第三章空间力系

2023年2月3日理论力学3.空间力系3.1空间汇交力系第三章

空间力系3.2力对点的矩和力对轴的矩3.3空间力偶3.5空间任意力系的平衡方程3.6重心3.4空间任意力系向一点的简化

主矢和主矩

一、力在直角坐标轴上的投影和力沿直角坐标轴的分解3.1空间汇交力系（1）力在直角坐标轴上的投影a、直接投影法已知力与直角坐标轴正向的夹角为

则3.1空间汇交力系b、间接投影法（二次投影法）则如图中已知角，注意：力在平面上的投影为矢量，

力在轴上的投影为代数量。

当力F与坐标轴x、y间的夹角不易确定时，先把力投影到x、y所在的平面，得力Fxy,再向x、y轴投影。

（2）力沿直角坐标轴的分解如已知力F在轴系Oxyz的三个投影，则力F的大小和方向余弦为3.1空间力的分解及其投影由此可得合力的大小和方向余弦为二、空间汇交力系的合成与平衡空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点。合力矢为或（1）合成3.1空间力的分解及其投影（2）平衡空间汇交力系平衡的必要和充分条件为：要上式成立，必须同时满足：空间汇交力系平衡的必要和充分条件为：该力系中所有各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别等于零。

该力系的合力等于零。

上式称为空间汇交力系的平衡方程。3.1空间力的分解及其投影解：取起重杆AB与重物为研究对象解得例：已知;CE=EB=DE,θ=∠EBF=30º，物重P=10kN。如杆重不计，试求杆所受的压力和绳子的拉力。3.1空间力的分解及其投影3.2力对点的矩和力对轴的矩一、力对点的矩以矢量表示上式为力对点的矩的矢积表达式。力矩矢不可任意挪动，称为定位矢量。

力矩矢MO(F)在三个坐标轴上的投影二、力对轴的矩3.2力对点的矩和力对轴的矩正负号规定：从z

轴的正向看，若力使刚体绕轴逆时针转动，则取正号，反之取负号。或用右手螺旋法则判断。力对于任一轴的矩，等于力在垂直该轴平面上的投影对于轴与平面的交点的矩。力对轴的矩的单位：N·m。

3.2力对点的矩和力对轴的矩力对轴的矩，是力使刚体绕轴转动效果的度量，是个代数量。这两种情况合起来说：当力与轴在同一平面时，力对轴的矩等于零。力对轴的矩等于零的情况：（1）当力与轴相交时（此时h=0）；（2）当力与轴平行时（此时Fxy=0）。特例3.2力对点的矩和力对轴的矩（1）当力与轴垂直且力臂好找时，用定义式求（±Fh）；（2）用合力矩定理：先把力正交分解（往往某一分力与轴平行或相交），则合力对该轴之矩等于各分力对该轴之矩的代数和。求力对轴之矩的方法3.2力对点的矩和力对轴的矩Fhz力对轴的矩的解析表达式：即同理可得其余二式。将此三式合写为3.2力对点的矩和力对轴的矩三、力对点的矩与力对通过该点的轴的矩的关系比较前面两式，可得上式说明：力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影，等于力对该轴的矩。如果已知力对通过点O的直角坐标轴x，y，z的矩则可求得该力对点O的矩的大小和方向余弦为3.2力对点的矩和力对轴的矩例：传动轴上圆柱斜齿轮所受的啮合力为F,齿轮压力角为α,螺旋角为β,节圆半径为r。求该力对于各坐标轴的矩。力作用点的坐标为代入公式，得3.2力对点的矩和力对轴的矩解：啮合力F在坐标轴上的投影为FxFzFy例已知：手柄ABCE在Axy面内，F在垂直于y轴的平面内，偏离铅直线的角度为θ，且求：把力分解如图解：lla3.3空间力偶一、力偶矩以矢量表示，力偶矩矢

实际经验告诉我们：力偶的作用面可以平行移动，而不改变力偶对刚体的作用效果。空间力偶对刚体的作用效果取决于三个因素：（1）力偶矩的大小；（2）力偶作用面的方位；（3）力偶的转向。§3.3空间力偶空间力偶的三个因素可以用一个矢量表示矢量的长度表示力偶矩的大小，矢量的方位与力偶作用面的方位相同，矢量的指向与力偶转向的关系服从右手螺旋规则。力偶对刚体的作用完全由力偶矩矢所决定。力偶矩矢是自由矢量。二、空间力偶等效定理作用在同一刚体上的两个空间力偶，如果其力偶矩矢相等，则它们彼此等效。3.3空间力偶这个矢量称为力偶矩矢，记作M。即合力偶矩矢在x，y，z轴上投影等于各分力偶矩矢在相应轴上投影的代数和。三、空间力偶系的合成与平衡（1）合成任意个空间分布的力偶可合成为一个合力偶，合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和，即合力偶矩矢的解析表达式为其中3.3空间力偶

