第5章曲线与曲面

第二篇几何第6章曲线与曲面6.1基础知识自由曲线和曲面发展过程自由曲线曲面的最早是出现在工作车间，为了获得特殊的曲线，人们用一根富有弹性的细木条或塑料条（叫做样条），用压铁在几个特殊的点（控制点）压住样条，样条通过这几个点并且承受压力后就变形为一条曲线。人们调整不断调整控制点，使样条达到符合设计要求的形状，则沿样条绘制曲线。1963年，美国波音，弗格森提出使用参数三次方程来构造曲面1964-1967年，美国MIT，孔斯用封闭曲线的四条边界来定义曲面1971年，法国雷诺汽车，Bezier提出用控制多边形来定义曲线和曲面1974年，美国通用汽车，戈登和里森菲尔德,B样条理论用于形状描述1975年，美国锡拉丘兹大学，佛斯普里尔提出有理B样条80年代，皮格尔和蒂勒,将有理B样条发展成非均匀有理B样条，NURBS方法6.1基础知识从表示形式来看，曲线可分成两大类：规则曲线——自由曲线——可以用标准方程描述的曲线。如圆、椭圆、抛物线、双曲线、渐开线、摆线等无法用标准方程描述的曲线，通常由一系列实测数据点确定。如汽车的外形曲线、等高线等。曲线6.1基础知识从生成算法来看，曲线可分成两大类：

拟合型设计型对已经存在的离散点列构造出尽可能光滑的曲线，以直观（而忠实）地反映出实验特性、变化规律和趋势等。设计人员对其所设计的曲线并无定量的概念，而是在设计过程中即兴发挥。6.1.1曲线的表示

曲线的表示方法

参数表示非参数表示显示表示隐式表示6.1.1曲线的表示

显示表示

隐式表示6.1.1曲线的表示

参数表示

参数的含义t：表示时间，距离，角度，比例等等规范参数区间[0，1]6.1.1曲线的表示--以直线为例已知直线的起点坐标P1（x1，y1）和终点坐标P2（x2，y2）,直线的显式方程表示为：直线的隐式方程表示为：6.1.1曲线的表示

直线的参数方程表示为：，t∈[0,1]

6.1.1曲线的表示

1）用参数表示的曲线形状本质与坐标系的选取无关，具有几何不变性；2）有更大自由度来控制曲线的形状；3）容易实现各种线性变换运算；4）曲线的端点、导数等计算简单，避免了无穷大斜率的问题；5）便于曲线的分段描述；6）易于处理多值问题；7）参数的变化约定为[0,1]，自然规定了曲线是有界的。参数表示法的优越性：曲线构造方法插值法逼近法6.1.2插值

通过测量或计算得到的曲线上少量描述曲线几何形状的数据点。型值点

控制点用来控制或调整曲线形状的特殊点（不一定在曲线上）

插值点在型值点或控制点之间插入的一系列点。6.1.2插值

插值给定一组有序的数据点Pi，i=0,1,…,n，构造一条曲线顺序通过这些数据点，称为对这些数据点进行插值，所构造的曲线称为插值曲线。6.1.2插值

–线性插值线性插值：假设给定函数f(x)在两个不同点x1和x2的值，用线形函数y=Φ(x)=ax+b近似代替，称Φ(x)为f(x)的线性插值函数。6.1.2插值

–抛物线插值抛物线插值(二次插值)

已知f(x)在三个互异点x1,x2,x3的函数值为y1,y2,y3，要求构造函数y=Φ

(x)=ax2+bx+c,使得Φ(x)在xi处与f(x)在xi处的值相等。6.1.3逼近逼近构造一条曲线使之在某种意义下最接近给定的数据点，称对这些数据点进行逼近，所构造的曲线称为逼近曲线。用这种方法建立的曲线数学模型只是近似地接近已知的控制点，并不一定完全通过所有的控制点。控制点控制多边形或特征多边形6.1.4拟合

