保险数理基础

保险的数理基础现代保险学是建立在概率论和大数定律基础上的，为以下三个方面提供了科学依据：保险经营的稳定性、费率厘定的科学性、保险风险的集合与分散的可行性风险事故：是否发生？怎么发生？发生后损失的程度？

→没有风险就没有保险。保险的数理基础一、概率统计和相关概念

随机现象、概率及频率、概率分布及数字特征二、大数定律及其在保险中的应用

贝努利大数定律、泊松大数定律、契比雪夫大数定律三、保险费率厘定构成、分类、保险费率、特点、厘定原则、厘定方法第一节概率统计的相关概念一、随机现象、随机试验随机现象：在个别试验中其结果呈现出不确定性而在大量重复试验中，其结果又具有统计规律性的现象称为随机现象。随机现象是通过随机试验来研究的。随机试验特征：（扔硬币）（1）可以在相同条件下重复进行；（2）每次试验的结果不止一个，而且所有可能的结果是事先知道的；（3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。二、概率与频率概率：衡量随机事件发生可能性大小的尺度，概率大表示随机事件出现的可能性就大，反之，概率小表示随机事件出现的可能性就小。在实际应用中，一种广为接受的确定随机事件概率的方法是概率的频率解释。当试验次数很大时，频率也将越趋近于某一数值，这时可以来表示事件发生的概率。对于概率的频率解释，在大数定律中将给出严格的理论证。（贝努利大数定律）

保险实务中，常常用频率来表示风险事件的损失概率。在人寿保险中，确定每个年龄段的死亡率的依据是生命表。生命表是以人口普查资料为依据，根据一定时期某一国家或地区的特定人群有关生存、死亡的统计资料，加以分析整理而成的一种表格。它是人寿保险测定危险的工具，是寿险精算的数理基础。三、概率分布与数字特征

对于保险而言，随机变量的取值通常是损失的各种不同数额，此时随机变量的数学期望就是损失期望值，即未来危险事故产生损失的均值。对于保险人：只有知道了损失期望值，才能确保纯保费。对于投保人：把预期损失金额与保险费比较，然后做出是否购买保险的决定。0*0.5+500*0.3+1000*0.1+5000*0.06+10000*0.04=950（期望损失）若保费1500元，就不投保。保险的数理基础一、概率统计和相关概念

随机现象、概率及频率、概率分布及数字特征二、大数定律及其在保险中的应用

贝努利大数定律、泊松大数定律、契比雪夫大数定律三、保险费率厘定构成、分类、保险费率、特点、厘定原则、厘定方法第二节大数定律及其在保险中的应用保险人分散风险、分摊损失的功能是通过集合大量的具有相同性质的经济单位或个人来实现的。一个深层次的问题是，为什么保险人通过这种风险汇聚的方式能够实现分摊损失、降低风险的目的，其理论依据是什么？

大数定律将对这个问题作出科学地回答和解释。大数定律是用来说明大量重复的随机现象往往呈现必然规律的一系列定理的统称，它是保险经营的重要数理基础。当N足够大，可以用损失频率代替实际损失概率，从而可以确定纯保费。当N足够大，可以在平均的意义上求出相同的损失概率。所以，把性质相同的标的集中起来，可以算出平均费率。当n足够大时，反映了保险的本质：分担风险（纯保费：u）

伯努利大数定律、泊松大数定律、契比雪夫大数定律这三个大数定律应用于保险得出的最有意义的结论是：保险人承保的同质危险单位越多，则通过以往统计数据估算出来的损失频率与实际概率的偏差就越小；保险机制分摊损失和分散风险的效率就越高；保险费率的厘定就越科学；保险人的财务稳定性也越强。大数定律在保险中应用的双重性：

