计算机控制系统

2010年控制工程基础

第十章

COMPUTERCONTROLSYSTEM

计算机控制系统的控制规律是由计算机来实现的10.1计算机内信号的处理和传递过程10.2z变换10.3线性离散系统的数学描述10.4线性离散系统的稳定性分析10.5计算机控制系统的模拟化设计方法10.1计算机内信号的处理和传递过程输出反馈计算机控制系统结构框图表示参考输入信号（给定信号）表示系统的反馈信号

数字控制器用计算机实现，一般由计算机核心硬件、控制算法（或称控制律，由计算机程序实现）、模-数(A/D)转换器、数-模(D/A)转换器组成。采样周期：两次相邻采样之间的时间，记作。采样时刻：把实测信号转换成数字形式的时刻。

最常用的是周期性采样。表示偏差信号表示控制信号量化以后的数字偏差信号。计算机计算出的数字控制信号。由经数-模转换后的离散模拟控制信号。经过保持器变成的模拟控制信号。计算机内信号的主要处理过程包括采样、量化、运算和保持。采样和量化由A/D转换器完成，运算在计算机的CPU内进行，而计算机输出信号经D/A转换器通常在采样间隔内保持不变。采样

采样：指每隔一定的时间间隔把连续信号抽样成采样信号的过程。理想采样器：理想采样器是一种数学抽象。单位脉冲序列：理想采样器图示采样示意图采样信号可以看成是和的乘积。在时刻的脉冲冲量为，而表示出脉冲发生的时刻。采样周期应该满足采样定理，否则会发生混叠现象。采样定理：采样频率要高于信号中最高频率的2倍。

乃奎斯特频率:C.Shannon(1916-2001)MIT教授，信息论创始人连续信号与采样信号的频谱量化：把离散模拟信号转变成数字信号的过程。量化精度取决于A/D转换器的位数n。当位数足够多时，转换可以达到足够高的精度。量化单位：量化

其中，分别表示转换器输入的最大值和最小值。量化误差：保持器

保持：把离散模拟信号转变成模拟信号的过程。

保持器：实现保持作用的电路。保持器起外推器的作用，根据过去时刻的离散值，外推出采样点之间的数值。

零阶保持器(ZeroOrderHolder，缩写ZOH)

把时刻的信号一直保持到时刻前的瞬间，其外推公式为零阶保持器的单位脉冲响应零阶保持器的传递函数零阶保持器的频率特性零阶保持器的幅频特性和相频特性零阶保持器具有低通特性和相角滞后特性。由于数字信号所固有的时间上离散、幅值上量化的效应，从而使得计算机控制系统与连续控制系统在本质上有许多不相同的性质。计算机控制系统中包含有数字环节，即是典型的数字控制系统，对时变非线性的数字环节进行严格的分析十分困难。若忽略数字信号的量化效应，则计算机控制系统可看成是采样控制系统。

把执行器、被控对象用传递函数来表示，A/D转换器表示成一个理想的采样器，D/A转换器表示为一个采样器后接零阶保持器的理想采样保持电路，计算机中实现的算法用表示。在线性离散系统中，可以对采样信号作拉氏变换，采样信号表达式为

令，则称为的离散拉氏变换。一般称

为离散时间序列的z变换。是复变量的函数。10.2z变换典型信号的z变换（1）单位脉冲时间序列则延迟的单位脉冲时间序列

则（2）单位阶跃时间序列

（3）单位斜坡时间序列

（4）衰减指数序列（5）指数序列z变换的性质设(1)

线性性质z变换是一种线性变换，即(2)

滞后性质设时，则滞后步序列的z变换为

代表滞后（延迟）环节，表示把信号延迟个采样周期。(3)

超前性质超前步序列的z变换为

代表超前环节，表示输出信号超前输入信

号个采样周期。(4)

象函数尺度变化规则(5)初值定理(6)终值定理(7)卷积定理

一些典型时间序列的Z变换可以由查表得到。(2)由Z变换定义、性质和定理可以很方便地求出复杂函数的Z变换。由连续时间信号的拉氏变换求相应采样序列的z变换已知连续时间信号的拉氏变换为对取拉氏反变换得到，按采样周期对采样，得到相应采样序列对取z变换，得到。记作(1)部分分式法如果已知某函数的拉式变换，先把它分解为一些基本的部分分式

然后再分别求出其相应的原函数。对

离散化得，对求z变换。由z变换的线性性质可得例：

对采样得因此

(2)留数计算法由复变函数中留数定理可知，函数除有限个极点外，在某域G内是解析的，则C为G内的一段封闭积分回路，应包含的所有极点。表示函数在极点的留数。等于在各极点处的留数之和。留数的计算方法因是否有重极点而异。如果在处有阶极点，则如果在处只有一阶极点，则如果具有个不同的极点每

