直接法估计的改进

主讲人：朱志雄小组成员：何孝金，朱志雄，王维斌直接法和间接法的改进13.3直接法和间接法的质量直接法和间接法的关系：截短（乘矩形窗d0(n)）求线性相关函数DFTIDFTM=N-1时的估计质量此时，直接法和间接法估计出的结果是相同的，且有令W(ω)

是三角窗w(m)的傅立叶变换，由卷积定理，有式中r(m),P(ω)分别是随机信号x(n)的真实自相关函数和功率谱。上式可写成则估计的偏差为：当时，矩形窗d0(n)趋于无限宽，D0(ω)和W0(ω)都趋于δ函数，此时因此，对于固定的数据长度N，周期图是个有偏估计，偏差由（*）式给出。当时，它的期望值等于真值P(ω)

,所以它又是渐进无偏的。

M<N-1时的估计质量当时，不等于,而是对的平滑。（1）均值：由前述知识知，所以由于，所以W(ω)的主瓣宽度远小于V(ω)主瓣的宽度。当时，W(ω)趋近于δ函数，此时如果P(ω)是一个慢变的谱，使得在V(ω)的主瓣内接近为一常数，则上式可写为若能保证

则有（2）方差假定x(n)是零均值、方差为σ2的高斯白噪声，则有又,令Kr<1，说明小结：1）由于在上施加了一个较短的窗口v(m)，使得间接法估计的偏差大于直接法，而方差小于直接法。2）谱的平滑（也即方差的减小）是以牺牲分辨率为代价的。13.4直接法估计的改进直接法的缺点：数据长度N太大时，谱曲线起伏加剧，N太小时，谱的分辨率不好改进方向：主要是改进其方差特性方法一：间接法（又称自相关法、BT法）方法二：平均法解：μ=E（X）=E[（X1+X2+…+XL）/L]=E（X1+X2+…+XL

）=[E(X1)+E(X2)+…E(XL)]=μVar[X]=var[（X1+X2+…+XL）/L]=

Eg1.对L个具有相同均值μ和方差δ

2的独立随机变量X1，X2，…XL。求随机变量X=（X1+X2+…+XL）/L的均值及方差。启示：将一长度为N的数据xN（n）分成L段，分别求每一段的功率谱，然后加以平均，以达到所希望的目的。由此，便有了改善

PER（ω）方差特性的一个方法，即Bartlett法。Bartlett法：将采样数据xN（n）分成L段，每段的长度均为M，即N=LM，则第i段数据加矩形窗后，变为xiN（n）=xN[n+(i-1)M]d1[n+(i-1)M],0⩽n⩽M-1,1⩽i⩽L每一段的功率谱:

iPER(ω)=|xiN(n)e-jωn|2,1⩽i⩽L

PER(ω)的均值为:E{PER(ω)}=E{iPER(ω)}=E{iPER(ω)}

=P(ω)*|D1(ω)|2=P(ω)*W1(ω)

把PER(ω)对应相加，再取平均，得到平均周期图PER，即

PER(ω)=iPER(ω)=|xiN(n)e-jωn|2

对比可知,不取平均值的周期和取平均后的相同点：都是有偏估计，且当

时，二者都是渐进无偏的。区别：因为W1(ω)主瓣的宽度远大于W(ω)，所以取平均后，偏差加大，分辨率下降。Eg2.若x(n)为一白噪声序列，由前面知识可知

分的段数越多，方差越小。若L能趋于，则是P(ω)的一致估计。法二：Welch法Welch法是对Bartlett法的改进。Case1:在对xN(n)分段时，允许每一段的数据有重叠。例如，每一段数据重合一半，这时的段数M是每一段的长度。Case2.选择适当的窗口作为每一段的数据窗口。例如，使用汉宁窗或汉明窗，记之为d2(n)。如此，可以改善由于矩形窗边瓣较大所产生的谱失真。记每一段的功率谱式中是归一化因子（？）。Eg3.若上式中d2(n)是一个矩形窗口，计算平均后的功率谱及均值。解：1）平均后的功率谱2）均值D2(ω)是d2(n)的频谱，

即

记则有：如果有则有为渐近无偏谱。法三：Nuttall法步骤1、2：同Bartlett，即对xN(n)自然分段（加矩形窗），且不交叠，得到平均后的功率谱;步骤3：由做反变换，得到该平均功率谱对应的自相关函数，记为，其最大宽度是2M-1，M=N/L；步骤4:对加延迟窗w2(m)，w2(m)最大单边宽度为M1,得到，即步骤5：由做正交变换，得到对x(n)功率谱估计，记作

三种方法的关系截短（乘矩形窗d0(n)）不交叠分段，（d1(n)为矩形窗）求平均功率谱作逆变换对每一段加权，d2(n)可以不是矩形窗交叠分段正变换加权W2(m)平均x(n)13.5经典谱估计算法性能的比较总结：（1）经典谱估计，不论是直接法还是间接法，都可以用FFT快速计算，且物理概念明确，因而仍是目前较常用的谱估计方法。（2）谱的分辨率较低，它正比于2π/N，N是所使用的数据长度。（3）由于不可避免的窗函数的影响，使得真正谱P(ω)在窗口主瓣内的功率向边瓣部分“泄露”，降低了分辨率。较大的边瓣有可能掩盖P(ω)中较弱的成分，或是产生假的峰值。当分析的数据较短时，这些影响更为突出。（4）方差性能不好，不是P(ω)的一致估计，且N增大时谱曲线起伏加剧。（5）周期图的平滑和平均是窗函数的使用紧紧相关联的。平滑和平均主要是用来改善周期的方差性能，但往往又减少了分辨率和增大了偏差。没有一个窗函数能使估计的谱在方差、偏差和分辨率各个方面都得到改善。因此使用窗函数只是改进估计质量的一个技巧问题。13.6短时傅立叶变换平稳信号：主要特点是信号的均值、方差及均方都不随时间变换，其自相关函数仅和两个观察时间的差有关，而和观察的具体位置无关。非平稳信号:这类信号的均值及方差都在随时间变化，其自相关函数也和观察的具体时间位置有关，而且信号的频率也会随时间而变化。傅立叶变换的不足：缺乏时频定位能力。信号联合时频分布双线性时频分布表达式：

（1）x(t)出现了两次，且是相乘的形式，故称为双线性。若，则（1）式可简化为