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文档简介

第四节高阶导数一、高阶导数的概念二、高阶导数的运算法则

设y=f(x),若y=f(x)在区间I内可导,则f‘(x)是x的函数.若这个函数f’(x)在区间I内一点x0处仍可导的,则其导数称为f(x)在点x0处的二阶导数.在一点处的二阶导数一、高阶导数的概念一般,设y=f(x)的导数y‘=f’(x)在区间I内每一点处都可导，则称记f‘(x)的导数为函数y=f(x)的二阶导函数（简称二阶导数）二阶导数.称为f(x)的二阶导数：高阶导数定义：称为f(x)的三阶导数.称为f(x)的n阶导数.二阶以上的导数都称为高阶导数.为统一符号,有时记f(0)=f,y(1)=y',y(2)=y''.高阶导数的记法：注：求高阶导数就是多次接连地求一阶导数，所以只需应用基本的求导方法就能计算出高阶导数。例1.

设物体作变速运动.在[0,t]这段时间内所走路程为S=S(t),指出S''(t)的物理意义.解:

我们知道,S'=V(t).而S''=V'(t)注意到,V=V(t+t)V(t)表示在[t,t+t]这段时间内速度V(t)的增量(改变量).从而故即,S''=V'(t)=a(t)为物体在时刻t的加速度.二、高阶导数的运算法则例2.

设求解:特别有:例3.

求y=sinx的n阶导数y(n).解:

我们知道y'=cosx,y''=–sinx,y(3)=–cosx,y(4)=sinx,…但y(n)的通项公式难写,并且不好记.从而=cosx例4.

设y=sin2x,求y(n).解:

y'=(sin2x)'y''=(sin2x)'=sin2x.=2sinxcox……例3的变形例5.

求

的n阶导数.解:……一般地，由数学归纳法可得例6.

求y=ln(1+x)的n阶导数.解:……例6.求幂函数（n为正整数）的各阶导数。解由幂函数的求导公式得由此可见，对于正整数幂函数xn，每求导一次，其幂次降低1，第n阶导数为一常数，大于n阶的导数都等于0。例7.求幂函数（为任意常数）的各阶导数。解:……一般地，由数学归纳法可得例8.

解:

y'=nxn–1,y''=n(n–1)xn–2,y(3)=n(n–1)(n–2)xn–3,…,y(n)=n(n–1)…3·2·1xn–n=n!而y(n+1)=(n!)'=0易见,若f(x),g(x)均存在n阶导数,则类似,设f(x)=a0xn

+a1xn–1+a2xn–2+…+an–1xn

+an,为n次多项式,则f(n)(x)=a0n!,而f(n+1)(x)=01、二阶导数的定义定义1：若函数f

(x)的导函数

在点可导，则称在点的导数为f

(x)在点的二阶导数，记作

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