第五章：效用极大化理论

1.借助无差异曲线和预算线推导出效用极大化条件。2.根据拉格朗日函数推导出效用极大化的必要条件。3.推导出不同商品的价格消费曲线和需求曲线。4.推导出不同商品的收入消费曲线和恩格尔曲线。5.理解总效应、收入效应和替代效应。6.理解一些违反偏好假设的无差异曲线及其效用极大化解。7.了解跨期的最佳选择。本章要点学完本章，你将能够

5效用极大化理论1/77©王秋石著熊毅改编2014-2-8消费者行为的基本假设消费者行为的基本假设就是在价格和收入的约束条件下，消费者如何根据自己的偏好求解出效用极大化的最佳消费组合。我是快乐而歌唱，还是歌唱而快乐？这个问题不重要，重要的是我能得到效用。2/77©王秋石著熊毅改编2014-2-8效用极大化目标消费者的行为选择问题可以表述为:在给定商品价格p1和p2和收入M

的约束条件下,消费者如何根据自己的偏好(效用函数)选择一组最佳的消费组合,从而实现效用极大化。效用极大化理论亦称消费者选择理论,它是消费者理论的中心问题。3/77©王秋石著熊毅改编2014-2-8效用极大化:图示法给定一条预算线AB，给定三条凸向原点的无差异曲线I1,I2和I3

。唯有E点，该消费者实现了最大的效用水平。此时预算线和无差异曲线的斜率相等，并满足：MU1/p1

﹦MU2/p2▇(x1*

,x2*)有时也被称为“最佳消费组合”、“效用极大化组合”、“最佳购买组合”、“消费者均衡点”。4/77©王秋石著熊毅改编2014-2-8消费者均衡条件命题消费者均衡条件命题1:当无差异曲线与预算曲线相切时，该消费者实现了效用极大化。消费者均衡条件命题2:

当无差异曲线的斜率与预算线的斜率相等时，该消费者实现了效用极大化。消费者均衡条件命题3:

当价格比率等于边际效用比率时，实现了效用极大化。5/77©王秋石著熊毅改编2014-2-8©王秋石著熊毅改编2014-2-86/77消费者均衡条件命题消费者均衡条件命题：实现了效用极大化的条件为：MU1/p1=

MU2/p2

或p1/p2=

MU1/MU2（相对价格=价值比例）p1x1+p2x2=M上式称为等边际原理（每元的边际效用相等）。经济含义:只有当最后一个货币单位的支出满足上式时，消费者才有可能实现效用极大化。另外，无差异曲线凸向原点基于消费多样性的经验，如果是凹的会如何？商品分类一般商品：满足需求法则的商品。吉芬商品：满足价格下降，需求量反而减少；收入上升，需求量下降的商品。正常商品：收入增加，其需求量亦增加的商品。收入中性商品：收入增加而需求量不变的商品。低劣商品(简称劣品)：收入增加而需求量反而减少。一般正常商品:同时为一般商品,又为正常商品的商品。7/77©王秋石著熊毅改编2014-2-8价格消费曲线和需求曲线价格消费曲线是仅在某一商品价格发生变化，而收入及其他商品的价格不变的情况下所有消费者均衡点的轨迹。价格消费曲线分成以下两种：一般商品的价格消费曲线吉芬商品的价格消费曲线同时，我们可以从价格消费曲线中推导出需求曲线。绝大多数产品，如电子产品，都是一般正常商品。8/77©王秋石著熊毅改编2014-2-8©王秋石著熊毅改编2014-2-89/77一般商品的价格消费曲线和需求曲线首先假定x1

