1.414A入

=1.414510-3

=7.0710-3m2、简正模式驻波的频率由系统的固有性质和边界条件决定。例如：一根两端固定，长为l的紧张弦上的驻波，必须使两端成为波节，即弦长必须是半波长的整数倍：l=kλ/2λk=2l/k(k=1，2，3…)对应的驻波频率：(u为弦线中的波速)k

=ku/2l(k=1，2，3…)/23/2k=1k=2k=3k

=ku/2l(k=1，2，3…)简正模式：频率由上式决定的振动方式，称为该系统的。其中最低的频率1称为系统的基频，2，3

，4

…称为二次、三次，四次，…谐频。简正模式是驻波系统可能发生的振动方式。共振：当外界驱动源频率等于(或很接近)系统的某一模式的频率时，系统就发生幅度很大的驻波。通常把这种现象也叫做共振。在弹簧和质点系统中只有一个共振频率，而驻波系统可有许多共振频率。一般情况下，任一振动可以表示为它的各种简正模式的迭加。各个模式的强弱和相位则由系统的具体条件和激发方式决定。弦乐器就是基于这一原理制作的。当弦乐器因拉弦而激起振动时，就发出一定的声音来，它包含各种频率。基音：

对应最低频率1，决定声音的音高；泛音：对应频率k称为第k泛音，泛音决定各种乐器的音色。例如同奏一个“C”音，提琴和胡琴就很不同，这就是因为它们所包含的泛音不同的缘故。对于管、鼓、膜或空腔等驻波系统，也同样有简正模模式和共振现象。可以证明：对于矩形膜上简正模式为：

=u(k12/a2+k22/b2)1/2/2其中a和b分别为矩形的长与宽，k1和k2是整数。

对于矩形空腔内的简正模式为：

=u(k12/a2+k22/b2+k32/c2)1/2/2其中a、b和c分别为矩形空膜的长、宽和高，k1，k2和k3是整数。解：当绳索上激起强驻波时，可把绳索看作两端固定的系统，可得：k=k(T/η)1/2/2l

式中k是所激起驻波包含的半波数。例10-6设A、B间绳索长l=1米，绳索线密度η=5克/米，所持砝码为1千克。为在绳索上激一个半波，二个半波和三个半波的强驻波，问发生器的频率(即音叉的振动频率)应分别为多少?lABPmk=k(T/η)1/2/2l已知：l=1m，T=1kg×9.8m/s2=9.8N，

η=5g/m=5×10-3kg/m，

k=1，2，3代入上式，得：

1

=1(9.8/510-3)1/2/21=22.1Hz

2

=2(9.8/510-3)1/2/21

=44.3Hz

3

=3(9.8/510-3)1/2/21

=66.5Hz四、薄膜干涉1、光程和光程差前面讨论波的干涉条件时，仅限于相干波在同一介质内传播的情况。下面将讨论相干光经过不同介质后产生的干涉现象光程：光在折射率为n的介质中传播，通过几何路程为x，则光的相位改变了：

Δφ=2x/’

(’为介质中的波长)

Δφ=2nx/

(为真空中的波长)Δφ=2

nx/

(为真空中的波长)定义：光程=nx，即折算到真空中的路程。Δφ与光程差δ之间的关系：Δφ=2δ/

同相位的相干光，明暗条纹的干涉条件：

Δφ=2δ/=±2k

（明条纹）

Δφ=2δ/=±(2k+1)（暗条纹）用光程差δ来表示，即：

δ=±2k/2

（明条纹）

δ=±(2k+1)/2（暗条纹）其中k=0，1，2，3…。解：δ=(S1A-e)+ne-S2A因为A点在S1S2

的中垂线上，所以

S1A=S2A故光程差为：

δ=(n-1)e因此在A点的相位差Δφ为：

Δφ=2πδ/λ=2π(n-1)e/λ例10-7：相干光源S1和S2，波长为λ，在S1S2

的中垂线上有一点A，若在S1A连线上垂直插入一厚为e折射率为n的介质，求两相干光源在A点的相位差Δφ。AS1S2neadeg与bh几何路程不等，但光程相等。abc三点在同一波阵面上，相位相等，到达F

点相位相等，形成亮点，所以透镜的引入不会引起附加的光程差。agcbh.....eF屏.d.透镜的等光程性:F屏acb...倾斜入射时：abc

三点在同一波阵面上，相位相等，到达F

点相位相等，形成亮点，透镜的引入同样不会引起附加的光程差。透镜的等光程性:

δ=n2(AC+CB)-n1DB由几何关系：AC=CB=e/cos

rDB=ABsini=2etg

rsini，折射定律：n1sini=n2sinr可得光程差：δ=2n2ecos

rCDABriib1a1n12nern3=n1ab设透明薄膜材料的两个表面互相平行，来自扩展光源(面光源)上某点发出的a、b两束平行光分别入射到薄膜表面上的A和B点，两束反射线a1和b1之间光程差δ为：2、薄膜干涉的光程差可证明：1、当n1

