新青岛版圆的对称性第一课时

3.1圆的对称性(1)

-----垂径定理学习目标：理解圆的轴对称性及其相关性质；理解垂径定理；会运用垂径定理解决有关问题。

重点、难点：

垂径定理及其应用。？预习案的交流与展示：知识准备：什么是轴对称图形？我们曾经学过哪些轴对称图形？

如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。如线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形等。1、圆是轴对称图形吗？

如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴？你是用什么方法解决上述问题的?自主学习：圆是轴对称图形.

圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.可利用折叠的方法即可解决上述问题.●O

圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.连接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB).●O经过圆心的弦叫做直径(如直径AC).AB⌒以A,B两点为端点的弧.记作,读作“弧AB”.AB⌒小于半圆的弧叫做劣弧,如记作(用两个字母).⌒ADB大于半圆的弧叫做优弧,如记作(用三个字母).ABCD

相关概念如图3-2，CD是⊙O的弦，AB是与CD垂直的直径，垂足为点E.将⊙O沿直径AB折叠，你发现线段CE与DE有什么关系？

与

有什么关系？

与

有什么关系？为什么？●OABCDE└能不能试着利用构造等腰三角形得出上面的等量关系？●OABCDE└连接OC，OD因为OC=OD，OE⊥CD，OE=OE，从而Rt△OCE≌Rt△ODE，所以CE=DE.故点C与点D关于直线AB对称.因为直线AB是⊙O的对称轴，所以当⊙O沿直线AB折叠时，点C与点D重合，AC与AD重合，BC与BD重合，所以==.对垂径定理定理

垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧.●OABCDM└CD⊥AB,∵CD是直径,∴AM=BM,⌒⌒

AC=BC,⌒⌒

AD=BD.条件①一条直径②垂直于弦③直径平分弦④平分弦所对的劣弧结论⑤平分弦所对的优弧在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线段或相等的圆弧？同步训练：探究二：垂径定理的应用例１：如图，以△OAB的顶点O为圆心的⊙O交AB于点C、D，且AC=BD。求证：OA＝OB。证明作OE⊥AB，垂足为点E.由垂径定理，得CE=DE.∵AC=BD，∴AC+CE=BD+DE，即AE=BE.∴OE为线段AB的垂直平分线.∴OA=OB.例2:1400多年前，我国隋朝时期建造的赵州石拱桥的桥拱近似于圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.02m，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫弓形的高）为7.23m.求桥拱所在圆的半径（精确到0.1m）.解设桥拱所在圆的半径为R（m）.如图，用AB表示桥拱，AB的圆心为O.经过点O作弦AB的垂线，垂足为点D，与AB交于点C.∵OC⊥AB，∴D是线段AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高.∵AB=37.02，CD=7.23，∴AD=AB=×37.02=18.51，OD=OC-CD=R-7.23.在Rt△ODA中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2，即R2=18.512+（R-7.23）2这个方程，得R≈27.3.所以，赵州石拱桥桥拱所在圆的半径约为27.3m如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径。E.ABO解：连结OA。过O作OE⊥AB，垂足为E则AE＝BE＝AB＝×8＝4厘米在R