第七讲-有限元基础

第三章有限元法胡才博2013.7.18第三章有限元法3.1引言3.2有限元法的基本原理3.3区域离散化3.4单元分析3.5总体分析3.6应用实例1.R.Courant,1943,

“Variationalmethodsforthesolutionofproblemsofequilibriumandvibration”,Bull.Am.Math.Soc.,49,1-23,1943.

他首先尝试应用在一系列三角形区域上定义的分片连续函数和最小位能原理相结合，求解St.Venant扭转问题。2.M.J.Turner

(波音公司工程师)，

R.W.Clough

(土

木工程教授)，H.C.Martin

(航空工程教授)及

L.J.Topp

(波音公司工程师)等四位在1956年，共同在航空科技期刊上发表一篇采用有限元技术计算飞机机翼的强度的论文，名为“Stiffnessand

DeflectionAnalysisofComplexStructures”，文中把这种解法称为刚性法(Stiffness).3.R.W.Clough,1960,“Thefiniteelementinplanestressanalysis”,Proc.2ndASCEconf.onElectronicComputation,Pittsburgh,Pa.,Sept.1960首次提出有限单元法的名称引言：有限元方法的历史、现状OlgierdCecilZienkiewicz，奥尔吉耶德(奥莱克)·塞西尔·监凯维奇工程力学和计算力学家1943年毕业于英国帝国理工学院，1945年获该校哲学博士学位。1965年获伦敦大学科学博士学位。1957年任美国西北大学教授。迄今历任英国威尔士大学教授、工程数值方法研究所所长和荣誉教授，联合国教科文组织工程数值方法机构主席。1979年，当选为英国皇家学会会员、英国皇家工程科学院院士，曾获英国女王授予的勋爵、英国皇家学会皇家勋章（1990）、法国科学骑士奖（1996）等多种奖励。美国国家工程院外籍院士（1981）、波兰科学院外籍院士（1985）、中国科学院院士（1998）意大利国家科学院院士（1999）。O.C.Zienkiewicz,

R.L.Taylor:

The

finite

element

method,

Fourth

edition,

Vol.1,1989,Vol.2,1991

1921.5.18－2009.1.2冯康（1920年9月9日－1993年8月17日），数学家、应用数学和计算数学家。世界数学史上具有重要地位的科学家。独立创造了有限元方法、自然归化和自然边界元方法，开辟了辛几何和辛格式研究新领域。中国现代计算数学研究的开拓者，为组建和指导我国计算数学队伍做出了重大贡献。引言有限元法的实际应用1.有限元在结构分析中的应用桁架结构

2.有限元在机械加工业中的应用薄板冲压数值模拟技术在汽车覆盖金属塑性成型齿轮应力分析

3.有限元在石油开采业的应用注蒸汽井5年后孔隙流体压力

4.有限元在电子工业中的应用散热问题5.有限元在外科医学中的应用

人造骨骼、义齿等生物力学

有限元方法的研究展望

1）多重非线性（材料、几何、接触）相耦合的分析方法2）多场（结构、流体、热、电、化学等）耦合作用的分析方法3）跨时间、空间多尺度的分析方法（年到10-12s，10m到10-12m）4）前后处理

为什么要用有限单元方法（有限单元方法的优势）：1、有限单元方法可以对任意形状的问题进行灵活剖分，特别适用于非常复杂的模型，最早应用于结构力学。2、有限单元方法是工程中应用最广泛的计算及数值模拟方法。3、所需要的复杂节点生成可以利用图形界面软件（如CAD、GID）实现。4、有很多商用有限单元软件系统可以使用（如：ANSYS、ADINA、SMART）5、开源有限元软件（FEPG，DEAL.II）不是直接从问题的微分方程和定解条件出发，而是从与其等效的积分方程出发。等效积分的一般形式是加权余量法。求解区域离散为有限个互不重叠且相互连接的单元，每个单元选择基函数，分片假设近似函数。区域离散化单元分析总体分析求解方程组有限单元法基本原理微分方程的等效积分形式微分方程组以上两式构成完整的定解问题例子边界条件等效积分形式其中函数向量，它是一组和微分方程个数相等的任意函数加权函数等效积分形式等效积分形式最一般形式对任意函数组合均成立微分方程组等效积分的弱形式对上式进行分部积分，得到如下弱形式弱形式的作用，降低被求场函数的阶数。例子不失一般性法向导数等效积分形式分部积分不失一般性法向导数此为等效积分的弱形式注意：在第二类边界上，没有出现场函数，第二类边界条件自动满足，也称为自然边界条件；对第一类边界，如果事先已经满足，则可令v=0，第一类边界也称为强制边界条件。可进一步简化为基于等效积分形式的加权余量法假设未知函数采用近似函数表达：ai待定系数，Ni试探函数（基函数、形函数）试探函数系列是完全的，线性独立的。残差R和

称为余量降阶弱形式：采用使余量的加权积分为零来求得微分方程近似解的方法称为加权余量法。加权余量法（weightedresidualmethod,WRM）（1）配点法相当于强迫余量在域内n个点上等于零。（2）子域法N个子域，N个子域以外，相当于强迫余量在n个子域内的积分等于零。（3）最小二乘法选取权函数（4）力矩法（5）伽辽金法简单地说，将近似解的试探函数作为权函数。更简洁的形式：伽辽金法的一般表达式引入变分等效积分形式伽辽金法：原问题：8/9/201330静态线弹性有限元定解问题真实位移的变分，连续可导。在给定位移的边界上，虚应变高斯定律张量形式矩阵形式等效积分形式：与原有微分方程和定解条件完全等价。加权余量法：对场函数进行近似，令加权余量等于零。伽辽金法：加权函数与场函数的试探函数（基函数、形函数）相同。小结：伽辽金法是有限元法中使用最为普遍的。作业3

求解二阶常微分方程边界条件：取