第三章线性系统的时域分析

第三章线性系统的时域分析法2.1线性系统时间响应性能指标2.2一阶系统时域分析2.3二阶系统时域分析2.4高阶系统的时域分析2.5线性系统的稳定性分析2.6线性系统的稳态误差计算2.1线性系统时间响应性能指标典型输入信号名称时域表达式频域表达式单位阶跃函数单位斜坡函数单位加速度函数单位脉冲函数正弦函数动态过程和稳态过程动态过程，指系统在典型输入信号作用下，系统输出量从初始状态到最终状态的响应过程。由于实际控制系统具有惯性、摩擦、阻尼等原因，动态过程表现为衰减、发散或等幅振荡形式。稳态过程，指系统在典型输入信号作用下，当t趋近于无穷大时，系统的输出状态，表征系统输入量最终复现输入量的程度。动态性能和稳态性能动态性能通常在阶跃函数作用下测定，其指标一般包括：1.延迟时间，响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间。2.上升时间，响应曲线从稳态值的10%上升到90%，所需的时间。上升时间越短，响应速度越快。

3.峰值时间，响应曲线达到第一个峰值所需要的时间。4.调节时间，响应曲线达到并永远保持在一个允许误差范围内，所需的最短时间。误差用稳态值的百分数（通常取5%或2%）。5.超调量，指响应的最大偏离量与终值之差的百分比。稳态性能通常在阶跃函数、斜坡函数或加速度函数作用下测定。如果时间趋于无穷时，系统的输出量与输入量不能完全吻合，则系统存在稳态误差。稳态误差是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量。3.2一阶系统的时域分析可以用一阶微分方程描述的控制系统称为一阶系统图(a)所示的RC电路，其微分方程为，其中C(t)为电路输出电压，r(t)为电路输入电压，T=RC为时间常数当初使条件为零时，其传递函数为一阶系统的单位阶跃响应

单位阶跃函数的拉氏变换为系统的传递函数为则系统的输出为对上式取拉氏反变换，得

1.系统阶跃输入时的稳态误差为零；

2.动态性能指标：一阶系统的单位脉冲响应

单位脉冲函数的拉氏变换为系统的传递函数为则系统的输出为对上式取拉氏反变换，得一阶系统的单位斜坡响应单位斜坡函数的拉氏变换为系统的传递函数为则系统的输出为对上式取拉氏反变换，得一阶系统的单位加速度响应

单位加速度函数的拉氏变换为系统的传递函数为则系统的输出为对上式取拉氏反变换，得表3-1一阶系统对典型输入信号的响应输入信号时域输入信号频域输出响应传递函数微分等价关系：系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数；系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分；积分常数由零初始条件确定。

积分3.3二阶系统的时域分析

凡以二阶系统微分方程作为运动方程的控制系统，称之为二阶系统(1)

该系统的任务：控制机械负载的位置,使其与参考位置相协调。(2)

工作原理：用一对电位计作系统的误差测量装置，它们可以将输入和输出位置信号，转换为与位置成正比的电信号。不考虑负载力矩的情况下，控制系统开环传递函数增益阻尼系数开环增益机电时间常数相应的闭环传递函数为了使结果具有普遍意义，将上式表示为标准形式－自然频率（或无阻尼振荡频率）－阻尼比（相对阻尼系数）二阶系统的标准形式传递函数自然频率（或无阻尼振荡频率）阻尼比（相对阻尼系数）二阶系统的特征方程二阶系统的单位阶跃响应

两个正实部的特征根，发散虚轴上，瞬态响应变为等幅振荡共扼复根，位于右半S平面两个相等的根两个不相等的根(1)欠阻尼令衰减系数，阻尼振荡频率当，

瞬态分量对上式取拉氏反变换，得单位阶跃响应为稳态分量稳态分量为1，表明系统在单位阶跃函数作用下，不存在稳态误差瞬态分量为阻尼正弦振荡项包络线决定收敛速度(2)无阻尼单位阶跃响应这是一条平均值为1的正、余弦形式等幅振荡，其振荡频率为（由系统本身的结构参数确定），称为无阻尼振荡频率(3)临界阻尼稳态值为1的无超调单调上升过程(4)过阻尼