拟合：在曲线曲面的设计过程中，用插值或逼近的方法使生成的曲线曲面达到某些设计要求。6.1.5曲线的连续性

构造复杂曲线时，可以首先构造一些简单的自由曲线,然后将这些简单曲线段连接成复杂曲线。拼接条件：首先必须有连接点，其次必须在连接点处平滑过渡，即需要满足连续性条件。连续性条件有两种：参数连续性和几何连续性。6.1.5曲线的连续性

–参数连续性零阶参数连续性（记作C0）：指相邻两个曲线段在交点处具有相同的坐标。6.1.5曲线的连续性—参数连续性

一阶参数连续性（记作C1）相邻两个曲线段在交点处具有相同的一阶导数。6.1.5曲线的连续性—参数连续性

二阶参数连续性（记作C2）指相邻两个曲线段在交点处具有相同的一阶和二阶导数。6.1.5曲线的连续性—几何连续性

几何连续性只要求导数成比例，而不是相等。

零阶几何连续性（记作G0）：与零阶参数连续性相同，即相邻两个曲线段在交点处有相同的坐标。6.1.5曲线的连续性—几何连续性

一阶几何连续性（记作G1）指相邻两个曲线段在交点处的一阶导数成比例，但大小不一定相等。6.1.5曲线的连续性

–几何连续性二阶几何连续性（记作G2）指相邻两个曲线段在交点处的一阶和二阶导数成比例，即曲率一致。样条曲线

在汽车制造厂里，传统上采用样条绘制曲线的形状。绘图员弯曲样条（如弹性细木条）通过各实测点，其它地方自然过渡，然后沿样条画下曲线，即得到样条曲线（SplineCurve)。样条曲线

在计算机图形学中，样条曲线是指由多项式曲线段（可为规则/自由曲线段）连接而成的曲线，在每段的边界处满足特定的连续性条件。样条曲线的插值通常：进行分段插值n+1个控制点进行分段，建立简单的数学模型；在线段交点处，设置边界条件进行光滑连接。构造通过5个型值点的抛物线参数样条曲线P1P2P3P4P5这样构造出来的抛物线参数样条曲线完全通过给定的5型值点，除了P1到P2的区间,P4到P5的区间其他两个型值点之间都是重合区间6.1.6Hermite样条曲线

从a3x到a0z有12个系数为代数系数，它们确定了这条参数曲线的形状和位置。系数不同则曲线不同。把上述的代数方程改写为矢量形式P(t)表示曲线上任一点的位置矢量；系数a0表示(a0x,a0y,a0z)一般的三次参数样条曲线的代数形式6.1.6Hermite样条曲线

给出端点坐标、端点坐标的切矢量，即：P(0),P(1),P’(0),P’(1)根据条件，得出方程：6.1.6Hermite样条曲线矩阵形式：则：6.1.6Hermite样条曲线

令三次参数样条曲线方程可以写成：根据：Hermite矩阵三次Hermite样条曲线的方程6.1.6Hermite样条曲线上式展开因为它们调和了边界约束值，使在整个参数范围内产生曲线的坐标值。调和函数仅与参数t有关，而与初始条件无关。

其中:称为Hermite样条调和函数6.1.6Hermite样条曲线Hermite样条曲线通过给定的N个型值点构造，每两个型值点之间生成一条Hermite曲线段，Hermite样条曲线由N-1条首尾相连的Hermite曲线构成，并且相邻的Hermite曲线段在连接点处二阶导数相等（C2连续性）Hermite曲线段定义：给定曲线段的两个端点Pi、Pi+1和两端点处的一阶导数Ri和Ri+1构造而成。6.1.6Hermite样条曲线例1：给定9个型值点，其中起始点和终止点是同一个点，从而其特征多边形是一个首尾相接的封闭多边形，具体坐标位置如下：（100,300）,（120,200）,（220,200）,（270,100）,（370,100）,（420,200）,（420,300）,（220,280）,（100,300）假定各点处的一阶导数数值如下：（70,-70）,（70,-70）,（70,-70）,（70,-70）,（70,70）,（70,70）,（-70,70）,（-70,70）,（70,-70）用Hermite插值方法绘制曲线。解：p0=(100,300)p1=(120,200)p0’=(70,-70)p1’=(70,-70)For(t=0;t<=1;t=t+0.1)或For(t=0;t<=1;t=t+0.01)或6.1.6Hermite样条曲线解：两段三次Hermite曲线分别为：

