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文档简介

第五节极限存在性定理与两个重要极限证略.一、极限存在定理定理(夹逼定理)1例1解由夹逼定理得2上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限.定理(夹逼定理)证略.3定理单调有界数列必有极限.称单调增加称单调减少单调数列具体：单调增加有上界，或单调减少有下界.4二、两个重要极限xy15基本不等式：等号当且仅当x=0时成立.6实际上，对一切实数x成立.基本不等式：等号当且仅当x=0时成立.等号当且仅当x=0时成立.7即得8所以先证9例2上述重要极限说明：例310例4解11定理(等价无穷小替换定理)证只有在乘、除的极限运算中才能替换；注意在加、减的极限运算中不能替换！12例5解例6解13例7解解错14例8解15下面利用单调有界定理证明另一个重要的极限：

1617增大，且项数增加一项(每一项均为正),

1819以e为底的对数称为自然对数，

可以证明，相应的函数极限有

或20例9解21例11解例12解例10解22例13连续复利问题

如一年计息n次，利息按复式计算，则一年后本息之和为

23随着n无限增大，一年后本息之和会不断增大，但不会无限增大，其极限值为

称之为连续复利.例如,年利率为3%,则连续复利为

类似于连续复利问题的数学模型，在人口增长、林木增长、细菌繁殖、放射性元素的衰变等许多实际问题中都有应用.24三、小结1.两个准则2.两个重要极限夹逼准则;单调有界准则.25思考题求极限26思考题解答27练习题一、填空题:28二、求下列各极限:2930练习题答案31等价无穷小代换求极限练习题327)0(3>-+aaxa对于x是_______阶无穷小

.8无穷小xcos1-与nmx等价，则

.______________,nm=二、求下列各极限：1、xxxx30sinsintanlim-；2、bababa--eelim；3、xxxxbasinsinlim0-；334、ax

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