昆明理工大学材料力学第五章轴向拉压杆的应力与变形

材料力学第五章轴向拉压杆的应力与变形§5-1轴向拉伸和压缩的概念§5-2轴向拉压杆的内力§5-4拉压强度条件及应用§5-5轴向拉压杆的变形§5-6简单拉压超静定问题§5-3轴向拉压杆的应力§5-1轴向拉伸和压缩的概念工程结构及机械中常见的拉伸及压缩变形的构件：起重机的吊缆桁架中的杆件连杆曲柄连杆机构ωF特点：连杆为直杆外力大小相等方向相反沿杆轴线杆的变形为轴向伸长或缩短

以轴向伸长或轴向缩短为主要特征的变形形式称为轴向拉伸或轴向压缩。拉（压）杆:以轴向伸长或轴向缩短为主要变形的杆件。（1）受力特征:

构件是直杆；作用于杆件上的外力或外力合力的作用线沿杆件的轴线。

（2）变形特点:

杆件的主要变形是沿轴线方向的伸长或缩短。FFFF讨论:下列图中哪些是轴向拉伸杆?F(a)F(b)FF(c)F(d)q§5-2轴向拉压杆的内力一、用截面法求内力FFmn求mn横截面上的内力?截面法的步骤：1.切：2.取：3.代：4.平：mnFFN∴FN=FmnF∑x=0FN–F=0从二力平衡公理可知：

FN、通过轴线，所以叫轴力，用FN表示。FFkk求kk横截面上的内力?kkFFNk∴FNk

=F∑x=0F–FNk=0比较两种受力后的内力及变形情况?FFmnmnFFN∴FN=F∑x=0FN–F=0杆件拉伸时，FN

为正—拉力（方向：离开横截面）;轴力FN的正负规定:FFmmFFN

mmFFN

mm∴FN

为杆件压缩时，FN

为负—压力（方向：指向横截面

）。轴力FN的正负规定:F

F

mmF

FN

mmF

FN

mm∴FN

为用“设正法”求轴力:先假设欲求轴力为正，解得为正是拉力，解得为负是压力。F

F

mmFN

F

mm∴FN=–F∑x=0FN+F=0（压力）多力杆:F5

F4

F3

F2

F1

11求1-1横截面上的轴力。11F3

F2

F1

FN1

∑x=0FN1

+F2+F3

–F1=0∴FN1=F1–F2–F322问：2-2横截面上的轴力?结论：两力作用间各横截面的轴力相等。二、由外力直接求内力任意横截面上的轴力等于截面一侧所有外力的代数和。F5

F4

F3

F2

F1

11看左侧：FN1=F1–F2–F322FN2=F1–F2看右侧：FN1=F4+F5规定（对外力）：离开截面取，指向截面取。三、轴力图用坐标（x，FN）来表示轴力沿杆件轴线的变化情况。

x表示横截面的位置；FN

表示轴力的大小。FN图FFN图F

F

F

F

FxFNxFN例1.变截面直杆，求各段的轴力，并画出轴力图。30kN10kNCBAD轴力只与外力有关，而与杆件尺寸无关。解：（1）求各段轴力AB段:11由1-1右侧FN1=30-10=20kNBD段:22由2-2右侧FN2=-10kN（2）画轴力图2010FN（kN）图例2.等截面直杆，画轴力图。●分布载荷作用段的轴力图是斜直线。AB段:11FN1=2qaBC段:22xFN2=qx—轴力方程解：（1）求各段轴力（2）画轴力图2qaFN图F=2qa