例：在工件上同时钻五个孔，每个孔所受的力偶矩均为80N·m。求工件所受合力偶矩矢的投影Mx，My，Mz。并求合力偶矩矢的大小和方向余弦。3.3空间力偶

解：将作用在四个面上的力偶用力偶矩矢来表示，并将它们平行移到点A，得3.3空间力偶A合力偶矩矢的大小合力偶矩矢的方向余弦3.3空间力偶（2）平衡空间力偶平衡的必要和充分条件是：该力偶系的合力偶矩等于零，亦即所有力偶矩矢的矢量和等于零。即欲使上式成立，必须同时满足：上式为空间力偶系的平衡方程。空间力偶平衡的必要和充分条件是：该力偶系中所有各力偶矩矢在三个坐标轴上投影的代数和分别等于零。3.3空间力偶Oxyz4.4空间力系的合成与平衡一、空间任意力系向一点的简化

Oxyz==原来的空间任意力系被空间汇交力系和空间力偶系等效替换。OxyzMO刚体上作用空间任意力系F1，F2，…，Fn。M1M

nM2F2F1FnF'nF'2F'1F'R空间汇交力系空间力偶系空间任意力系向任一点O简化,可得一力和一力偶,这个力的大小和方向等于该力系的主矢,作用线通过简化中心O;这个力偶的矩矢等于该力系对简化中心的主矩;主矢与简化中心的位置无关,主矩一般与简化中心的位置有关.一力（原力系的主矢）一力偶（原力系对点O的主矩）4.4空间力系的合成与平衡二、空间任意力系的简化结果分析

空间任意力系向一点简化可能出现四种情况，即1．空间任意力系简化为一合力偶的情况

这时得一与原力系等效的合力偶，其合力偶矩矢等于原力系对简化中心的主矩。在这种情况下,主矩与简化中心的位置无关。2．空间任意力系简化为一合力的情况这时得一与原力系等效的合力，合力的作用线通过简化中心O，其大小和方向等于原力系的主矢。（2）FR'≠0，MO=0，（4）FR'=0，MO=0，（1）FR'=0，MO≠0，（3）FR'≠0，MO≠0，主矢FR'=0，主矩MO≠0，

（1）主矢FR'≠0，主矩MO=0，4.4空间力系的合成与平衡得作用于点O'的一个力FR。此力即为原力系的合力，其大小和方向等于原力系的主矢，其作用线离简化中心O的距离为OOOO'O'dd==FRFR'FRMOFR'FR″（2）主矢FR'≠0，主矩MO≠0，且FR'⊥MO

4.4空间力系的合成与平衡3．空间任意力系简化为力螺旋的情况

力螺旋：就是由一个力和一个力偶组成的力系，其中的力垂直于力偶的作用面。左螺旋右螺旋中心轴中心轴这就是力螺旋。（1）主矢FR'≠0，主矩MO≠0，且FR'∥MO，4.4空间力系的合成与平衡==可简化为一力螺旋，其中心轴不在简化中心O，而是通过另一点O'。O，O'两点间的距离为4．空间任意力系平衡的情况（2）主矢FR'≠0，主矩MO≠0，两者既不平行，也不垂直。主矢FR'=0，主矩MO=0，空间任意力系平衡的情况。4.4空间力系的合成与平衡一、空间任意力系的平衡方程

空间任意力系平衡的必要和充分条件：该力系的主矢和对任一点的主矩都等于零。要上式成立，必需满足：上式称为空间任意力系的平衡方程。空间任意力系平衡的必要和充分条件：所有各力在三个坐标轴中每一个轴上投影的代数和等于零，以及这些力对于每一个坐标轴的矩的代数和也等于零。4.4空间力系的合成与平衡上式称为空间平行力系的平衡方程

空间平行力系4.4空间力系的合成与平衡二、空间约束的类型举例4.4空间力系的合成与平衡4.4空间力系的合成与平衡4.4空间力系的合成与平衡三、空间力系平衡问题举例例：图示三轮小车，自重P=8kN，作用于点E，载荷P1=10kN，作用于点C。求小车静止时地面对车轮的约束力。解：取小车为研究对象4.4空间力系的合成与平衡