Q1(t1)=a3t13+a2t12+a1t11+a0t1∈[01]Q2(t2)=b3t23+b2t22+b1t21+b0t2∈[01]

依据C2连续充要条件为：

Q1(1)和Q2(0)在P点处重合，且其在P点处的切矢量方向相同，大小相等例2：试求两段三次Hermite曲线达C2连续的条件。6.1.6Hermite样条

即Q1(1)=Q2(0)、Q1’(1)=Q2’(0)、Q1”(1)=Q2”(0)有Q1(1)=a3+a2+a1+a0

Q2(0)=b0因Q1’(t1)=3a3t12+2a2t1+a1

Q2’(t2)=3b3t22+2b2t2+b1

则Q1’(1)=3a3+2a2+a1Q2’(0)=b1

因Q1”(t1)=6a3t1+2a2Q2”(t2)=6b3t2+2b2

则Q1”(1)=6a3+2a2Q2”(0)=2b2

6.1.6Hermite样条

=>两段三次Hermite曲线：

Q1(t1)=a3t13+a2t12+a1t11+a0t1∈[01]Q2(t2)=b3t23+b2t22+b1t21+b0t2∈[01]

要达到C2连续，其系数必须满足下列关系式：

a3+a2+a1+a0=b03a3+2a2+a1=b16a3+2a2=2b26.2Bezier曲线

1962年，法国雷诺汽车公司的P.E.Bezier提出了一种函数逼近和几何表示相结合的参数曲线表示方法，用这种方法生成的曲线称为Bezier曲线。这种方法的特点是所输入型值点与生成曲线之间的关系明确，能比较方便地通过修改输入参数来改变曲线的形状和阶次。6.2.1Bézier曲线的定义

由一组多边折线的顶点定义,在多边折线的各顶点中，只有第一点和最后一点在曲线上,第一条和最后一条折线分别表示出曲线在起点和终点处切线方向。曲线的形状趋向于多边折线的形状，因此，多边折线又称为特征多边形，其顶点称为控制点。Bézier曲线的数学表示

u[0,1]Pk为各顶点的位置向量(xk,yk,zk)，称为伯恩斯坦（Bernstain）基函数，也称为特征多边形各顶点位置向量之间的调和函数，其定义如下Bezier曲线次数严格依赖于确定该段曲线的控制点个数，通常由（n﹢1）个顶点定义一个n次多项式，曲线上各点参数方程式为：n次多项式曲线P(u)称为n次Bezier曲线Bézier曲线的数学表示

(k﹦0,1,...,n)其中：参数u的取值范围为[0,1]，n是多项式次数,也是曲线次数。规定0！=1，00=1。注意：Bezier曲线是一个阶数比控制点少1的多项式。

一次Bézier曲线n=1时，有两个控制点P0和P1一次Bezier曲线是连接起点P0和终点P1的直线段。二次Bézier曲线n=2，有三个控制点P0、P1和P2：二次Bezier曲线是一条以P0为起点，P2为终点的抛物线。三次Bézier曲线n=3，有四个控制点P0、P1、P2和P3：三次Bezier曲线是自由曲线。6.2.2Bézier曲线的性质曲线的起点和终点与特征多边形的起点和终点重合对伯恩斯坦基函数来说，有：