BCA2aaq例3.等截面直杆考虑自重，已知横截面面积为A，杆长为l，材料的容重为γ，F=2/3γAl，画轴力图。l

解：（1）求自重沿轴线的分布力qq（2）画轴力图FN图§5-3轴向拉压杆的应力一、

横截面上的应力问题：1）横截面上各点处产生何种应力？2）应力的分布规律？3）应力的数值？1、应力的分布规律实验：FFFF①各横向线保持为直线，并仍垂直于轴线，但距离增大了。②变形后原来的矩形网格仍为矩形。（1）变形现象：变形前的横截面变形后仍保持为平面，且垂直于轴线。（2）平面截面假设：根据变形现象作假设FFFF（3）推论:②无切应变，因此横截面上没有切应力。①任意两个横截面之间各纵向纤维的伸长相同，即各纵向纤维受力相等。（4）结论:横截面上只有正应力，并均匀分布，用s

表示。2、正应力计算公式轴力与应力的关系：sFNF注意:s

的符号与FN一致，正—称为拉应力，负—称为压应力。正应力计算公式：sFNF公式的限制条件:⑴上述计算正应力的公式对横截面的形式没有限制，但对于某些特殊形式的横截面，如果在轴向载荷作用时不能满足平面假设，则公式将不再有效。⑵试验和计算表明，该公式不能描述载荷作用点附近截面上的应力情况，因为这些区域的应力变化比较复杂，截面变形较大。该公式不能描述载荷作用点附近的应力情况。公式的限制条件:圣维南原理:力作用于杆端的方式不同，只会使与杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内受到影响。}FFFF影响区影响区例1.等截面直杆，已知横截面面积A=500mm2。(1)画轴力图;(2)求各段横截面上的正应力。A

50kN80kN

30kNB

C

D

解：（1）求各段轴力AB段:FN1=80-50+30=60kNBC段:由2-2右侧FN2=30-50=-20kN1122由1-1右侧CD段:33由3-3右侧FN2=30kN（2）画轴力图FN（kN）图602030横截面面积A=500mm2。A

50kN80kN

30kNB

C

D

(3)求各段横截面上的正应力。602030FN（kN）二、

斜截面上的应力混凝土圆柱重物圆柱是怎样断裂的？为什么圆柱会沿此斜截面断裂？铝板的拉伸实验：45o沿与轴线成45o角左右的斜截面破坏。1、斜截面上应力的分布规律变形现象:变形前平行的两条斜直线变形后仍保持为直线并相互平行。推论:在相互平行的两个斜截面之间的各纵向纤维的变形相同，说明斜截面上各点的应力也是均匀分布的。FF

实验：2、斜截面上应力的计算kkaFF

AaA(1)

斜截面定位：以横截面与斜截面的夹角a定位。

(2)

a角的正负规定：从横截面转到斜截面，逆时针转为正，顺时针转为负。A—横截面面积，Aa—kk斜截面面积，Aa=A/cosa

。其中

s0

是横截面上的正应力。FkkpaaFa

kkFa斜截面上的内力（用截面法）：

Fa=F∵斜截面上各点应力均匀分布。∴结论：轴向拉（压）时斜截面上既有正应力，还有 切应力。pa

kkFasatapa是斜截面上任意点的全应力，通常将其分解为正应力和切应力。

讨论:（2）当=0时，smax=s0。即横截面上的正应力为最大正应力。此时切应力为0

。pa

kkFasata（1）s0、

的符号代入计算。（3）当=45o时，

t

45o

=

t

max

=s0/2。即最大切应力发生在与轴线成45o角的斜截面上。此时正应力为s0/2。（4）当=90o时，s

=0

，t

=0。即纵截面上无任何应力。●正应力s

和切应力

t

正负号的规定：（1）正应力s

：离开截面（拉）为正，指向截面（压）为负。（2）

切应力

t

：对保留段内任一点之矩，顺时针 转为正，逆时针转为负。例2.计算阶梯状方形柱体的最大正应力，已知载荷F=50kN。F

C

BA

F

F

40003000370240III解：（1）画轴力图FN（kN）50150FN1=-50kNFN2=-150kN(2)求各段横截面上的正应力AB段:BC段:例3.图示轴向受压矩形等截面直杆，其横截面尺寸为40mm×10mm，载荷F＝50kN。试求斜截面m-m上的正应力和切应力。mmFF

