第八章复杂应力状态及强度理论

第八章复杂应力状态及强度理论王丽苹内容提要基本变形小结复杂应力状态一点处的应力状态应力状态分析强度理论弯曲和拉压的组合作用圆轴弯曲和扭转的组合作用掌握组合变形的概念。掌握应力状态、强度理论的概念掌握解析法和图解法分析二向应力状态掌握拉压与弯曲组合变形的强度计算。掌握弯曲与扭转组合变形的强度计算。教学目的与要求应力状态、强度理论的概念解析法和图解法分析二向应力拉压与弯曲组合变形的强度计算。弯曲与扭转组合变形的强度计算。教学重点教学难点应力状态、强度理论的概念解析法和图解法分析二向应力拉压与弯曲组合变形的强度计算。弯曲与扭转组合变形的强度计算。§8－1

基本变形小结一、拉伸和压缩PPPPPPmnPN

PN′

∑Fx=0P-N=0N=P归纳：截，取，代，平（一）截面法求内力Pσ纵向变形横向变形（二）拉伸时内力在横截面上的分布低碳钢拉伸时的应力-应变曲线铸铁拉伸时的应力-应变曲线拉伸曲线压缩曲线低碳钢拉压时的应力-应变曲线铸铁拉压时的应力-应变曲线许用应力脆性材料的许用应力脆性材料的许用应力强度条件（三）拉伸时的强度条件2PP1122试求图示杆件横截面上的内力和应力。杆横截面面积为250mm2，P=10kN。如图所示，AB为圆钢杆，[σ]=140MPa，BC为方木杆，[σ]=50MPa,，若载荷P=40kN，试求两杆的横截面面积。BACP2m1mTBCTABPxy一根钢杆，其弹性模量E=2.1×105MPa，比例极限σp=210MPa，在轴向拉力P的作用下，纵向应变ε=0.001，求此时杆横截面上的正应力。如果加大拉力P，使杆件的纵向线应变增加到0.01，问此时杆截面上的正应力能否由胡克定律确定，为什么？如果加大拉力P，使杆件的纵向线应变增加到0.01，问此时杆截面上的正应力不能由胡克定律确定。因为此时变形已经超出了弹性变形范围。二、剪切一般认为剪切面上剪应力是均匀分布的。剪切强度条件（一）剪切变形和剪切胡克定律d′γbdc′ca剪应变：直角所改变的角度γ。剪切虎克定律（二）挤压及挤压应力挤压强度条件三、扭转外力偶矩扭矩：扭转轴截面上的内力。其大小等于截面一侧外力偶矩的代数和。（一）轴横截面上的切应力轴向纤维没有拉、压变形，横截面上没有正应力产生。横截面上切应力，其方向沿着轴圆周的切线方向，与半径垂直。扭转变形时，横截面上只有切应力τ（二）轴横截面上的切应力的分布规律（三）切应力的计算公式（四）极惯性矩和抗扭截面模量计算公式1、实心圆轴2、空心圆轴（五）强度条件及刚度条件1、强度条件2、刚度条件四、弯曲F

F

纵向对称面简支梁PRARBABC（一）梁的类型外伸梁2aaqP=qaABDRARB悬臂梁ql（二）内力－剪力Q与弯矩M剪力左侧梁:↑(+);↓(-)右侧梁：↓(+);↑(-)弯矩力：↑（+）；↓（-）力偶：左侧（+）；（-）右侧（+）；（-）归纳①Q图曲线的切线斜率为q(x)②M图曲线的切线斜率为Q(x)③M图曲线的凹凸向与q(x)符号有关（三）梁横截面上的正应力同层纤维变形相等(平面截面假设)。各纵向纤维之间互不挤压。横截面上只有正应力，没有切应力。（三）梁横截面上的正应力的分布规律xydyyhb（四）惯性矩和抗弯截面模量计算公式（四）梁的挠度和转角qyzAO挠曲线A'挠度y梁的挠曲线方程qyzAOA'θθ转角θ：横截面绕中性轴转过的角度。梁的转角方程梁弯曲时的刚度条件（六）强度条件和刚度条件1、强度条件2、刚度条件五、总结实际的受力杆件外力特点属于哪种变形？拉伸压缩弯曲剪切扭转受力分析线应变角应变求支座反力截面法求内力拉伸压缩剪切弯曲扭转根据变形规律，确定应力分布规律均匀分布线性分布强度计算校核强度设计截面确定载荷拉伸压缩剪切弯曲扭转根据变形规律刚度计算§8－2