个的阶数为（时为单极点），则例：已知某连续时间信号的拉氏变换为试用留数法求相应采样序列的Z变换。解：例：已知某连续时间信号的拉氏变换为试用留数法求相应采样序列的Z变换。解：2、Z反变换(1)幂级数展开法（长除法）把展开为的幂级数，的系数相应

于在第个采样时刻的时间函数的值。幂级数展开法只能得到离散时间序列的前若干项，得不到序列的数学解析式。例

则

(2)部分分式法设是的有理分式，当其实根是互不相同的情形时，利用部分分式法求z反变换的步骤为：①展开其中②把展开式乘以，得：

③反演展开式，得：

例：(3)留数计算法由留数定理，得:积分回路C应包含被积式中的所有极点。是的极点。等于的各极点留数之和。如果在处有阶极点，则如果在处只有一阶极点，则如果具有个不同的极点

每个的阶数为（时为单极点），则例：求的Z反变换。解：当时， 当时，10.3线性离散系统的数学描述对于单输入单输出线性离散时不变系统，人们习惯用线性常系数差分方程或脉冲传递函数来表示。对于多变量、时变和非线性系统用状态空间方法处理比较方便。

单输入单输出线性离散时不变系统的输入输出关系可以用线性常系数差分方程描述

上述差分方程为阶差分方程。差分方程可写成紧缩算子形式：其中，是引入的后移算子齐次差分方程：差分方程右端各阶差分项的系数均为零。表征线性离散系统在没有外界作用的情况下系统的自由运动，反映了系统本身的固有特性。非齐次差分方程：差分方程右端各阶差分项的系数不全为零，即包含输入作用。

解差分方程线性差分方程的解法主要有迭代法、古典法和变换法。1、迭代法已知差分方程和输入序列，并且给出输出序列的初始值，就可以利用迭代关系逐步计算出所需要的输出序列。该方法便于计算机运算，但不能得到数学解析式。例：已知差分方程

输入序列为，初始条件为，试用迭代法求解差分方程。解：逐步以代入差分方程，则有利用迭代法可以得到任意时刻的输出序

列。2、古典法线性常系数差分方程的全解由齐次方程的通解和非齐次方程的特解两部分组成，即其中特解可用试探法求出，关键在于求出齐次方程的通解。阶线性差分方程的特征方程为设为特征方程的根。根据特

征根的不同情况，齐次方程的通解形式也不

同。(1)无重根时，即，则通解为

式中待定系数，由的个初始条件确定。(2)全为重根时，即，则通解为

式中待定系数，由的个初始条件确定。(3)有个重根，其余的不是重根，即则通解为

其中，为待定系数。一般情况，假设是特征方程的重根，那么在通解中相应于的部分将有项，即假设阶差分方程的特征方程具有个不同的根，的阶数为，，则差分方程的通解为

式中待定系数，

由的个初始条件确定。从上面讨论中，可以归纳出解线性常系数差分方程的古典法如下：(1)求齐次方程的通解；(2)求非齐次方程的一个特解；(3)利用个初始条件或根据起始条件利用迭代法求出的初始条件确定通解中的个待定系数。非齐次方程的特解反映了离散系统在外界

作用下的强迫运动。特解用试探法求出，与几种典型输入信号对应的特解形式如下表输入信号输出响应的特解

不是差分方程的特征根

是差分方程的特征根之一相异根次重根例：考虑二阶差分方程，求差分方程的解。解：特征方程为特征根为齐次方程的通解为设特解为，代入方程试探

解得方程的全解为代入初始条件得

因而非齐次差分方程的解为例考虑三阶差分方程初始条件为，，，求解差分方程。解：特征方程为其特征根为（二重根）和。这时，，，。齐次方程的通解为

该差分方程是一个齐次方程，因此齐次方程的通解也是差分方程的全解代入初始条件，得求出，和。因而

差分方程的全解为3、变换法

在连续系统中引入拉氏变换使得求解繁杂的微、积分问题变成了简单的代数运算。在求解差分方程时，同样可以用变换法，引入z变换后，可以使求解差分方程变得简便。用z变换求解差分方程

利用z变换中的滞后和超前定理，以及已知函数的z变换，可以求解线性常系数差分方程的解。它把解差分方程变为以z为变量的代数运算问题。考虑差分方程：对差分方程两边作z变换：