当u﹦0时，只有k﹦0的项不为0，其它项都为uk﹦0k﹦0

当u﹦1时，只有k=n的项不为0，其它项都为(1-u)n-k﹦0n-k﹦06.2.2Bézier曲线的性质端点切线Bezier曲线在起点处的切线位于前两个控制点的连线上，而终点处的切线位于最后两个控制点的连线上，即曲线起点和终点处的切线方向与起始折线段和终止折线段的走向一致。6.2.2Bézier曲线的性质6.2.2Bézier曲线的性质在起始点u﹦0,B’1,n-1(0)﹦1，其余项均为0，故有:P’(0)﹦n(P1﹣P0)在终止点u﹦1,Bn-1,n-1(1)﹦1，其余项均为0，故有:P’(1)=n(Pn﹣Pn-1)Bezier曲线在端点处的一阶导数只同相近的两个控制点有关，其方向相同于两点的连线方向。6.2.2Bézier曲线的性质二阶导数对参数t求二阶导数可得：

在起始点t﹦0处的二阶导数为：

P”(0)﹦n(n﹣1)(P2﹣2P1﹢P0)=n(n-1)((P2﹣P1)-(P1-P0))在终止点t﹦1处的二阶导数为：

P”(1)﹦n(n﹣1)(Pn﹣2Pn-1﹢Pn-2)=n(n-1)((Pn-2﹣Pn-1)-(Pn-1﹣Pn))结论：Bezier曲线在端点处的二阶导数只同相近的三个控制点有关。那么，Bezier曲线在端点处的r阶导数是由与端点r+1个邻近的控制多边形顶点来决定。6.2.2Bézier曲线的性质

由Bezier曲线的数学定义知，曲线的形状由特征多边形的顶点Pk(k﹦0,1,...,n)唯一确定，与坐标系的选取无关,这就是几何不变性。几何不变性

保持控制多边形的顶点位置不变，仅仅把它们的顺序颠倒一下，将下标为k的控制点Pk改为下标为n-k的控制点Pn-k时，曲线保持不变，只是走向相反而已。对称性6.2.2Bézier曲线的性质

落在特征多边形顶点所形成的凸包内。即当特征多边形为凸时，Bezier曲线也是凸的；当特征多边形有凹有凸时，其曲线的凸凹形状与之对应。

Bezier曲线的凸包性质保证了曲线随控制点平稳前进而不会振荡。凸包性6.2.2Bézier曲线的性质变差缩减性

对于平面Bezier曲线，平面内任意一条直线与其交点的个数不多于该直线与其控制多边形的交点个数。Bezier曲线比特征多边形的折线更光滑。6.2.3Bézier曲线的拼接

几何设计中，一条Bezier曲线往往难以描述复杂的曲线形状。由于增加特征多边形的顶点数，会引起Bezier曲线次数的提高，而高次多项式又会带来计算上的困难。一般采用分段设计，然后将各段曲线相互连接起来，并在接合处保持一定的连续条件。下面讨论两段Bezier曲线达到不同阶几何连续的条件。设有两段三次Bezier曲线P(t)和Q(t)，相应控制点为Pi(i=0,1,...,n)和Qj(j=0,1,...,m)，如下图所示。6.2.3Bézier曲线的拼接an-1anan-2b1b2b3Pn(Q0)Pn-2Pn-1Pn-3P(t)Q(t)6.2.3Bézier曲线的拼接（1）要使它们达到G0连续的充要条件是：Pn=Q0；（2）要使它们达到G1连续的充要条件：P2P3(Q0)Q1三点共线第一段曲线终点处的导数为：

P’(1)﹦3(P3﹣P2)第二段曲线起点处的导数为：

Q’(0)﹦3(Q0﹣Q1)一阶导数要连续，则应有P’(1)﹦αQ’(0)，即:P3﹣P2﹦α

（Q1﹣Q0）

也即要求P2P3(Q0)Q1三点共线。6.2.3Bézier曲线的拼接（3）要使它们达到G2连续的充要条件是：在G1连续的条件下，满足Pn-2、Pn-1、Pn(Q0)、Q1、Q2