为一般商品，x2

为一般正常商品。再假定x1

的价格从p01下降到p11，且p2

和M均保持不变。这样，预算线从AB

变化到AC，均衡点从E0

变化到E1

。PCC

便是E0

与E1

的连线。例：圣诞节礼物一般商品的价格消费曲线和需求曲线在图(b)中，E’0对应着图(a)中的E0

点，它隐含着在p01价格上x1

的最佳消费量x*1

。▇同理,

E’1

隐含着在p11价格上另一个最佳消费量。将E’0

和E’1

连接起来便得到了一条该消费者对x1

的需求曲线D。▇PCC是一条斜率为正的曲线，需求曲线D为一条斜率为负的曲线。10/77©王秋石著熊毅改编2014-2-8吉芬商品的价格消费曲线现假定x1

为吉芬商品，x2

为正常商品。假定x1

的价格从p01下降到p11，而p2以及M

均保持不变。p1

下降，预算线从AB

变成AC，原最佳消费组合为E0，新均衡点为E1。

▇连接E0、E1

两点便可得到一条斜率为负的PCC。11/77©王秋石著熊毅改编2014-2-8©王秋石著熊毅改编2014-2-812/77吉芬商品的价格消费曲线和需求曲线为正的需求曲线。同理,在图(b)中将最佳消费束描点,便可得到一条斜率©2011WangQiushi对于不少人而言，这种商品属于吉芬商品。收入消费曲线和恩格尔曲线收入消费曲线就是仅当收入水平发生变化,相对价格不变情况下消费者均衡点的轨迹。收入消费曲线有以下三种：1.正常商品的收入消费曲线和恩格尔曲线2.劣品的收入消费曲线和恩格尔曲线3.收入中性品的收入消费曲线和恩格尔曲线13/77©王秋石著熊毅改编2014-2-8正常商品的收入消费曲线x1

和x2

均为正常商品，p1和p2

不变，收入从M1

分别增加到M2

和M3

，预算线向右平移。由于x1和x2为正常商品，收入增加，x1和x2的消费量势必增加。▇因此，E2

和E3

势必位于E1

右上方。连接所有消费者均衡点E1

、E2和E3

便得到了一条斜率为正的收入消费曲线ICC。14/77©王秋石著熊毅改编2014-2-8正常商品的收入消费曲线恩格尔曲线与收入消费曲线有着极其密切的关系。恩格尔曲线描述了商品需求量如何受收入变化的影响。▇将E1、E2和E3个点所隐含的收入和消费量的关系分别在图b上表现出来，得到E’1、E’2和E’3▇当x1和x2为正常品时,其收入消费曲线ICC(亦称收入扩展线)和恩格尔曲线(EC)的斜率均为正。15/77©王秋石著熊毅改编2014-2-8

恩格尔法则和恩格尔系数

恩格尔曲线是以19世纪德国统计学家C·恩格尔(Engel)的名字命名的,他开拓性地研究了收入和家庭支出之间的关系。在1857年,他宣称-—后来被称作为“恩格尔法则”—-收入愈多的家庭,其食物支出占总收入比重愈低。这一比重被定义为“恩格尔系数”。这一法则不仅适用于家庭,而且还适用于整个经济。16/77©王秋石著熊毅改编2014-2-8劣品的收入消费曲线现假定x2

为正常商品,x1

在收入0至M1

之间为正常商品,在收入高于M1

之后则为低劣商品(简称劣品)。最初的均衡点为E0

点。现假定收入从M0

上升到M1,由于x1

和x2

均为正常商品,所以新的均衡点E1

在E0点右上方,表明x1

和x2

的消费量均在增加。17/77©王秋石著熊毅改编2014-2-8©王秋石著熊毅改编2014-2-818/77劣品的收入消费曲线从M1

上升到M2

，x1

开始变成了劣品，新的均衡点E2点必须在E1点的左上方，表明x1

的消费量由于收入增加而在减少，但x2是正常商品，消费量增加。连接E0

、E1

和E2

便得到了一条收入消费曲线ICC。它的斜率开始为正，然后转向为负劣品的收入消费曲线和恩格尔曲线将E1、E2和E3个点所隐含的收入和消费量的关系分别在图b上表现出来，得到E’1、E’2和E’3。▇连接E’1、E’2和E’3便得到了一条恩格尔曲线EC。▇在正常商品时，它的斜率为正；在低劣商品时，其斜率转向为负。1119/77©王秋石著熊毅改编2014-2-8©王秋石著熊毅改编2014-2-820/77劣品的收入消费曲线和恩格尔曲线收入上升，你会更多的购买这些吗？收入中性品的收入消费曲线和恩格尔曲线如果x1为一收入中性品,x2为一正常品,其ICC和EC均为垂直于x1的直线,表明x1与收入变化无关。请读者自行画图理解。21/77©王秋石著熊毅改编2014-2-8总效应分解总效应(TE)：由价格变化所产生的需求量的变化量，它可分为收入效应和替代效应。收人效应(IE)：某种商品价格变化之后使得实际收入发生变化所引起的需求量的变化量，它是总效应的一个部分。替代效应(SE)：某种商品的价格变化后使得两种商品的相对价格比发生变化所引起的需求量的变化量，它是总效应的一个部分。总效应等于收入效应和替代效应之和，即：