二阶系统单位阶跃响应曲线欠阻尼情况二阶系统单位阶跃响应的性能指标(1)令在值范围内，近似有

亦可用(2)

，求得

(3)

对时域表达式求导，并令其为零，求得令整理得(4)超调量在峰值时间发生，故二阶系统超调量与阻尼比的关系(5)采用近似算法当当过阻尼情况单位负反馈系统，开环传递函数输入信号计算增益分别为10，200，1500时，系统的误差作业P.734-24-3二阶系统的动态校正

两种常用方法：1.比例－微分控制2.测速反馈控制闭环传递函数为比例－微分控制开环传递函数为结论：可通过适当选择微分时间常数，不改变自然频率，增大系统的阻尼比；相当于给系统增加了一个闭环零点。当输入为单位阶跃函数时

测速反馈控制

系统的开环传递函数

开环增益闭环传递函数令结论：测速反馈会降低系统的开环增益，从而会加大系统在斜坡输入时的稳态误差；测速反馈不影响系统的自然频率；可增大系统的阻尼比；测速反馈不形成闭环零点；可适当增加原系统的开环增益，以减小稳态误差。比例—微分控制与测速反馈控制的比较附加阻尼的来源比例—微分控制的阻尼作用产生于系统输入端误差信号的速度；测速反馈控制的阻尼作用产生于来源于系统输出端的响应速度；使用环境比例—微分控制对噪声有明显的放大作用；测速反馈控制对系统输入端噪声有滤波作用；对开环增益和自然频率的影响比例—微分控制对开环增益和自然频率均无影响；测速反馈控制会降低开环增益；动态性能比例—微分控制相当于在系统中加入实零点，加快上升时间；测速反馈控制在相同条件下超调量低于比例—微分控制。例3-2图(a)所示的系统，具有图(b)所示的响应，求K和T.解：(1)(2)例3-3

控制系统如图所示，其中输入，证明当

时，稳态时系统的输出能无误差地跟踪单位斜坡输入信号。解：闭环传递函数因此只要令就可以实现系统在稳态时无误差地跟踪单位斜坡输入。

解：(1)

例3-4

设一随动系统如图所示，要求系统的超调量为0.2，峰值时间，求:(1)求增益

和速度反馈系数(2)根据所求的和值，计算该系统的系统的闭环传递函数

(2)

3.4高阶系统的时域响应设高阶系统闭环传递函数的一般形式为将上式的分子与分母进行因式分解，可得：

将式（3-47）用部分分式展开，得

假设响应函数由一阶系统（惯性环节）和二阶系统（振荡环节）组成.输入信号（控制信号）所对应的拉氏反变换为系统响应的稳态分量。传递函数极点所对应的拉氏反变换为系统响应的瞬态分量。闭环极点远离虚轴，则相应的瞬态分量衰减得快，系统的调整时间也就较短。闭环零点只影响系统瞬态分量幅值的大小和符号。如果所有闭环的极点均具有负实部，则系统是稳定的。过渡状态结束后，系统的输出量（被控制量）仅与输入量（控制量）有关。主导极点

如果系统中有一个极点(或一对复数)极点距虚轴最近，且附近没有闭环零点；而其它闭环极点与虚轴的距离都比该极点与虚轴距离大5倍以上，则此系统的响应可近似地视为由这个（或这对）极点所产生。应用主导极点概念，可以导出高阶系统相应的近似表达式。

3.5线形系统的稳定性设一线性定常系统原处于某一平衡状态，若它瞬间受到某一扰动作用而偏离了原来的平衡状态，当此扰动撤消后，系统仍能回到原有的平衡状态，则称该系统是稳定的。反之，系统为不稳定。线形系统的稳定性取决于系统的固有特征（结构、参数），与系统的输入信号无关。