>n2

>n3

或

n1

<n2

<

n3

时，反射没有附加半波损失；2、其它情况下，反射要考虑附加半波损失。n2

n1

n3

透射光：光程差δ’为：δ’=δ+λ/2

所以：反射光干涉加强时，透射光干涉减弱；反射光干涉减弱时，透射光干涉加强。δ=2n2ecos

r薄膜干涉分类

(1)等厚干涉

当光线入射角i一定时，相同厚度e薄膜处有同一光程差，这样干涉现象称为等厚干涉，等厚干涉条纹在薄膜表面附近。

(2)等倾干涉

当薄膜厚度均匀一定时，相同的入射角i的光线有同一光程差，这样的干涉现象称为等倾干涉，等倾干涉条纹在无限远处，可用透镜聚集在焦平面上得到一同心园形干涉条纹。当平行光垂直(i=0)入射劈面上，由于劈尖上下介质相同(n1=n3)，反射干涉应考虑附加半波损失。干涉明纹：δ=2n2e+λ/2=2k(λ/2)干涉暗纹：δ=2n2e+λ/2=(2k+1)(λ/2)3、等厚干涉实例分析例10-8劈尖干涉（n1=n3，劈尖角很小）干涉暗纹n2ek+1ek

θθ平行光干涉明纹：δ=2n2e+λ/2=2k(λ/2)干涉暗纹：δ=2n2e+λ/2=(2k+1)(λ/2)

上两式表明：每级明或暗条纹都与一定的膜厚e相对应。因而在介质膜上表面的同一条等厚线上，就形成同一级次的一条干涉条纹。这样形成的干涉条纹叫做等厚条纹。

在棱边处e=0，两相干光的光程差δ=λ/2，即相位差为π，因而形成暗条纹。干涉暗纹n2ek+1ek

θθ平行光条纹间距l

：

e=ek+1-ek=lsinl=(ek+1-ek)sin

=Δe/sin

式中θ为劈尖顶角，Δe为与相邻明纹或暗纹对应的厚度差。对于相邻的两条明纹：

2n2ek+1+λ/2=(k+1)λ2n2ek+λ/2=kλΔe=ek+1-ek=λ/2n2

l=λ/2n2sin通常很小

sin≈

l≈

λ/2n2

n2ek+1ek

θθ平行光讨论：条纹间距、条纹密度与劈尖角关系上式表明，劈尖干涉形成的干涉条纹是等间距的，条纹间距与劈尖角θ有关。θ越大，条纹间距越小，条纹越密。当θ大到一定程度后，条纹就密不可分了。所以干涉条纹只能在劈尖角度很小时才能观察到。条纹间距：l≈

λ/2n2夹角变小，条纹变宽，条纹向右移动夹角变小，条纹变宽，条纹向右移动夹角变小，条纹变宽，条纹向右移动夹角变小，条纹变宽，条纹向右移动夹角变小，条纹变宽，条纹向右移动夹角变小，条纹变宽，条纹向右移动夹角变小，条纹变宽，条纹向右移动夹角变小，条纹变宽，条纹向右移动夹角变小，条纹变宽，条纹向右移动夹角变小，条纹变宽，条纹向右移动夹角变小，条纹变宽，条纹向右移动夹角变小，条纹变宽，条纹向右移动夹角变小，条纹变宽，条纹向右移动夹角变大，条纹变密条纹向左移动夹角变大，条纹变密条纹向左移动夹角变大，条纹变密条纹向左移动夹角变大，条纹变密条纹向左移动夹角变大，条纹变密条纹向左移动夹角变大，条纹变密条纹向左移动夹角变大，条纹变密条纹向左移动夹角变大，条纹变密条纹向左移动夹角变大，条纹变密条纹向左移动夹角变大，条纹变密条纹向左移动劈尖干涉应用（1）已知劈尖的折射率n2和入射光的波长λ，又测出条纹间距l，则可求得劈尖角θ。在工程上，常利用这一原理测定细丝直径，薄片厚度等。（2）利用等厚条纹特点检验工作的平整度，这种检验方法能检查出不超过λ/4的凹凸缺陷。应该出现暗纹的位置实际的暗纹位置试件标准件利用干涉现象检验平面的平整度假设n2<n1，n2<n3例如：介质为空气情形，有附加半波损失，所以反射干涉的光程差为：δ=2n2e+λ/2明环：2n2e+λ/2=kλ

（k=1，2，3…）暗环：2n2e+λ/2=(2k+1)λ/2

（k=0，1，2…）erRλn1n2n3AO在中心处，e=0，光程差为λ/2，形成暗斑。例10-9牛顿环干涉环半径r与对应介质厚度e的关系：根据勾股定理有：

r2=R2-(R-e)2

=2Re-e2因为R>>e，可略去e2，

r2=2Re可得明环半径为：

r=[(2k-1)Rλ/2n2

]1/2,

(k=1，2，3…)

暗环半径为：

r=[kRλ/n2

]1/2，(k=0，1，2…)

由于半径r与环的级次k的平方根成正比，所以越向外环越密。erRλn1n2n3AO透镜曲率半径变小时干涉条纹变密透镜曲率半径变小时干涉条纹变密透镜曲率半径变小时干涉条纹变密透镜曲率半径变小时干涉条纹变密透镜曲率半径变小时干涉条纹变密透镜曲率半径变小时干涉条纹变密透镜曲率半径变小时干涉条纹变密透镜曲率半径变小时干涉条纹变密透镜曲率半径变小时干涉条纹变密透镜