复杂应力状态弯曲和压缩弯曲和扭转§8－3

一点处的应力状态PPPPPP一、一点处应力状态PPanammPmmPaPmmnPa

过一点不同方位的截面上应力的集合，称之为这一点处的应力状态。单元体单元体的各边边长：dx,dy,dz二、一点处应力状态的表示方法单元体各个表面上的应力分布可以看成是均匀的，单元体任一对平行平面上的应力可视为相等。

受拉直杆一点处的应力状态纯弯曲梁一点处的应力状态受扭圆轴一点处的应力状态单元体上没有切应力的面称为主平面；主平面上的正应力称为主应力，分别用表示，并且，该单元体称为主单元体。三、主平面、主应力、应力状态的分类空间（三向）应力状态：三个主应力均不为零平面（二向）应力状态：一个主应力为零单向应力状态：两个主应力为零§8－4

应力状态分析一、解析法正负号规则：正应力：拉为正；压为负切应力：使微元顺时针方向转动为正；反之为负。α角：

由x

轴正向逆时针转到斜截面外法线时为正；反之为负。利用三角函数公式并注意到化简得正应力极值和方向设α＝α0

时，上式值为零，即最大和最小正应力分别为：主应力按代数值排序：σ1σ2

σ3上式有两个解：ao和ao+90，在它们所确定的两个互相垂直的平面上，正应力取得极值。且绝对值小的角度所对应平面为最大正应力所在的平面，另一个是最小正应力所在的平面。

结论：正应力为最大或最小所在的平面，是主平面。所以，主应力就是最大或最小的正应力。当α＝αo

时，切应力为零对于同一个点所截取的不同方位的单元体，其相互垂直面上的正应力之和是一个不变量。

切应力极值和方向设α＝α1

时，上式值为零，即最大和最小正应力分别为：上式有两个解：a1和a1±90，在它们所确定的两个互相垂直的平面上，切应力取得极值。若，绝对值小的角度所对应平面为最大切应力所在的平面，另一个是最小切应力所在的平面。

主平面与剪应力极值所在的平面之间的关系最大和最小剪应力所在的平面与主平面的夹角为45o。试求（1）斜面上的应力；

（2）主应力、主平面；（3）绘出主应力单元体。例题1：一点处的平面应力状态如图所示。已知解：（1）斜面上的应力（2）主应力、主平面主平面的方位：代入表达式可知主应力方向：主应力方向：（3）主单元体：20MPa40MPa100MPa例题2：一点处的平面应力状态如图所示。试求（1）主应力、主平面；（2）绘出主应力单元体。20MPa40MPa100MPa解：（1）最大主应力和最小主应力（2）主平面的方位主应力方向：主应力方向：（3）单元体例题3：一点处的平面应力状态如图所示。试求（1）主应力、主平面；（2）绘出主应力单元体。20MPa20MPa30MPa解：（1）最大主应力和最小主应力20MPa20MPa30MPa（2）主平面的方位主应力方向：主应力方向：（3）单元体二、图解法将二式分别改写成如下形式：将以上二式各自平方后再相加，得这是一个以正应力σ为横坐标、切应力τ为纵坐标的圆的方程。

。圆心的横坐标为

圆心的半径为

圆的任一点的纵、横坐标，分别代表单元体相应截面上的切应力与正应力，此圆称为应力圆或莫尔(O.Mohr)圆

。RC应力圆的绘制建立坐标系。在坐标系中画出点和，D1D2与轴的交点C便是圆心。以C点为圆心，CD1或CD2半径画圆。CD1D2OB1B2A2A1CD1D2OB1B2A2A1E2aCD1D2OB1B2A2A1单元体与应力圆的对应关系圆上一点坐标对应单元体一个截面上应力值