差分方程的全解由与初始条件有关的通解和输入有关的特解两部分组成

步骤：对n阶差分方程作z变换将已知初始条件或由迭代法求出的y(0)，y(T)，代入z变换式由z变换式求出Y(z)对Y(z)取z反变换，得到差分方程的解y(kT)例：用z变换求解差分方程解：对差分方程两边求z变换，得:脉冲传递函数

在初始静止的条件下，脉冲传递函数是系统输出脉冲序列的z变换和输入脉冲序列的z变换之比，即

用脉冲传递函数描述的线性离散系统

在连续系统中传递函数反映了系统的固有动态特性，仅取决于描述线性连续系统的微分方程。同样在离散系统中，脉冲传递函数也反映了系统的固有动态特性，仅取决于描述线性离散系统的差分方程。

对用如下线性常系数差分方程所代表的离散系统当考虑初始条件为零时，两边取z变换得系统的特征方程为由特征方程可求出系统的极点，极点数目等于系统的阶数。由可求出系统的零点。例：求线性离散系统

的脉冲传递函数。解：在线性连续系统中，系统的传递函数等于单位脉冲响应函数的拉氏变换。对于线性离散系统，系统的脉冲传递函数等于单位脉冲响应的z变换。即系统的脉冲传递函数和单位脉冲响应为一z变换对。线性离散系统的脉冲传递函数和单位脉冲响应连续系统的离散化

(1)冲激响应不变法基本思路：让和所代表的系统在采样点具有相同的单位脉冲响应。步骤：a.由求出连续系统的单位脉冲响应b.按采样周期对采样，得到，作为相应离散系统的单位脉冲响应；c.对取z变换，得到离散系统的脉冲

传递函数这里用到了与是一对拉氏变换对，与是一对z变换对的关系。冲激不变法表述为利用冲激不变法离散化示意图利用冲激不变法由求，可以用部分分式法和留数计算法。例：已知某连续系统的传递函数为试用冲激不变法求相应离散系统的脉冲传递函数。解：连续系统的单位脉冲响应函数为对采样，得：则离散系统的脉冲传递函数为(2)带零阶保持器法这就是控制信号经D/A变换器转换成模拟量控制被控对象的情形。下面求带零阶保持器的离散化系统的脉冲传递函数。带零阶保持器的离散化方法示意图设系统的输入为单位阶跃时间序列则经过零阶保持器后对采样得，并取z变换得由于系统输入为单位阶跃时间序列，其z变换为因此带零阶保持器的离散系统的脉冲传递函数为带零阶保持器的离散化方法也可看作是用冲激不变法离散化传递函数为的广义对象（带有零阶保持器的对象称为广义对象），即

称为广义对象的脉冲传递函数。

3)乘以得用带零阶保持器的离散化方法求广义对象的脉冲传递函数的步骤为：1）求时间函数

2）对离散时间序列作z变换实际系统常常由一些子系统组成，子系统之间又以一定的方式相互联系着。最基本的联系形式有三种：串联、并联和反馈。首先介绍一些写法。

系统的脉冲传递函数

（1）串联系统的脉冲传递函数（2）并联系统的脉冲传递函数（3）反馈系统的脉冲传递函数闭环脉冲传递函数或输出量的z变换的推导步骤：1）在主通道上建立输出与中间变量的关系；2）在闭环回路中建立中间变量与输入或的关系；3）消去中间变量，建立输出与或的关系。

采样开关的位置对分子、分母部分都有影响，不仅闭环脉冲传递函数的形式不同，而且会有不能写出闭环脉冲传递函数的情况，只能写出输出量的z变换表达式。利用脉冲传递函数分析离散系统的瞬态响应10.4线性离散系统的稳定性分析1、s平面和z平面之间的映射关系2、线性离散系统稳定的充要条件3、线性离散系统的稳定性代数判据 s平面 z平面极点： 极点：

虚轴： 单位圆上：右半平面： 单位圆外：左半平面： 单位圆内：s平面与z平面的映射关系

s平面与z平面之间的映射关系是“多对一”的关系，即在s左半平面上每个宽的带子都映射到z平面上同一单位圆内。是采样角频率的周期函数，当s平面上不变，角频率由0变到无穷时，的模不变，只是相角作周期性变化。设则，即在复平面上是同一

个点。线性离散系统稳定的充要条件是特征方程的全部根或闭环z传递函数的全部极点都分布在z平面上以原点为圆心的单位圆内。说明：设闭环脉冲传递函数为 系统的特征方程为线性离散系统稳定性条件设特征根为，则系统稳定的充要条件是全部特征根都位于s左半平面。根据s-z平面的映射关系，设s平面上左半平面的映射到z平面上为。则是特征方程的根。稳定系统的特征根必然分布在z平面上以原点为圆心的单位园内。