TE=IE+SE22/77©王秋石著熊毅改编2014-2-8总效应分解我们按以下三种情形分解总效应：正常品的效应分析；劣品的效应分析；吉芬品的效应分析。收入上升,你会购买更多的香奈儿香水吗?23/77©王秋石著熊毅改编2014-2-8正常品的效应分析▇当x1的价格从p0下降至p1时，预算线从AB变为AC，连接E0

、E1可以得到PCC，其水平距离度量了总效应(TE)。24/77©王秋石著熊毅改编2014-2-8正常品的效应分析▇做一条虚拟的预算线CH，与AC平行且相切I0线与E2点，连接E2E1

便得到了的ICC,其水平距离度量了收入效应IE,E0E2

的水平距离则为替代效应SE.25/77©王秋石著熊毅改编2014-2-8©王秋石著熊毅改编2014-2-826/77正常品的效应分析希克斯的收入补偿变量：当x1价格下降时,需要减少(或称“补偿”)消费者多少货币收入才能使之在新的价格比率下,保证他的原效用水平I0不变呢?“补偿”是指,当价格上升时,实际收入减少,应增加多少收入才能使消费者保持原有效用水平不变；当价格下降时，实际收入增加，应剔除多少收入才能使消费者的原有效用水平保持不变。正常品的总效应、收入效应和替代效应与其价格变动方向相反。但TE、IE和SE三者是同向变化的。低劣商品的效应分析▇当x1

的价格p1

下降时,预算线从AB变为AC。▇均衡点从E0

点变化到E1,得到一条价格消费曲线PCC。▇其水平距离为总效应TE,方向为正。27/77©王秋石著熊毅改编2014-2-8©王秋石著熊毅改编2014-2-828/77低劣商品的效应分析▇作一条虚拟预算线GH与AC平行且与I0

相切于E2,连接E2E1

便得到一条收入消费曲线ICC。▇E2E1

的水平距离为收入效应IE,方向为负;而E0E2

的水平距离为替代效应SE,方向为正。3）吉芬品的效应分析一种商品x为吉芬品,如果它同时满足:©2011WangQiushi或▇由于吉芬品满足上式，所以它必为劣品；但劣品不必满足上式，因此，劣品不一定是吉芬品。29/77©王秋石著熊毅改编2014-2-8©王秋石著熊毅改编2014-2-830/77吉芬品的效应分析▇当吉芬商品x1的价格下跌时,预算线从AB变为AC,均衡点从E0

点变为E1

点。▇连接E0E1

得到一条价格消费曲线PCC,E0E1

的水平距离度量了总效应TE,此时方向为负。©王秋石著熊毅改编2014-2-831/77吉芬品的效应分析▇现作一条虚拟预算线GH,它平行于新的预算线AC,又与旧无差异曲线I0

相切于E2

点。▇连接E2E1

便可得一条虚拟的收入消费曲线ICC,它的水平距离度量了收入效应IE,此时方向为负。各类商品三种效应变化方向32/77©王秋石著熊毅改编2014-2-8希克斯收入补偿变量法小结希克斯收入补偿变量法是指：

当价格发生变化时，需要“补偿”消费者多少收入才能使消费者在新的价格水平上保持原有的效用水平不变。33/77©王秋石著熊毅改编2014-2-8违反偏好假设的效用极大化问题有以下情形违反偏好假设的效用极大化问题：完全替代型偏好；完全互补型偏好；不同颜色的同一种水笔很可能就是完全替代品。34/77©王秋石著熊毅改编2014-2-8