五点共面，且Pn-2和Q2或者同在直线Pn-1Q1上或位于Pn-1Q1同侧。

第一段曲线终点处的二阶导数为：

P”(1)﹦6(Pn﹣2Pn-1﹢Pn-2)第二段曲线起点处的二阶导数为：

Q”(0)﹦6(Q2﹣2Q1﹢Q0)要达到二阶导数连续，则应有P”(1)﹦βQ”(0)，即:Pn-2﹣2Pn-1﹢Pn﹦β(Q2﹣2Q1﹢Q0)an-1anan-2b1b2b3Pn(Q0)Pn-2Pn-1Pn-3P(t)Q(t)6.2.4Bézier曲线的离散生成

根据贝塞尔曲线的参数表达式，让参数t在区间(0,1)内取多个值，例如100，计算出这100个值对应的坐标点，依次连接这些点就得到一条Bezier曲线。

以三次贝塞尔曲线为例：注意：再添加一个z坐标，就可得到空间Bezier曲线。For(t=0;t<=1;t=t+0.01)依次对原始控制多边形每一边执行同样的定比分割，所得分割点就是第一级递推生成的中间顶点，对这些中间顶点构成的控制多边形再执行同样的定比分割，重复操作，直到得出一个中间顶点，即为所求曲线上的点。6.2.4Bézier曲线生成--decasteljau算法

依次对原始控制多边形每一边执行同样的中点分割，所得分点就是由第一级递推生成的中间顶点

,对这些中间顶点构成的控制多边形再执行同样的中点分割，得第二级中间顶点。重复进行下去，直到n级递推得到一个中间顶点，即为所求曲线上的点。同时控制点列被分成左分段和右分段两段折线，继续对这两段折线作类似递归分割，直至满足要求为止。6.2.4Bézier曲线生成算法--二分递归法三次Bézier曲线：控制点是p0，p1，p2和p3。以中点分割，令：p10=(p0+p1)/2，p11=(p1+p2)/2，

p12=(p2+p3)/2；p20=(p10+p11)/2，p21=(p11+p12)/2；p30=(p20+p21)/2。6.2.4Bézier曲线生成算法--二分递归法可以证明点P30位于曲线上p30=(p20+p21)/2=(p0+3p1+3p2+p3)/8=p(1/2)6.2.4Bézier曲线生成算法--二分递归法例题1、给定四个顶点P0（10，110），P1（110，110），P2（110，10），P3（10，10），用其作为特征多边形来绘制一条3次Bezier曲线的形状示意图。要求：简要说明作图过程，保留作图辅助线，作出（或文字说明）曲线上各特征点的切线矢量。Bézier曲线小结Bezier曲线是一种逼近参数曲线，通过几个已知点构成的特征多边形来定义，曲线的起点和终点与该多边形起点和终点重合，并且多边形的第一条边和最后一条边表示曲线起点和终点的切矢量方向。Bezier曲线次数严格依赖于确定该段曲线的控制点个数，通常由（n﹢1）个顶点定义一个n次多项式，即n次Bezier曲线。3个已知控制点就可以构造2次Bezier曲线，4个已知控制点就可以构造3次Bezier曲线。Bézier曲线小结端点的性质端点切线二阶导数对称性几何不变性凸包性变差缩减性所生成的曲线与特征多边形的外形相距较远确定了多边形的顶点数(m个)，也就决定了所定义的Bezier曲线的阶次(m–1次)，这样很不灵活控制顶点数增多时，生成曲线的阶数也增高，此时，多边形对曲线形状的控制将明显减弱。