根据s平面与z平面的映射关系，可以将线性离散系统分为：稳定系统：系统闭环极点均分布在z平面内以原点为圆心的单位圆内。临界稳定系统：系统有极点分布在z平面内以原点为圆心的单位圆上，而其他极点均位于单位圆内。不稳定系统：系统有极点分布在在z平面内以原点为圆心的单位圆外。线性离散系统的动态性能分析线性离散系统的动态特性取决于闭环脉冲传递函数极点在z平面上分布的情况。极点对应的单位脉冲响应序列单位圆内的极点对应的单位脉冲响应是衰减序列，而且极点越接近原点，输出衰减越快，系统的响应时间越快。当极点分布在单位圆内左半平面时，虽然单位脉冲响应是衰减的，但是由于交替变号，过渡特性不好。因此设计线性离散系统时，应该尽量选择极点在单位圆内的右半平面，而且尽量靠近原点。单位圆上和单位圆外的极点对应的单位脉冲响应是等幅或发散序列。例：设线性离散系统的z特征方程为 试判断系统的稳定性。解：由z特征方程可求得特征根 由于特征根全部位于z平面上以原点为圆心的单位圆内，所以系统稳定。例判断如下图所示系统的稳定性。解：则特征方程为1+G(z)=0即解得

＞1，故系统不稳定。

线性离散系统稳定性的代数判据

离散系统稳定的充分必要条件是特征方程的根全都位于z平面内以原点为圆心的单位圆内。代数判据法(Schour-Cohn，Jury)，或通过双线性变换把z平面问题变成s平面的问题，再用连续系统的稳定判据等。▲利用劳斯判据判系统稳定性对于较高阶次的离散系统，也可通过变换，利用劳斯判据判其稳定性。设双线性变换

式中，z=x＋jy

r=u+jv

其实部为可见，当＜1，即时，u＜0

当>1，即时，u＞0

当=1，即时，u=0例某离散系统的闭环特征方程为试判其稳定性。解：将代入特征方程，得

即特征式系数不同号，容易根据劳斯判据，判出该系统不稳定。

朱里(Jury)代数判据如果已知一个系统的特征多项式Jury把它的系数排列成如下的算表：---------------------------------------------------------------------------------------------------其中，Jury稳定性判据：如果，方程的根全部位于单位圆内的充分必要条件是：算表中所有奇数行的第一个元素都是正数。如果这些元素中有的为负数，则负元素的个数代表方程中含有在单位圆以外根的个数。例：已知特征方程为

求使二阶系统稳定的系数的范围。解：写出Jury算表为

如果要求特征方程的根全在单位圆内，则必须满足：

即系数和使此二阶系统稳定的区间如下图所示。

例：求如图所示系统的闭环传递函数，并判断系统稳定性。

解：先求出开环脉冲传递函数，然后求闭环脉冲传递函数，可根据特征方程的根判断系统稳定性。闭环特征方程为解之，得因为所以该系统稳定。线性离散系统的稳态误差分析

考虑单位反馈控制系统，其误差脉冲传递函数为误差为

如果z特征方程根全部位于以原点为圆心的单位圆内，则此闭环系统稳定系统的误差还与系统的输入型式有关。系统在各采样时刻的误差值，可以由展开式的各项系数来确定。利用z变换的终值定理可以分析系统在各种输入条件下的稳态误差。

离散控制系统的类型连续控制系统中，根据开环传递函数中包含的积分环节的个数来定义系统的型次。由于z平面内z=1的极点对应于s平面内s=0的极点，因此，对于离散系统，可根据开环脉冲传递函数中包含z=1的极点数目来定义离散系统的型次，如将开环脉冲传递函数中含有z=1的极点数用来表示，把系统分别称为0型、I型、II型、III型…系统。静态位置误差系数离散系统对单位阶跃输入的稳态误差为定义静态位置误差系数为静态位置误差系数可以根据开环脉冲传递函数直接求得。它反映了系统在单位阶跃输入时稳态误差的大小。用静态位置误差系数表示的单位阶跃输入下的稳态误差为单位阶跃输入时的稳态误差为静态速度误差系数离散系统对单位速度输入的稳态误差为定义静态速度误差系数为用静态速度误差系数表示的单位速度输入