完全替代型偏好

如果x1

和x2

是一对完全替代品,无差异曲线便为I1

和I2

。显然它们违反了偏好的严格凸性假设。▇假如预算线为AE,那么,最终消费组合为E点(2,0),这是因为红笔便宜,他便只买红笔不买蓝笔。▇角解：消费者只消费其中一种商品的解。35/77©王秋石著熊毅改编2014-2-8完全替代型偏好此处角解的经济学含义是:当红、蓝铅笔具有完全替代性偏好时，如果红铅笔价格便宜，消费者全部购买红铅笔。如果蓝铅笔价格便宜，消费者全部购买蓝铅笔。如果红、蓝铅笔的价格一样，就会出现预算线和线性无差异曲线的重合,这样,该消费者的最佳消费组合不具唯一性。他在无差异曲线上任何一点消费都是最佳的。36/77©王秋石著熊毅改编2014-2-8完全互补型偏好左手套和右手套构成一双手套,才有功能。多一只左手套，或多一只右手套，没什么用。37/77©王秋石著熊毅改编2014-2-8©王秋石著熊毅改编2014-2-838/77完全互补型偏好由于x1和x2为完全互补品，消费组合A(1,1)和消费组合B(1,2)具有同等的效用水平。消费组A(1,1)和消费组合E(2,1)也是同等偏好，将此三点连接起来便可得I0

，它形如L。同理可得I1。假定预算线为CD，其最佳消费束为A点，它是一个转角解。©王秋石著熊毅改编2014-2-839/77完全互补型偏好无论左手套贵，还是右手套贵，消费者始终一双双地购买。换一条预算线，消费者始终一双双地购买。最佳消费束为A点和F点等，它们是一个转角解。选讲部分动态效用极大化如不讲，可直接跳到本章小结40/©王秋石著熊毅改编2014-2-8跨期选择到目前为止，我们所讨论的消费者选择都是在本期内(或者说一个时期内)的选择，因此，在本期内，消费者必须耗尽其全部收入M。这是一种静态的理论。在现实生活中，我们可以储蓄，也可以透支，这就是跨期选择的问题。这是一种动态消费理论。41/77©王秋石著熊毅改编2014-2-8跨期选择的预算约束假定有两个时期，时期t1和t2。在每个时期的支出(c)和收入(m)可以不等。假定某消费者在时期1为一储蓄者，即c1<m1,在这种情况下,他的储蓄(m1-c1)将以利息率r赚取利息，其数量为(m1-c1)·r。42/77©王秋石著熊毅改编2014-2-8©王秋石著熊毅改编2014-2-843/77跨期选择的预算约束在时期2,他的支出受到收入的约束。他在第二期的收入来自三块：1）第2期的工资收入本身m2；2）第一期的储蓄(m1-c1)；3）第一期储蓄的利息所得(m1-c1)·r。因此:©王秋石著熊毅改编2014-2-844/77跨期选择的预算约束如果该消费者在时期1为一借款者，即c1>m1，那么，他在时期2的消费支出(c2)必须等于他在时期2的工资收入m2

减去他在时期1的借款以及所付利息，即:▇它还可以写成:▇或：©王秋石著熊毅改编2014-2-845/77跨期选择的预算约束横轴为本期消费,纵轴为第2期消费。给定初始禀赋w=(m1,m2)以及利息率r,有一条唯一的预算线AB。横截距为(m1+m2/(1+r))，用现值表示；纵截距为(m2+(1+r)m1)，用未来值表示。斜率为(-(1+r))。©王秋石著熊毅改编2014-2-846/77跨期选择的预算约束斜率是由r所决定的。如果利率r上升(如从4%上升到5%),斜率会变得更陡峭。同时,A点上移,B点左移。这表明,由于升息,未来消费的可能性增加,而现期消费的可能性则减少。银行利率是重要的决策变量。跨期偏好动态效用函数：现假定某一消费者两期的效用函数是关于时期1和2消费的连续可导递增函数，即:

▇那么,就有

▇而c1

和c2

分别又是x1和x2的函数,即:47/77©王秋石著熊毅改编2014-2-8©王秋石著熊毅改编2014-2-848/77跨期偏好两阶段效用函数为递增函数,表明其边际效用大于零。在一般情况下,它还应该满足边际效用递减法则,即本期(或未来期)的边际效用随消费量的递增而递减。也就是说,两阶段效用函数为一凹函数,其二阶导数小于零。从三维空间看,它是凹向原点和c1、c2