要准确估计事件发生的概率，保险公司必须掌握大量的经验数据；

概率估计值必须运用到大量的危险单位中才能对未来损失有较准确的估计；

假设前提：

1.过去事件发生的概率和未来事件发生的概率相同；

2.对过去事件发生概率的估计是准确的。保险的数理基础一、概率统计和相关概念

随机现象、概率及频率、概率分布及数字特征二、大数定律及其在保险中的应用

贝努利大数定律、泊松大数定律、契比雪夫大数定律三、保险费率厘定构成、分类、保险费率、特点、厘定原则、厘定方法第三节

保险费率厘定一、保险费率的构成保险费：投保人为了获得经济保障而向保险人缴纳的费用。保险费又称为毛保费、营业保费，保险费=纯保险费+附加保费。纯保费：根据风险概率计算而得，是发生保险事故时进行保险金赔付的资金来源。附加保费：经营保险业务所必需的的各项营业支出和预期利润，包括营业税、代理手续费、企业管理费、工资及工资附加费、固定资产折旧费、税金以及企业盈利等。二、保险费的分类按缴费方式，分为：趸缴保费、期缴保费按缴费时间，分为：期初缴费、期末缴费按承担的风险大小：自然保费、均衡保费均衡保费：是指保险人将人的不同年龄的自然保险费结合利息因素，均匀地分配在各个年度，使投保人按期交付的保险费整齐划一，处于相同的水平，这种保险费即为均衡保险费。均衡保险费避免了被保险人到了晚年因保险费的上升而无力续保的不足，因此适合长期性的人寿保险。

三、保险费率保险费率是保险费与保险金额的比例，又称为保险价格。保险费率一般也由纯费率与附加费率两部分组成，即：毛费率=纯费率+附加费率。纯费率又称净费率，它是用来支付赔款或保险金的费率，其计算依据因险种的不同而不同。依据：财产保险纯费率：损失率，人寿保险纯费率：利率和生命表。附加费率是附加保费与保险金额的比率。四、保险费率的特点预测性单个保险合同：保险费率≠保险金同一类保险业务：总纯保险费=总的保险金支出保险费率受政府的管制较严。五、保险费率厘定的基本原则公平合理原则（对保险人和投保人）保证偿付原则（充分原则）相对稳定原则促进防灾防损原则防灾防损：保险人与被保险人尽可能减少事故以及尽可能减少损失。（防止道德风险）好处:减少保险人的赔付；减少整个社会的财富损失（无赔款优待）六、保险费率厘定的方法

毛保费率=纯费率+附加费率分类法增减法个案法1.分类法：基于风险分类来计算保险费率的方法。（最常用、最主要）在具体承保时，先找出保险标的所在的风险类别，再据以确定其适用的费率水平。运用于财产保险、健康保险和大部分人身意外伤害保险。这一方法有时也被叫做手册法，因为各种分类费率平常印在手册之上，保险人只需查阅手册，便可决定费率。财产保险：一般根据标的物的使用性质分为不同的类别，每一类又可以分为若干等级。人身保险：一般按照性别、年龄、健康状况、职业等分类。要求：一要分类适当，二要各类保险标的都有足够的数量。决定每类费率时，主要考虑相同的标的类型，相同的风险，相同的保险期限等因素。优点：便于运用，适用费率可迅速查到缺点：不尽公平。分类费率可通过两种方法来计算：纯保险费率法和损失比率法。1、纯保险费率法（以损失经验为计算基础）。集合→频率→概率→纯费率2、损失比率法（以整个行业的实际损失为计算基础）。

若分类过多，每一类标的过少，不符合大数定律的亲体。因此，需要结合其他类似风险的损失资料。2、增减法（修正法）：在同一类保险标的中，在分类法确定基本费率的基础上，再依据个别保险标的的实际风险状况进行适当修正，得出最终适用的费率。优点：增减法能结合标的的实际风险程度的差异，有利于实现费率的公平合理，还有促进防灾防损的作用。增减法主要分为三种做法：表定法、经验法、追溯法。3、个案法（观察法）七、财产保险费率计算过程纯费率→附加费率→毛费率（1）计算纯费率与损失率相关的基本指标有6个:A:保险标的件数B:总保险金额

