数学必修第三章倾斜角与斜率

理解教材新知突破常考题型应用落实体验题型一题型二第三章题型三3.13.1.1第1部分跨越高分障碍随堂即时演练课时达标检测知识点一知识点二3．1.1倾斜角与斜率直线的倾斜角

[提出问题]在平面直角坐标系中，直线l经过点P.问题1：直线l的位置能够确定吗？提示：不能．问题2：过点P可以作与l相交的直线多少条？提示：无数条．问题3：上述问题中的所有直线有什么区别？提示：倾斜程度不同．[导入新知]1.倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴_________与直线l______方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．如图所示，直线l的倾斜角是∠APx，直线l′的倾斜角是∠BPx.2．倾斜角的范围：直线的倾斜角α的取值范围是________________，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.正方向向上0°≤α＜180°3．倾斜角与直线形状的关系[化解疑难]对直线的倾斜角的理解(1)倾斜角定义中含有三个条件：①x轴正向；②直线向上的方向；③小于180°的非负角．(2)从运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由x轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角．(3)倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对x轴的倾斜程度．(4)平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等.直线的斜率

问题1：对于直线可利用倾斜角描述倾斜程度，可否借助于坡度来描述直线的倾斜程度？提示：可以．问题2：由上图中坡度为升高量与水平前进量的比值，那么对于平面直角坐标系中直线的倾斜程度能否如此度量？提示：可以．问题3：通过坐标比，你会发现它与倾斜角有何关系？提示：与倾斜角的正切值相等．[导入新知]1．斜率的定义：一条直线的倾斜角α的______值叫做这条直线的斜率．常用小写字母k表示，即k＝________.正切tanα3．斜率作用：用实数反映了平面直角坐标系内的直线的__________．倾斜程度[化解疑难]1．倾斜角α与斜率k的关系(1)直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x轴(平行于y轴或与y轴重合)．(2)直线的斜率也反映了直线相对于x轴的正方向的倾斜程度．当0°≤α＜90°时，斜率越大，直线的倾斜程度越大；当90°＜α＜180°时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大．(2)用斜率公式时要一看，二用，三求值．一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步；二用，就是将点的坐标代入斜率公式；三求值，就是计算斜率的值，尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式时要对参数进行讨论．直线的倾斜角[例1]

(1)若直线l的向上方向与y轴的正方向成30°角，则直线l的倾斜角为(

)A．30°

B．60°C．30°或150° D．60°或120°(2)下列说法中，正确的是(

)A．直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanαB．直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为αC．若直线的倾斜角为α，则sinα＞0D．任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tanα[解析]

(1)如图，直线l有两种情况，故l的倾斜角为60°或120°.(2)对于A，当α＝90°时，直线的斜率不存在，故不正确；对于B，虽然直线的斜率为tanα，但只有0°≤α＜180°时，α才是此直线的倾斜角，故不正确；对于C，当直线平行于x轴时，α＝0°，sinα＝0，故C不正确，故选D.[答案]

(1)D

(2)D[类题通法]求直线的倾斜角的方法及两点注意(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．(2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°.②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.[活学活用]1．直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角范围是(

)A．[0°，90°)

B．[90°，180°)C．(90°，180°) D．(0°，180°)解析：直线倾斜角的取值范围是[0°，180°)，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角范围是(90°，180°)．答案：C答案：D直线的斜率[例2]

(1)已知过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为135°，则y＝________；(2)过点P(－2，m)，Q(m,4)的直线的斜率为1，则m的值为________；(3)已知过A(3,1)，B(m，－2)的直线的斜率为1，则m的值为________．[答案]

(1)－5

(2)1

(3)0直线的斜率的应用

[例3]已知实数x，y满足y＝－2x＋8，且2≤x≤3，求的最大值和最小值．[易错防范]1．本题易错误地认为－1≤k≤1，结合图形考虑，l的倾斜角应介于直线PB与直线PA的倾斜角之间，要特别注意，当l的倾斜角小于90°时，有k≥kPB；当l的倾斜角大于90°时，则有k≤kPA.2.如图，过点P的直线l与直线段AB相交时，因为过点P且与x轴垂直的直线PC的斜率不存在，而PC所在的直线与线段AB不相交，所以满足题意的斜率夹在中间，即kPA≤k≤kPB.解决这类问题时，可利用数形结合思想直观地判断直线是夹在中间还是在两边．[随堂即时演练]1．关于直线的倾斜角和斜率，下列说法正确的是(

)A．任一直线都有倾斜角，都存在斜率B．倾斜角为135°的直线的斜率为1C．若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率为k＝tanαD．直线斜率的取值范围是(－∞，＋∞)解析：任一直线都有倾斜角，但当倾斜角为90°时，斜率不存在．所以A、C错误；倾斜角为135°的直线的斜率为－1，所以B错误；只有D正确．答案：D3．直线l经过原点和(－1,1)，则它的倾斜角为________．答案：135°4．已知三点A(a,