系统稳定的基本概念系统稳定的充要条件系统的稳定与其脉冲响应函数的收敛是一致的系统仍能回到原有的平衡状态如果系统闭环传递函数用部分分式展开

系统的脉冲响应函数为

闭环特征方程式的根须都位于S的左半平面

系统稳定充要条件思考：一个在零输入下稳定的系统，会不会因某个参考输入信号的加入而使其稳定性受到破坏？分析：单位阶跃函数

稳态分量瞬态分量参考输入结论：一个在零输入下的稳定系统，在参考输入信号作用下仍将继续保持稳定

劳斯稳定判据令系统的闭环特征方程为：将各项系数，按下面的格式排成劳斯表这样可求得n+1行系数劳斯稳定判据是根据所列劳斯表第一列系数符号的变化，判别特征方程式根在S平面上的具体分布，过程如下：(1)如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方程式的根都在S的左半平面，相应的系统是稳定的。(2)如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数等于该特征方程式的根在S的右半平面上的个数，相应的系统为不稳定。例3-5

已知一调速系统的特征方程式为

试用劳斯判据判别系统的稳定性。解：列劳斯表由于该表第一列系数的符号变化了两次，所以该方程中有二个根在S的右半平面，因而系统是不稳定的。例3-6已知某调速系统的特征方程式为求该系统稳定的K值范围。解：列劳斯表由劳斯判据可知，若系统稳定，则劳斯表中第一列的系数必须全为正值，可得：劳斯判据特殊情况

劳斯表某一行中的第一项等于零，而该行的其余各项不等于零或没有余项解决的办法：

a.以一个很小的正数来代替为零的这项，据此算出其余的各项，完成劳斯表的排列；

b.用因子(s+a)乘以原特征方程，在对新的特征方程进行判断，其中a是任意正数。

c.如果零上面的系数与下面的系数符号相同，则表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统属不稳定。2.若劳斯表出现全零的行，这说明存在一些绝对值相同但符号相异的特征根。

解决的办法：可用全零行上一行的系数构造一个辅助方程，并将辅助方程对复变量s求导，用导数方程的系数代替全零行。例3-7已知系统的特征方程式为试判别相应系统的稳定性。解：列劳斯表由于表中第一列上面的符号与其下面系数的符号相同，表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统为不稳定。例如3-8一个控制系统的特征方程为

解：列劳斯表由上表可知，第一列的系数均为正值，表明该方程在S右半平面上没有特征根。令F(s)=0，求得两对大小相等、符号相反的根，显然这个系统处于临界稳定状态。劳斯判据的应用劳斯稳定判据只回答特征方程式的根在S平面上的分布情况，而不能确定根的具体数据。也即也不能保证系统具备满意的动态性能。换句话说，劳斯判据不能表明系统特征根在S平面上相对于虚轴的距离。希望S左半平面上的根距离虚轴有一定的距离。设该距离为变量的特征方程式，然后用劳斯判据去判别该方程中是否有根位于垂线右侧。由此法可以估计一个稳定系统的各根中最靠近右侧的根距离虚轴有多远，从而了解系统稳定的“程度”。例3-8用劳斯判据检验下列特征方程是否有根在S的右半平面上，并检验有几个根在垂线的右方。解：列劳斯表

第一列全为正，证明所有的根均位于左半平面，系统稳定。令代入原特征方程化简后得列劳斯表的第一列的系数符号变化了一次，表示原方程有一个根在垂直直线的右方。例3-9已知一单位反馈控制系统如图所示，试回答时闭环系统是否稳定？时，闭环系统的稳定条件是什么？解:(1)当时，闭环系统的特征方程为