轴的一个面。©王秋石著熊毅改编2014-2-849/77跨期偏好无差异曲线：在符合偏好公理和假设的情况下,两时期的无差异曲线一般都凸向原点。它有以下三点含义：第一，时期1和2的消费的边际效用始终大于零。第二，时期1和2的消费的边际效用随消费量的增加而递减。第三，时期1和时期2的消费存在着某种替代关系，无差异曲线的斜率度量了那一时点的边际替代率。-两时期无差异曲线一般凸向原点，其斜率代表着两个时期消费的边际替代率。斜率越陡峭，表明消费者看重现行消费；斜率越平坦，表明消费者更看重未来消费。50/77©王秋石著熊毅改编2014-2-8跨期偏好是先吃油条还是馒头？或者说，你赞成“先苦后甜”吗？因此，α和β度量了现行和未来消费的相对重要性。51/77©王秋石著熊毅改编2014-2-8跨期的效用极大化我们分两种情形讨论跨期的效用极大化。没有通货膨胀情形；有通货膨胀情形。52/77©王秋石著熊毅改编2014-2-8跨期的效用极大化：没有通货膨胀

给定初始收入w、r以及偏好,我们就有唯一的一条预算线和若干条无差异曲线与之相对应。与静态效用极大化原理相类似,跨期无差异曲线与跨期预算线的切点就实现了跨期的最佳选择。因此，(c*1,c*2)为动态效用极大化的消费组合。53/77©王秋石著熊毅改编2014-2-8©王秋石著熊毅改编2014-2-854/77跨期的效用极大化如果初始收入禀赋不是w，而是n，E依然为跨期的最优选择。此时,他在时期1为借款者。如果m1、m2单独或同时增加，预算线向右平移。在正常情况下，时期1和2的最佳消费组合都会有所增加。如果消费者预期在时期2的收入m2有大幅度上升的话，他很有可能在时期1内借款消费；相反，如果预期m2明显下降的话，他很可能减少当期消费，增加储蓄。©王秋石著熊毅改编2014-2-855/77跨期的效用极大化现分两种讨论利息率变动对消费行为的影响。假如消费者开始为一储蓄者；假如消费者开始为借款者；银行利率是重要的决策变量。储蓄者的跨期的效用极大化第一,假如消费者开始为一储蓄者,如果利息率上升、m1

和m2

收入不变的话,预算线从AB变为经过w点的FG,在新的预算线下,他有一条更高的无差异曲线I1与之相切,新的均衡点为E1。很显然,他将依然是个储蓄者,并可享受到更高的效用水平。56/77©王秋石著熊毅改编2014-2-8借款者的跨期的效用极大化第二,假如消费者开始为一借款者,如果利息率上升,m1和m2收入不变,预算线从AB变为FG(经过了w点),在新的预算约束下,他不可能购买到原效用极大化组合E0点,他只能选择E1以实现在新的条件下的动态效用极大化,但E1点所代表的效用水平低于E0。这说明,他依然选择成为一个借款者,但境况变得更糟。57/77©王秋石著熊毅改编2014-2-8跨期的效用极大化的代数解上述效用极大化可以转化成下列数学问题:▇建立拉格朗日函数L58/77©王秋石著熊毅改编2014-2-8©王秋石著熊毅改编2014-2-859/77跨期的效用极大化的代数解▇将后两式相除，有：▇这便为跨期最优选择的均衡条件。跨期的效用极大化：存在通货膨胀在以上的讨论中,隐含了另一个重要的假设,时期1的价格水平(p1)和时期2的价格水平(p2)保持不变且等于1,即p1=p2=1,换言之,不存在通货膨胀或通货紧缩的情形。这一假设显然与实际经济生活不符,现取消这一假设，令：

p1=1，p2/p1=1+π

60/77©王秋石著熊毅改编2014-2-8跨期的效用极大化：存在通货膨胀如果π

>0,便为通货膨胀率;如果π<0,则为通货紧缩率。这样上式便可写成:61/77©王秋石著熊毅改编2014-2-8©王秋石著熊毅改编2014-2-862/77跨期的效用极大化：存在通货膨胀在有通胀（即π>0）的情况下，预算线的斜率为:▇如果π增大（即更严重的通胀），预算线的斜率变得更为平坦，如果该消费者在时期1为一储蓄者，通胀将会使得他变得更糟；▇如果π增大（即更严重的通胀），预算线的斜率变得更为平坦，如果该消费者在时期1为一储蓄者，通胀将会使得他变得更糟；©王秋石著熊毅改