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文档简介

§2.2数量场的方向导数和梯度DirectionalDerivativeandGradientofScalarsField主要内容1.数量场的方向导数2.数量场的梯度教材:第2章第2节2/3/20231华北科技学院基础部一、

方向导数(DirectionalDerivative)

数量场中,数量在空间的分布状况可用等值面(线)了解,但只是整体(宏观)上的了解.在实际应用中不仅需要宏观上了解场在空间的数值,还需要知道场在不同方向上的变化情况.应用方向导数可以描述数量场在空间某个方向上变化的情况.2/3/20232华北科技学院基础部1.引例一块长方形的金属板,受热产生如图温度分布场.设一个小虫在板中逃生至某问该虫应沿什么方向爬行,才能最快到达凉快的地点?处,问题的实质:应沿由热变冷变化最快的方向爬行.2/3/20233华北科技学院基础部需要计算场中各点沿不同方向的温度变化率,从而确定出温度下降的最快方向两个概念:方向导数和梯度方向导数问题梯度问题2/3/20234华北科技学院基础部

设M0是数量场u=u(M)中的一个已知点,从M0出发沿某一方向引一条射线l,在l上M0的邻近取一点M,函数u(M)在点M0处沿l方向的方向导数,2.定义若当M趋于时(即趋于零时),

如图.的极限存在,则称此极限为记为2/3/20235华北科技学院基础部

②物理意义:①是数量函数u(M)在一个点处沿某一方向对距离的变化率2/3/20236华北科技学院基础部直角坐标系中,3.计算公式设l方向的方向余弦为若函数在点可微,则两边除以,可得2/3/20237华北科技学院基础部当趋于零时对上式取极限,可得实际应用:计算函数u(M)在给定点处沿某个方向的变化率(定点且定向).2/3/20238华北科技学院基础部方向导数是单侧极限,而偏导数是双侧极限.原因:函数可微是方向导数存在的充分条件,而不是必要条件。方向导数与偏导数有什么关系?2/3/20239华北科技学院基础部设,求函数在点沿方向的方向导数。解例12/3/202310华北科技学院基础部

例2求数量场在点M(1,1,2)处沿方向的方向导数.解:l方向的方向余弦为2/3/202311华北科技学院基础部而

数量场在l方向的方向导数为

在点M处沿l方向的方向导数

2/3/202312华北科技学院基础部解令故方向余弦为2/3/202313华北科技学院基础部故2/3/202314华北科技学院基础部

设M0是数量场u=u(M)中的一个已知点,从M0出发沿某曲线C正方向邻近取一点M,则称此极限为函数u(M)在点M0处沿曲线C正向的方向导数,4.沿曲线的方向导数若当M趋于时(即趋于零时),

的极限存在,记为2/3/202315华北科技学院基础部结论若函数在点可微,其中为曲线C在处正向切线.曲线C光滑,则2/3/202316华北科技学院基础部证明:由于曲线C是光滑的,因此可用弧长s作为参数在描述其参数方程:

x=x(s),y=y(s),z=z(s).沿曲线C,函数表示为u=u[x(s),y(s),z(s)].点M0处,函数u可微,则u对s的全导数为:是曲线C的正向单位切向量,2/3/202317华北科技学院基础部即有:函数u在点M处沿曲线C(正向)的方向导数与函数u在点M处沿C的切线方向(指向C的正向一侧)的方向导数相等。2/3/202318华北科技学院基础部例4

求函数在点M(2,3)处沿曲线朝x增大一方的方向导数。解:只需求出函数u沿曲线在点M(2,3)处沿x增大方向的切线方向导数即可。将曲线方程改为矢量形式:其导矢:就是曲线沿x增大方向的切向矢量,代入点M(2,3)得2/3/202319华北科技学院基础部其方向余弦为:函数u在点M处的偏导数为:所求方向导数为:2/3/202320华北科技学院基础部一个问题:该问题仅在不同时为零才有意义。在给定点沿什么方向增加得最快?可微函数二、梯度(gradient)2/3/202321华北科技学院基础部二、梯度(Gradient)

数量场u(x,y,z)在l方向上的方向导数为方向导数只是一个特定方向上的导数,而从场的给定点出发有无穷个方向,也就有无穷多个方向导数。能否确定某一个与方向无关的量,它具有一定特殊意义,又可以方便地求出方向导数?从方向导数的表达式可以看到,方向s的方向余弦表示了所取的方向,而三个偏导数则由数量场唯一确定。2/3/202322华北科技学院基础部方向导数公式令向量这说明方向:f变化率最大的方向模:

f的最大变化率之值方向导数取最大值:2/3/202323华北科技学院基础部在直角坐标系中,令则2/3/202324华北科技学院基础部由上式显然可见,当与的方向一致时,也就是说沿矢量

方向的方向导数最大,即时,数量场在点M处的方向导数最大.此最大值为2/3/202325华北科技学院基础部在直角坐标系中,梯度的表达式为

定义:在数量场u(M)中的一点M处,其方向为函数u(M)在M点处变化率最大的方向,其模又恰好等于最大变化率的矢量,称为数量场u(M)在M点处的梯度.用gradu(M)表示.2/3/202326华北科技学院基础部方向上的方向导数.

gradu是由数量场

u派生出来的一个矢量场,

称为梯度是一个矢量.

gradu的方向就是使方向导梯度场.

数达到最大值的方向,就是在这个方数量场的梯度函数建立了数量场与矢量场的联系,这一联系使得某一类矢量场可以通过数量函数来研究,或者说数量场可以通过矢量场来研究.2/3/202327华北科技学院基础部因为数量场的等值面的法线方向为

所以gradu恒与

u的等值面垂直.由于所以沿梯度方向u(M)是增大的,即梯度指向函数u(M)增大的一方.梯度gradu方向与等值面法线重合,指向函数u(M)增大的一方,大小是方向的方向导数2/3/202328华北科技学院基础部

梯度、方向导数与等值面

数量场在某个方向上的方向导数,是梯度在该方向上的投影.2/3/202329华北科技学院基础部

三维高度场的梯度与过该点的等高线垂直;

数值等于该点位移的最大变化率;

指向地势升高的方向2/3/202330华北科技学院基础部

与过该点的等位线垂直;

数值等于该点的最大方向导数;电位场的梯度

指向电位增加的方向.2/3/202331华北科技学院基础部梯度可写作

引进向量算子

注通常称为哈密顿(Hamilton)算符(或算子),读作“Nabla”.既具有矢量性质,又具有微分性质

它可以作用在矢量上,可以作点乘、叉乘.

注意:2/3/202332华北科技学院基础部

设c为一常数,u(M)和v(M)为数量场,很容易证明下面梯度运算法则的成立:特别地,2/3/202333华北科技学院基础部2/3/202334华北科技学院基础部2/3/202335华北科技学院基础部证:

因为

例6设标量函数r是动点M(x,y,z)的矢径的模,即,证明:2/3/202336华北科技学院基础部所以2/3/202337华北科技学院基础部例7求常数a,b,c之值,使函数在点M(1,2,-1)处沿平行于z轴方向上的方向导数取得最大值32.

解:由题意知梯度方向平行于z轴,且其模等于32,则有解得:a=3,b=12,c=-4;或a=-3,b=-12,c=4.2/3/202338华北科技学院基础部解:

例8

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