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文档简介

曲线的凸凹性与拐点第二节

第四章

一、曲线凸凹性的概念二、曲线凸凹性的判定三、拐点的判定设函数在区间I上连续,(1)若恒有则称图形是凹的;(2)若恒有图形是凸的.一、曲线凸凹性的概念定义4.2

曲线的凸凹性则称曲线弯曲的方向不同二、曲线凸凹性的判定

函数的凹凸性与f(x)的符号有关设函数定理4.12(凹凸判定法)证xOx1x2x0由拉氏中值定理可得两式相减，可得xOx1x2x0例1

判断曲线的凹凸性.解故曲线在上是凹的.例2

判断曲线的凹凸性.解故曲线在上是凹的,在上是凸的.点(0,0)是凸弧与凹弧的分界点.

凹弧的分界点称为拐点

.定义4.3连续曲线弧上凸弧与三、拐点的判定定理4.13(拐点判定法)或不存在,(1)若在两侧异号,则点是曲线的一个拐点.(2)若在两侧同号,的拐点.若曲线则点不是曲的拐点.解不存在因此点(2,0)

为曲线的拐点.凸凹例3

求曲线的拐点.解例4

求曲线不存在凸凹凹(拐点)因此的拐点.例5证内容小结曲线凹凸与拐点的判别拐点——连续曲线上有切线的凹凸分界点在I

上是凹的在I

上是凸的思考题解备用题

例1-1解令得对应0凸凹凸拐点拐点例3-1求曲线的拐点.

解因此点(0,0)为曲线的拐点.不存在凹凸的凹凸区间及拐点.解(1)求(2)求拐点可疑点坐标令得对应(3)列表判别例4-1

求曲线故该曲线在及上是凹的,是凸的,点(0,1)及均为拐点.0凹凸凹(拐点)(拐点)有位于一直线的三个拐点.求证曲线

证例4-2令得从而三个拐点为因为所以三个拐点

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