对应夹角转向相同

圆上两点所夹圆心角等于两截面法线夹角的两倍

CD1D2OB1B2A2A1CD1D2OB1B2A2A1最大切应力与主应力的关系：

例4：分别用解析法和图解法求图示单元体

(1)指定斜截面上的正应力和剪应力; (2)主应力值及主方向，并画在单元体上。 单位：MPa60解：(一)使用解析法求解

60

(二)使用图解法求解作应力圆，从应力圆上可量出：作业试画出相应的应力圆，并确定各斜截面上的应力。基本变形时的胡克定律yx轴向拉压胡克定律横向变形纯剪切胡克定律

三、广义虎克定律σx：σy

：

叠加：

广义虎克定律在三向主应力作用下，单元体分别沿σ1、σ2

、σ3作用方向的线应变：§8-5强度理论一、强度理论的概念拉（压）、纯弯曲时，危险点的应力状态为单向应力状态。强度条件：扭转时，危险点的应力状态为纯剪切应力状态

实际工程中的许多构件，其危险点是处于复杂应力状态。

因此，有必要研究构件在复杂应力状态下破坏的类型和原因。强度理论：某一类型的破坏是由某种因素引起的假说。塑性屈服脆性断裂实践表明，材料的破坏形式二、材料的破坏形式三向拉应力下塑性材料发生脆性断裂。三向压应力下脆性材料有时也发生明显的塑性变形。同一材料在不同的应力状态下也存在两种不同不同的破坏形式。思考：这两种破坏形式是什么原因引起的呢？三、四大基本强度理论破坏形式：脆性断裂提出了解释材料发生脆性断裂的理论，主要包括最大拉应力理论和最大伸长线应变理论。破坏形式：塑性屈服提出了解释材料发生塑性屈服的理论，主要包括最大切应力理论和形状改变比能理论。这些理论分别假设材料发生某种类型的破坏是由某一主要因素（最大拉应力、最大伸长线应变、最大切应力或形状改变能密度）所引起的。即不论材料处于何种应力状态（简单的或是复杂的），某种类型的破坏都是由同一种因素引起的。目的：可通过简单应力状态下的试验结果去推断复杂应力状态下材料的强度，建立取强度条件。关于脆性断裂的强度理论最大拉应力理论（或称第一强度理论）

最大拉应力σ1是引起材料脆性破坏的主要原因。即不论材料处于何种应力状态，只要构件内一点处的三个主应力中最大拉应力σ1到达材料的极限值σjx，材料就会发生脆性破坏。材料的极限应力可通过简单拉伸试验测定。因此，复杂应力状态下，材料的脆性破坏的条件：强度条件：

用于受拉应力的某些脆性材料，铸铁、石料、混凝土；不适用于三向压缩应力状态。最大伸长线应变理论（或称第二强度理论）

最大伸长线应变ε1是引起材料脆性破坏的主要因素。即不论材料处于何种应力状态，只要构件内一点处的三个主应力中最大伸长线应变ε1到达材料的极限值εjx，材料就会发生脆性破坏。

材料的脆性破坏的条件：复杂应力状态下一点处的最大线应变：强度条件：试验表明，第二强度理论并不比第一强度理论更复合试验结果。实际工程中更多采用第一强度理论。最大切应力理论（或称第三强度理论）

最大切应力τmax是引起材料屈服破坏的主要因素。即不论材料处于何种应力状态，只要构件内一点处的最大切应力τmax到达材料的极限值τjx，材料就会发生屈服破坏。材料的屈服破坏的条件：复杂应力状态下一点处的最大切应力：强度条件：只适用于拉、压屈服极限相同的塑性材料。形状改变比能理论（或称第四强度理论）变形能：随着弹性体发生变形而积蓄在其内部的能量。形状改变比能或变形比能：单位变形体体积内所积蓄的变形能。形状改变比能ud是引起材料屈服破坏的主要因素。即不论材料处于何种应力状态，只要构件内一点处的形状改变比能到达材料的极限值udjx，材料就会发生屈服破坏。形状改变比能与三个主应力的差值有关；体积改变比能与三个主应力的代数和有关。变形比能体积改变比能uθ形状改变比能ud材料