C:保险事故次数D:受损标的件数

E:受损标的总保额F:总赔款金额分别组成了4个影响因素

1、保险事故发生的频率=C/A=保险事故次数/保险标的件数

2、保险事故的毁损率=D/C=受损标的件数/保险事故次数

3、保险标的损毁程度=F/E=总赔款金额/受损标的总保额

4、受损保险标的平均保额与总平均保额的比率

=（E/D）/（B/A）四个因素的乘积为保额损失率=F/B=总赔款金额/总保险金额假设某保险公司过去5年保额损失率统计资料如下：年份20012002200320042005保额损失率（Xi）2%2.5%3.4%3.1%2.8%纯费率=保额损失率×（1+稳定系数）纯费率=平均保额损失率×（1+稳定系数）

纯费率=平均保额损失率+均方差实务中：对于损失率较稳定的，一般附加1个σ，适合比较稳定的险种，如火灾保险；对损失率不够稳定的险种，如机动车辆保险、飞机保险等，附加2个σ；对于损失率很不稳定的高风险险种，如卫星发射保险，可附加3个σ。

本案例中，由于稳定系数小于20%（18.12%），是低风险险种。纯费率=2.76%+0.5%=3.26%（2）计算附加费率附加费率=附加费/保险金额

附加费率=纯费率×附加费与纯保费比例（3）计算毛费率

毛费率=纯费率+附加费率毛费率=保额损失率×（1+稳定系数）+附加费率毛费率=（保额损失率+均方差）+附加费率毛费率=纯费率×（1+附加比例）本案例中，若附加费与纯保费的比例为20%，则：

附加费率=3.26%×20%=0.652%

毛保费率=3.26%+0.652%=3.912%八、人寿保险费率的厘定（一）概述人寿保险费=纯保费+附加保费纯保险费包括：

危险保险费（风险保费）：用于当年保险费的支付储蓄保险费：累计用于弥补未来的赤字纯保费计算必须以死亡率和预定利率为基础；附加保费则用于保险公司经营费用，包括：新契约费用（原始费用）、维持费用、收费费用，以预定费用率为基础注：现金价值—被保险人年轻时，死亡概率低，投保人交纳的保费比实际需要的多，多交的保费将由保险公司逐年积累；被保险人年老时，死亡概率高，投保人当期交纳的保费不足以支付当期赔款，不足的部分将正好由被保险人年轻时多交的保费予以弥补。这部分多交的保费连同其产生的利息，每年累积起来，就是保单的现金价值。（二）利息

单利，复利，终值，现值，年金（三）生命表生命表：根据一定的调查时期，一定的国家或地区范围，一定的人群类别（如性别分类）等实际而完整的统计资料，经过分析整理，反映某一国家或地区一定人群的生死状况。生命表的直观形式是：折算成以10万、100万或1000万同龄人为基数的逐年生存或死亡数字，反映的是在封闭人口条件下，一批人从出生后陆续死亡的全部过程中，从而可以计算每个年龄人群的生存和死亡概率。年龄x年初生存人数lx年死亡人数dx生存率px死亡率qx3536373897239697138697025596904310281113121213240.9989430.9988540.9987510.9985030.0010510.0011460.0012490.001366生命表的内容有：

1、x:当年生存者的年龄；

2、lx:年龄为x岁的人的生存人数；

3、dX：一年内的死亡人数，即在lX人中，从x岁到x+1岁的一年内的死亡人数；

4、pX：生存率，x岁的人到x+1岁时仍然生存的概率；

5、qx：死亡率，x岁的人在达到x+1岁前的死亡概率；

6、ex:平均余命。（四）纯保险费计算

基本原理：收付平衡原则，精算现值相等（