例：F2=2F1，F=2000N。D=400mm，R=300mm，θ=30º，β=60º，其它尺寸如图。求胶带拉力和轴承约束力。解：取整个轴为研究对象4.4空间力系的合成与平衡例：板重P=200N，求绳子的拉力和支座约束力。解：取板为研究对象abFAyFBzFBxFFAzFAxP4.4空间力系的合成与平衡

例：重P1=10000N的载货小车借图示的装置沿斜面等速上升。已知鼓轮重P2=1000N，其直径为d=24cm；杠杆臂长l=1m。如鼓轮用止推轴承A和轴承B铅垂地固定，求加在每根杠杆上的力F

的大小以及支座A和B的反力。4.4空间力系的合成与平衡解：先取小车为研究对象再取鼓轮为研究对象xP2xyzP1FT'FNFByFBxFTFFFFFAxFAyFAz4.4空间力系的合成与平衡例已知P，F，且F=2P。求各杆的内力。

解：取板为研究对象4.4空间力系的合成与平衡43[例]曲杆ABCD,∠ABC=∠BCD=900,AB=a,BC=b,

CD=c,m2,m3

求：支座反力及m1=?4.4空间力系的合成与平衡44解：以曲杆ABCD为研究对象FDxFDyFDzFAyFAz3=AyamF

a0

3=×-AyFm0=åzM

2=AzamF02=×+-AzaFm0=åyM0=DxF=0åFx4.4空间力系的合成与平衡45[例]已知：AB杆,AD,CB为绳,

A、C在同一垂线上，AB重80N，A、B光滑接触，∠ABC=∠BCE=600,且AD水平，AC铅直。求平衡时，TA，TB及支座A、B的反力。4.4空间力系的合成与平衡46解：以AB杆为研究对象TBFBFATA4.4空间力系的合成与平衡47TBFBFATA4.4空间力系的合成与平衡4.5重心和形心一、平行力系中心平行力系中心是平行力系合力通过的一个点。

由此可知，平行力系合力作用点的位置仅与各平行力的大小和作用点的位置有关，而与各平行力的方向无关。称该点位此平行力系的中心。设在刚体上A，B两点作用两个平行力F1，F2，将其合成。若将原有各力绕其作用点转过同一角度，使它们保持相互平行，则合力FR仍与各力平行也绕点C

转过相同的角度，且合力的作用点C

不变。由合力矩定理，得设力作用线方向的单位矢量为F0，则上式为从而得若有若干个力组成的平行力系，合力作用点：将上式在直角坐标轴上投影，得4.5重心和形心二、重心地球半径很大，地球表面物体的重力可以看成是平行力系，此平行力系的中心即物体的重心。重心有确定的位置，与物体在空间的位置无关。4.5重心和形心4.5重心和形心设物体由若干部分组成，其第i部分重Pi，重心（xi，yi，zi）则物体的重心为4.5重心和形心由合力矩定理得：则：如果物体是均质的，则可得显然，均质物体的重心就是几何中心，即形心。三、确定物体重心的方法

1.简单几何形状物体的重心

如均质物体有对称面，或对称轴，或对称中心，则该物体的重心必相应地在这个对称面，或对称轴，或对称中心上。

例：试求图示半径为R、圆心角为2j的扇形面积的重心。4.5重心和形心均质物体的重心与形心（几何中心）重合。解：取中心角的平分线为y轴。由于对称关系，xC=0，现在只需求

yc。任意位置θ处微小面积：其重心的坐标：扇形总面积：面积形心坐标如以代入，即得半圆的重心4.5重心和形心三角形和半圆形的形心坐标h/3bhCCyxR2.用组合法求重心（1）分割法若一个物体由几个简单形状的物体组合而成，而这些物体的重心是已知的，那么整个物体的重心即可用下式求出。（2）负面积法（负体积法）若在物体或薄板内切去一部分（例如有空穴或孔的物体），则这类物体的重心，仍可应用与分割法相同的公式来求得，只是切去部分的体积或面积应取负值。4.5重心和形心例：试求Ｚ形截面重心的位置，其尺寸如图所示。解：取图示坐标，将该图形分割为三个矩形。重心坐标为4.5重心和形心例:偏心块,已知:Ｒ＝100mm,r=17mm,b=13mm。求重心。

解：取图示坐标。将偏心块看成由三部分组成。于是，偏心块重心的坐标为4.5重心和形心解：由对称性A1=10×8=80，y1=4A2=π×R2/2=3.