40°解：（1）求轴力FN=-50kN(2)求横截面上的正应力(3)求m-m斜截面上的应力，α=50o§5-4拉压强度条件及应用一、名词介绍:1.工作应力:杆件实际上所承受的应力。2.极限应力:材料破坏时的应力。用σo表示。3.许用应力:工作应力允许的最大值。用[σ]

表示。n—安全因数。

为保证构件能正常工作并具有足够的安全储备，将极限应力除以一个大于1的系数n（安全系数也称为安全因数），便得到许用应力[σ]，即二、强度条件:或杆内的最大工作应力不得超过材料的许用应力。三、强度条件的应用:(1)强度校核已知外力，杆件横截面的形状和尺寸，材料。验算杆件是否安全。(2)

设计横截面尺寸(3)

确定许可载荷注意：工程上，是允许的。已知外力，材料，杆件横截面的形状。设计杆件横截面的尺寸。已知杆件横截面的形状和尺寸，材料。求杆件所能承受的最大载荷。例1.

已知一圆杆受拉力F=25kN，直径d=14mm，材料的许用应力为[]=170MPa。试校核此杆是否满足强度要求。解：(1)求轴力FN=25kN(2)求最大的正应力(3)校核强度故拉杆安全。例2.曲柄连杆机构。当连杆接近水平时，F=3780kN,连杆横截面为矩形，h/b=1.4,材料的许用应力为[]=90MPa。试设计连杆的横截面尺寸h和b。连杆ωFFFhbF=3780kN，h/b=1.4,

[]=90MPa。FFhb解：(1)求轴力FN=-3780kN(2)求横截面面积A(3)求尺寸h、b例3.两杆桁架如图所示，杆件AB

由两个10号工字钢杆构成，杆AC由两个截面为80mm80mm7mm的等边角钢构成，

所有杆件材料均为钢Q235，[]=170MPa。试确定结构的许可载荷[F]。F1m30ºACBAB杆—10号工字钢，AC杆—80mm80mm7mm等边角钢，[]=170MPa。试确定结构的许可载荷[F]。F1m30ºACB解：(1)求轴力30ºFAFN2FN1AB杆—10号工字钢，AC杆—80mm80mm7mm等边角钢，[]=170MPa。试确定结构的许可载荷[F]。(2)确定两杆的面积30ºFAFN2FN1查表得：(3)确定许可载荷[F]由AC杆确定：由AB杆确定：§5-5轴向拉压杆的变形

实验表明，杆件在轴向拉力或压力的作用下，沿轴线方向将发生伸长或缩短，同时，横向（垂直的方向）必发生缩短或伸长，如所示。

FFll1aa1一、轴向（或纵向）变形，横向变形绝对变形：线应变（正应变）相对变形：单位长度上的变形;无量纲量。长度变化的测量1.轴向（或纵向）变形2.横向变形绝对变形:横向线应变：●ε

与ε′恒为异号。FFll1aa1或

----泊松比二、泊松比

在线弹性范围内，横向正应变ε’与轴向正应变ε之比的绝对值是一个常数。ε、ε’与都是无量纲的量。(应力不超过比例极限)试验表明：当拉（压）杆内的正应力小于某一极限值（比例极限）时，杆的伸长（或缩短）△l与轴力FN及杆长l成正比，而与横截面面积A成反比。—虎克定理三、虎克定理（引入一比例常数得等式）E—拉、压弹性模量;反映材料抵抗弹性变形的能力。具有与应力相同的量纲,常用单位GPa。注意：E、

是材料固有的弹性常数。EA—抗拉（压）刚度。反映构件抵抗弹性变形的能力。变换的形式：（虎克定理的另一表达形式）表明：当应力不超过比例极限时，应力与应变成正比。注意：（1），FN要代入符号计算。