下的稳态误差为单位速度输入时的稳态误差为静态加速度误差系数离散系统对单位加速度输入的稳态误差为定义静态速度误差系数为用静态速度误差系数表示的单位速度输入下

的稳态误差为单位加速度输入时的稳态误差为

对闭环系统稳态误差的要求决定了的结构形式。系统类别单位阶跃输入单位速度输入单位加速度输入0型系统I型系统0II型系统00例：如图所示(1)试求出闭环系统的脉冲传递函数；(2)试求出使系统稳定的K值范围，设采样周期T=0.1s；(3)若输入为单位阶跃函数，试求系统的稳态误差。(1)广义对象传递函数为

则系统的闭环脉冲传递函数

(2)由闭环脉冲传递函数知闭环系统特征方程为特征根为系统稳定须满足条件解之，得使系统稳定的K值范围为(3)若误差脉冲传递函数误差为利用终值定理可以求出系统的稳态误差10.5计算机控制系统的模拟化设计方法计算机控制系统的的设计是指设计数字控制器，使系统达到要求的性能指标。计算机控制系统的设计方法包括：模拟化设计方法、离散化设计方法（例如最少拍设计）等。所谓计算机控制系统的模拟化设计方法就是首先设计出符合技术要求的连续控制系统，再用离散时间控制器近似连续时间控制器。

模拟化的设计方法就是首先按照连续控制系统的设计方法如对数频率特性法、根轨迹法等设计出符合技术要求的连续校正环节，再用相应的数字校正环节去代替连续校正环节。逼近的程度取决于采样速率和离散化的方法。相应于连续控制系统中广泛应用的PID控制器，计算机控制系统中也有数字PID控制器。连续控制系统框图代替连续控制系统的采样控制系统框图将采样控制系统中的连续环节离散化得到的离散控制系统框图模拟化设计的理论基础：通常计算机的运算速度相对于控制对象是足够高的，经过运算不会降低精度，也不会产生大的滞后。对于A/D和D/A，可以根据精度和信息带宽的要求，选择具有相应位数和适当转换速度的转换器，经过转换的信息不会带来大的误差和滞后。但当信息经过保持器时，会产生幅值衰减和相位滞后。可以证明当系统的通频带比采样角频率低很多时，可以忽略零阶保持器的影响。典型的计算机控制系统，尽管是一个离散系统，但只要合理选择计算机控制系统的元部件，选择足够高的采样频率，离散的计算机控制系统可以近似看成连续系统。把计算机控制系统近似看成连续系统，计算机控制系统的设计就可以按照连续系统的设计方法，求出连续校正环节的传递函数后，对其离散化，由计算机实现数字控制规律。

当采样周期足够短时，计算机控制系统的设计可以按照连续系统的设计方法。首先根据性能指标利用连续控制系统的设计方法求出校正环节，然后利用一些近似的方法对离散化，得到近似等效的数字校正环节，据此可写出由计算机实现的控制算法。近似设计方法包括冲激不变法，带零阶保持器的离散化方法，前向差分法，后向差分法，双线性变换法等。数字校正环节的近似设计方法1、连续校正环节的离散化方法(1)冲激响应不变法

优点是和的脉冲响应是一样的，

而且如果是稳定的，则也是稳定

的。例：已知则取反z变换得到计算机可实现的 控制算法为(2)带零阶保持器法

当稳定时，也稳定。例：已知则

控制算法为(3)前向差分法相当于用代替s，不能保证总是稳定的，而且不能保证具有与相同的脉冲响应和频率响应。(4)后向差分法相当于用代替s，当是稳定的，总是稳定的，但不能保证具有与相同的脉冲响应和频率响应。(5)双线性变换法相当于用代替s，当是稳定的，总是稳定的，但不能保证具有相同的脉冲响应和频率响应。香农采样定理采样周期的选择与许多因素有关。零阶保持器相当于具有半个采样周期延时的环节，因此当用零阶保持电路后接连续时间系统来近似采样系统时，保持电路会引起相位滞后。如果相位裕量允许减少5°~15°，就可以给出下面的经验法则：其中,是连续系统的开环剪切频率。一般Nyquist频率取为剪切频率的5~20倍，典型数据为。对数频率法校正

对数频率法是基于连续系统的对数频率特性，首先做出系统的固有对数频率特性，再根据性能指标的要求，画出希望的对数频率特性，校正网络的对数频率特性曲线为有了便可得到相应的校正网络的传递函数，对离散化便可得到，由计算机予以实现。例：计算机控制系统如下图所示，采样周期，要求速度误差系数剪切频率，谐振峰值，试设计串联校正装置。解：

由控制理论得知，闭环系统的通频带所以可以忽略零阶保持器的影响，可以用连续系统的设计方法设计计算机控制系统。1）根据速度误