局部控制能力弱曲线拼接需要附加条件Bézier曲线的不足6.3B样条曲线1972年，Gordon,Rie-feld等人拓展了Bezier曲线，用B样条基函数代替Bernstein基函数，形成了B样条曲线。除保持了Bezier曲线的直观性和凸包性等优点之外，具有以下优点：逼近特征多边形的精度更高曲线的次数可根据需要指定具有局部修改性我们先来实际体会一下B样条曲线和Bezier曲线的差别，看下面例子：B样条也是逼近曲线，不一定过控制点，甚至不过起控制点和终控制点6.3B样条曲线6.3B样条曲线Bezier曲线如果5个控制点那么只能是4次曲线调整任何一个控制点，会影响整个4次曲线B样条曲线如果5个控制点可以使用3次曲线，也可以使用4次曲线来构造整个曲线使用4次曲线那么就是1段曲线使用3次曲线那么就构造2段曲线，并且这2段曲线可以自然拼接起来，调节P4点位置只会影响第二段曲线6.3.1B样条曲线的定义Ｂ样条曲线的数学表达式为:Pi：B样条曲线的控制节点。n次B样条曲线至少应该有n+1个控制点。K：B样条曲线的阶数，（k-1）称为次数，曲线连接点处有（k-2）阶连续，n+1个控制点构造的k阶B样条曲线由L=n+1-（k-1）段B样条曲线段组合而成的。如，3次B样条曲线的阶数是4，次数是3，2阶连续，n+1控制点的曲线共有n-2段3次B样条组合而成。6.3.1B样条曲线的定义(i=0,1,..,n)称为k阶（k-1次)B样条基函数，i表示序号。B样条基函数是一个称为节点矢量的参数u的非递减序列所决定的k阶分段多项式，这个序列称为节点向量。6.3.1B样条曲线的定义deBoor-Cox递推定义：约定：6.3.1B样条曲线的定义欲确定第i个k-1次B样条Bi,k(u)，需要用到ui，ui+1，…,ui+k共k+1个节点。区间[ui,ui+k]称为Bi,k(u)的支撑区间。曲线方程中，n+1个控制顶点Pi(i=0,1,...,n)，要用到n+1个k阶B样条Bi,k(t)。它们支撑区间的并集定义了这一组B样条基的节点矢量T=[u0,u1,...,un+k]。每个控制点pi仅与一个基函数Bi,k(t)作乘法，故该控制点的改变仅影响到子区间[ui,ui+k]上的曲线段。6.3.1B样条曲线的定义1阶B-样条基函数K=1时的基函数6.3.1B样条曲线的定义2阶B-样条基函数K=2时的基函数6.3.1B样条曲线的定义3阶B-样条基函数K=3时的基函数6.3.1B样条曲线的定义续前页：6.3.1B样条曲线的定义续前页：6.3.1B样条曲线的定义续前页：6.3.1B样条曲线的定义6.3.1B样条曲线的定义3阶B-样条基函数图形6.3.2B样条曲线的分类

根据节点矢量中的节点分布情况的不同，可将B样条曲线分为三类：均匀B样条曲线、开放均匀B样条曲线、非均匀B样条曲线。

均匀B样条曲线：节点沿参数轴均匀等距分布，即uk+1-uk=常数时。6.3.2B样条曲线的分类均匀B样条曲线均匀B样条的基函数呈周期性。即给定n和k，所有的基函数有相同形状。每个后续基函数仅仅是前面基函数在新位置上的重复：其中，△u是相邻节点值的间距，等价地，也可写为：均匀B样条曲线的参数节点矢量的典型取法：[0,1,2,……,n+k]6.3.2B样条曲线的分类均匀B样条曲线

为使所有区间上的B样条基函数具有相同的数学表达式，可将定义在整个节点区间上用整体参数u表示的Ｂ样条基函数，转换成局部坐标参数t∈[０,1]表示：t=u-uiu∈[ui,ui+1],i=k,k+1,……n6.3.2B样条曲线的分类均匀B样条曲线定义:

给定m+n+1个顶点Pi(i=0，1，…，m+n)，可以定义m+1段n次的参数曲线段：6.3.2B样条曲线的分类均匀二次B样条曲线n=2,k=0,1,26.3.2B样条曲线的分类6.3均匀B样条曲线的定义均匀二次B样条曲线的分段表达式可以写成如下的形式：