—伸长；—缩短。（2）FN、A或E分段变化：FN或A沿轴线连续变化:2FFqF例1.台阶形杆件受载如图所示，已知AB和BC段的截面面积为A1=400mm2、A2=250mm2。材料的弹性模量为E=210GPa。试计算AB段、BC段和整个杆件的伸长量；并计算截面C相对于截面B的位移△CB以及截面C的绝对位移△C。F=40kN

CBA

B'C'l1=300l2=200A1=400mm2、A2=250mm2。E=210GPa。F=40kN

CBA

B'C'l1=300l2=200解：(1)求轴力FN1=40kNFN2=40kNAB段:BC段:(2)求各段的变形及杆的总变形AB段:BC段:A1=400mm2、A2=250mm2。E=210GPa。F=40kN

CBA

B'C'l1=300l2=200FN1=40kNFN2=40kN(2)求各段的变形及杆的总变形(3)求截面C相对于截面B的位移△CB以及截面C的绝对位移△C

l

例2.等截面直杆考虑自重，已知横截面面积为A，杆长为l，材料的容重为γ，杆的总重为G，求杆的变形量△l。解：(1)求自重沿轴线的分布力qq(2)画轴力图x

dx(3)求微段dx的变形量

dx(4)求杆的总变形量

四、桁架节点的位移计算变形：指构件的尺寸和形状的改变。位移：指构件上的点或者截面由于变形而引起的位

置的改变。A问：A截面有没有变形？有没有位移？

例3.

图示受力铰接三角架(桁架），已知：F=9.8kN,1杆的E1=200GPa，A1=127mm2，l1=1.15m,2杆的E2=70GPa，A2=101mm2，l2=1m

。试求节点A的水平及垂直位移。A12F30°解：(1)求两杆的轴力A12F30°F=9.8kN,1杆的E1=200GPa，A1=127mm2，l1=1.15m,2杆的E2=70GPa，A2=101mm2，l2=1mA12F30°(2)计算两杆的变形量(3)假想打开A铰使杆件自由变形，用切线代圆弧作图来确定节点A的新位置A1230°A1230°BBCA1230°BC30°(3)假想打开A铰使杆件自由变形，用切线代圆弧作图来确定节点A的新位置(4)计算节点A的水平及垂直位移

例4.

已知F及CD杆的EA,AB杆为刚性杆。求节点A的垂直位移。FABCD60°aa§5-6简单拉压超静定问题超静定（静不定）—仅仅依靠静力平衡方程不能求解所有未知力的问题（或未知力的个数大于独立平衡方程的个数。）一、基本概念例如：外力沿铅垂方向，求各杆的轴力。CFABD12平衡方程:FAFN1FN2(用截面法取A点研究)两个平衡方程可以求解两个未知力，属于静定问题。CFABD123平衡方程：刚才的结构，加上第3根杆，求各杆的轴力。FAFN1FN3FN2两个平衡方程，有三个未知力，无法求解，属于静不定问题。为什么会从静定变成静不定呢？因为有了多余的约束。（要求解这三个未知力，必须补充方程。）要通过变形的协调关系来建立补充方程。静不定度（次数）=未知力的数目-有效平衡方程的数目例1.设1、2、3三杆用铰链连接如图，已知：各杆长为：l1=l2、

l3=l

；各杆截面面积相等为A；各杆弹性模量相等为E。外力沿铅垂方向，求各杆的轴力。解：(1)几何关系给结构一个假象的变形位置，找变形的谐调关系。CFABD123l求解前先作静不定次数的判定。CABD123CABD123原则一：由节点新位置作原

杆轴线的垂线确定

杆的变形量。——变形谐调关系？——变形谐调关系解：(1)几何关系(2)通过物理关系，建立补充方程CABD123l——补充方程CFABD123FAFN1FN3FN2(3)列