最优化方法的一般概念

第1章最优化方法的一般概念最优化问题就是依据各种不同的研究对象以及人们预期要达到的目的，寻找一个最优控制规律或设计出一个最优控制方案或最优控制系统。

针对最优化问题，如何选取满足要求的方案和具体措施，使所得结果最佳的方法称为最优化方法。11.1目标函数、约束条件和求解方法

根据所提出的最优化问题，建立最优化问题的数学模型，确定变量，给出约束条件和目标函数（或性能指标）；最优化方法解决实际工程问题的步骤：对所建立的模型进行具体分析和研究，选择合适的最优化求解方法；根据最优化方法的算法，列出程序框图并编写程序，用计算机求出最优解，并对算法的收敛性、通用性、简便性、计算效率及误差等做出评价。2目标函数、约束条件和求解方法是最优化问题的三个基本要素。

1．目标函数：就是用数学方法描述处理问题所能够达到结果的函数。该函数的自变量是表示可供选择的方案及具体措施的一些参数或函数，最佳结果就表现为目标函数取极值。2．约束条件：在处理实际问题时，通常会受到经济效率、物理条件、政策界限等许多方面的限制，这些限制的数学描述称为最优化问题的约束条件。3．求解方法：是获得最佳结果的必要手段。该方法使目标函数取得极值，所得结果称为最优解。3例1-1（P1）有一块薄的塑料板，宽为a，对称地把两边折起，做成槽（如图1-1）。欲使槽的横截面积S最大，的最优值是多少？

图1-1横截面积与参数关系图4解：①目标函数：

②约束条件：

（非线性）

（线性）

说明：这是一个非线性带等式约束的静态最优化问题。这类问题有时可以方便地将等式约束条件带入到目标函数中，从而将有约束条件的最优化问题转换为无约束条件的最优化问题，以便求解。例如：将例1-1转换为无约束条件的最优化问题，目标函数变为：

5例1-2（P2）（※）仓库里存有20m长的钢管，现场施工需要100根6m长和80根8m长的钢管，问最少需要领取多少根20m长的钢管？解：用一根20m长的钢管，截出8m管和6m管的方法只有三种：设x1为一根20m管截成两根8m管的根数；x2为一根20m管截成一根8m管和两根6m管的根数；x3为一根20m管截成三根6m管的根数。目标是领取数目最少的20m管进行分割，得到100根6m长和80根8m长的钢管，故：6①目标函数：

②约束条件：

说明：这是一个带有不等式约束的静态最优化问题。它的目标函数和约束条件都是线性的，可用线性规划的方法求解此类问题。

（线性）

（线性）

7例1-3求t-x

平面上一固定点A(0,1)至直线的最短弧长曲线。

解：①目标函数：

②约束（边界）条件：

说明：本例中的目标函数的自变量x(t)是t的函数，把这种函数的函数称为泛函。本例实际上是一个求泛函极值问题，属于动态最优化问题。A(0,1)

81.2静态最优化问题与动态最优化问题1．静态最优化问题：就是选择系统的最优参数使目标函数取极值。静态最优化问题的解不随时间而变化。系统的数学模型是代数方程。2．动态最优化问题：动态最优化问题的目标函数的自变量是函数（一般是时间的函数）。动态最优化问题的解随时间而变化。系统的数学模型是微分方程或差分方程。动态最优化问题习惯上又称为最优控制问题，即选择系统最优的运动轨线，使泛函形式的目标函数取极值。93．静态最优化问题和动态最优化问题的求解方法:1）解决静态最优化问题（求函数极值）可以用线性规划和非线性规划方法。2）解决动态最优化问题（求泛函极值）可采用变分法、最大（小）值原理和动态规划等方法。101.3线性规划和非线性规划

1.线性规划问题：该类问题的目标函数和约束条件都是变量的线性函数。2.非线性规划问题：该类问题的目标函数和约束条件中含有变量的非线性函数。

线性规划和非线性规划是静态最优化问题的两个分支:111.4最优化方法在控制领域中的应用例1-4（P4）参数估计

参数估计应理解为系统结构已知的条件下，用试验方法所取得的数据来确定系统动力学模型中的参数。即参数估计就是已知系统结构的条件下，经过对系统输入输出的观测，估计出系统参数的最优值，使数据拟合的残差平方和最小。这是最优化方法在控制领域中的很常见的一种应用。12单输入—单输出系统的参数估计问题可这样描述：式中：

—系统输入、系统输出和拟合残差；

—待估计的系统参数向量；—观测数据向量。

目标函数为：约束条件

13例1-4（P5）最小方差控制在随机控制理论中，使有随机噪声作用的被控系统的输出方差最小的控制策略称为最小方差控制，最小方差控制方式可应用于许多工业过程控制中。14假定被控对象的输出、控制输入和随机干扰之间的关系由可控自回归滑动平均(CARMA)时间序列模型来描述：式中：y(k)—k时刻的输出；u(k)—k时刻的控制输入；d—响应滞后拍数，d≥1；{e(k)}—零均值高斯白噪声序列;

—系统中的随机过程干扰目标函数为：约束条