Pi(t)=B0,2(t)Pi+B1,2(t)Pi+1十B2,2（t）Pi+2

(i=0,1,2，…．m)6.3均匀B样条曲线的定义∴

6.3均匀B样条曲线的定义

二次均匀B样条曲线的起点在特征多边形第一条边的中点，切矢为P0P1的走向，且等于P1-P0

终点在特征多边形第二条边的中点，切矢为P1P2的走向，且等于P2-P1

正好是三角形P(0)P1P(1)的中线P1M的中点，且在该处的切线平行于P(0)P(1)。均匀二次B样条曲线下图为均匀二次B样条曲线的控制多边形，共有4个控制点P0P1P2P3，绘制出二次B样条曲线的示意图。要求：简要说明作图过程，保留作图辅助线，做出（或文字说明）曲线上各特征点的切线矢量。均匀二次B样条曲线A为P0P1的中点，A点的切矢为P0P1的走向且等于(P1-P0)；B为ΔAP1C中线P1M的中点，B点的切矢平行于AC，且等于1/2(P2-P0)；C为P1P2的中点，C点的切矢为P1P2的走向且等于(P2-P1)；D为ΔCP2E中线P2M1的中点，其切矢平行于CE，且等于1/2(P3-P1)；E为P2P3的中点，其切矢为P2P3的走向且等于(P3-P2)。6.3.3均匀B样条曲线的性质1.局部性根据定义式可知，第i段n次B样条曲线只与n+1个顶点Pk(k=i，i+1，…，i+n)有关，因此，当改动其中一个控制顶点时，最多只会对相邻的n+1段产生影响。如左图所示，六个控制顶点控制的三次B样条曲线由三段B样条曲线段组成。其中，每一条曲线段由四个顶点控制。B样条曲线的性质2.凸包性对任何t∈〔0，1〕，P(t)必定在控制顶点构成的凸包之中。如左图所示，六个控制顶点控制的三次B样条曲线由三段B样条曲线段组成。其中，每一条曲线段由四个顶点控制且包含在四个顶点构成的凸包之中。B样条曲线的性质3.几何不变性由于定义式所表示的B样条曲线是参数形式，因此，和Bezier曲线一样，B样条曲线的形状和位置与坐标系选择无关。4.连续性

当给定的n+1个控制顶点Pi(i=0，1，…，n)互不相重，则所控制的整条n次B样条曲线具有n-1阶几何连续(Gn-1)。当给定的控制顶点相邻最大重顶点数为h（即h

个控制顶点重合在一起），则整条n次B样条曲线具有n-h-1阶几何连续(G

n-h-1)。

B样条曲线的优缺点优点：与控制多边形的外形更接近局部修改能力任意形状，包括尖点、直线的曲线易于拼接阶次低，与型值点数目无关，计算简便缺点：不能精确表示圆习题1、下面给出的4个选项中，_____不是Bezier曲线具有的

性质。A局部性 B几何不变性

C变差缩减性 D凸包性2、B样条曲线中，按照节点矢量t的分布不同可以将B样条曲线分为均匀B样条、非均匀B样条以及开放均匀B样条，以下选项中属于均匀B样条节点矢量的是____。At={0,1,2,3,4,5,6} Bt={0,0,1,1,2,2,3,3}Ct={0,0,0,1,2,3,4,5,5,5}Dt={0,0.1,0.2,0.2,0.5,1}

AA习题3、由K个控制点Pi（i=1,……,k）所决定的n次B样条曲线，由______段n次B样条曲线段光滑连接而成。A、k-n-2 B、k-n-1 C、k-n D、k-n+14、下列关于B样条曲线性质的叙述中，错误的结论是____A、B样条曲线可用其特征多边形来定义；B、B样条曲线不一定通过其特征多边形的各顶点；C、B样条曲线起始控制点和终止控制点都在曲线上；D、B样条曲线都具有控制点的邻近影响性。CC习题5