第一列均为正值，S全部位于左半平面，故系统稳定。(2)当时，开环传递函数闭环特征方程为排劳斯表

排劳斯表

欲使系统稳定第一列的系数必须全为正值

作业P.734-4(1)，(2)4-54-63.6线性系统的稳态误差

系统稳定是前提稳态误差的不可避免1.摩擦，不灵敏区，零位输出等非线性因素2.输入函数的形式不同(阶跃、斜坡、或加速度)

无差系统：在阶跃函数作用下没有原理性稳态误差的系统。有差系统：在阶跃函数作用下具有原理性稳态误差的系统。本节主要讨论系统结构输入作用方式稳态误差的定义

输出的实际值输出的希望值(真值很难得到)

误差传递函数二阶系统在斜坡输入作用下的响应的误差曲线二阶系统在阶跃输入作用下的响应的误差曲线公式条件：的极点均位于S左半平面（包括坐标原点）输入形式结构形式利用终值定理求稳态误差系统类型系统开环传递函数注：系统类型与系统的阶数的区别令

系统稳态误差计算通式则可表示为阶跃信号输入

令

因此要求对于阶跃作用下不存在稳态误差，则必须选用Ⅰ型及Ⅰ型以上的系统。式中斜坡信号输入

静态速度误差系数

令式中因此加速度信号输入

静态加速度误差系数

令式中因此静态位置误差系数

静态加速度误差系数

误差系数类型0型K00Ⅰ型∞K0Ⅱ型∞∞K静态速度误差系数

输入类型0型∞∞Ⅰ型0∞Ⅱ型00例3-10一单位反馈控制系统，若要求：⑴跟踪单位斜坡输入时系统的稳态误差为2;⑵设该系统为三阶，其中一对复数闭环极点为,求满足上述要求的开环传递函数。解：根据⑴和⑵的要求，可知系统是Ⅰ型三阶系统，因而令其开环传递函数为因为按定义

相应闭环传递函数

所求开环传递函数为扰动作用下的稳态误差扰动不可避免负载力矩的变化、放大器的零点漂移、电网电压波动和环境温度的变化等，这些都会引起稳态误差。它的大小反映了系统抗干扰能力的强弱。控制对象

控制器输出对扰动的传递函数

由扰动产生的输出

输出对扰动的传递函数系统的理想输出为零，而扰动产生输出端误差信号由终值定理得令图3中的

则开环传递函数为

下面讨论V=0，1和2时系统的扰动稳态误差V=0

，0型系统当扰动为一阶跃信号，即由于

注：参考输入虽然都是I型系统，但抗扰动的能力不同，产生的稳态误差相同。

阶跃信号

V=1

，I型系统斜坡信号

阶跃信号

斜坡信号结论:扰动稳态误差只与作用点前的结构和参数有关。如中的时，相应系统的阶跃扰动稳态误差为零；斜坡稳态误差只与中的增益成反比。至于扰动作用点后的,其增益的大小和是否有积分环节，它们均对减小或消除扰动引起的稳态误差没有什么作用。

结论:第一种组合的系统具有II型系统的功能，即对于阶跃和斜坡扰动引起的稳态误差均为零;

第二种组合的系统具有I型系统的功能，即由阶跃扰动引起的稳态误差为零，斜坡产生的稳态误差为系统的第三种组合具有0型系统的功能，其阶跃扰动产生的稳态误差为，斜坡扰动引起的误差为。

。

V=2

，II型系统减小或消除稳态误差的措施

措施：1.增大系统的开环增益或绕动作用点之前系统的前向通道增益；2.在系统前向通道或主反馈通道设置串联积分环节；3.采用复合控制方法梅逊公式

对扰动进行补偿？对应的信号流图分析：引入前馈后，系统的闭环特征多项式没有发生任何变化，即不会影响系统的稳定性。由于分母的s阶次一般比分子的s阶次高，故该条件在工程实践中只能近似地得到满足。

为了补偿扰动对系统输出的影响对扰动进行全补偿的条件：

令2.按输入进行补偿图3-28按输入补偿的复合控制系统？

为了按