数学实验第二讲绘图

Mathematica

绘图主讲人：王琳娟Mathematica绘图命令的形式Mathematica绘图命令有如下一些常用形式：绘一元函数y=f(x)的图形命令:（举例）

Plot[f[x],要绘图形的自变量x的范围,选择项参数]绘二元函数z=f(x,y)的图形命令:（举例）

Plot3D[f[x,y],要绘图形的自变量x,y的范围,选择项参数]绘平面参数曲线{x=x(t),y=y(t)}的图形命令:（举例）

ParametricPlot[{x[t],y[t]},要绘图形的参数t的范围,

选择项参数]绘空间参数曲线{x=x(t),y=y(t),z=z(t)}的图形命令:ParametricPlot3D[{x[t],y[t],z[t]},要绘图形的参数t的范围,选择项参数]

绘参数曲面{x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v)}的图形命令:ParametricPlot3D[{x[u,v],y[u,v],z[u,v]},要绘图形的参数u,v的范围,选择项参数]Mathematica绘图命令的形式(续)绘平面点集图{x1,y1},{x2,y2},,{xn,yn}散点图命令:ListPlot[{{x1,y1},{x2,y2},,{xn,yn}},选择项参数]绘平面等高线图

ContourPlot[f[x,y],要绘图形的自变量x,y的范围,选择项参数]图形重画

Show[图形文件,选择项参数]Mathematica绘图命令的形式(续)绘图命令中的选择项参数的形式选项(option)参数名称->参数值(value)一些常用的绘图选项列举如下:(1)选项参数名称:AspectRatio

含义:

图形的高度与宽度比

参数取值:

作为平面图形输参数值时,该选项参数的默认值为1/GoldenRatio,这里GoldenRatio是数学常数0.618;作为空间图形参数值时,该选项参数的默认值为Automatic。AspectRatio

取Automatic值时,表示图形按实际比例显示。例:

AspectRatio->Automaic,表示显示的图形高度与宽度比由Mathematica

的内部算法根据函数图形的大小确定;AspectRatio->1,表示显示的图形高度与宽度比是1:1。 绘图命令中的选择项参数的形式

(2)选项参数名称:Axes

含义:图形是否有坐标轴参数取值:该参数的取值为True和None。该选项参数的默认值为True例:Axes->True,表示显示的图形有坐标轴；Axes->None,表示显示的图形没有坐标轴。

绘图命令中的选择项参数的形式

(3)选项参数名称:Frame 含义:平面图形是否加框参数取值:该参数的取值为True和False。该选项参数只用于平面图形,其默认值为False例:Frame->True,表示显示的图形有框；Frame->False,表示显示的图形没有框。绘图命令中的选择项参数的形式

(4)选项参数名称:FrameLabel 含义:平面图形框的周围是否加标记参数取值:该参数的取值为None和{xb,yl,xt,yr}。该选项参数只用于平面图形且在Frame->True时才有效,其默认值为None。例:FrameLabel->{a,b,c,d},

表示显示的图形框的四个边的标记由底边起按顺时针方向依次为a,b,c,d;FrameLabel->None,表示显示的图形框周围没有标记。绘图命令中的选择项参数的形式

(5)选项参数名称:PlotLabel 含义:是否设置图形名称标记参数取值:该参数取值为"字符串"和None,默认值为None。例:PlotLabel->None,表示没有图形名称标记,PlotLabel->"Bessel",使显示的图形上标出符号Bessel作为该函数图形名称。绘图命令中的选择项参数的形式

(6)选项参数名称:AxesLabel 含义:是否设置图形坐标轴标记参数取值:该参数的默认值为None；作为平面图形输出参数时,该选项参数取值为{“字符串1”,“字符串2”},表示将“字符串1”设置为横坐标轴标记,“字符串2”设置为纵坐标轴标记;作为空间图形输出参数时,该选项参数取值为{“字符串1”,“字符串2”,“字符串3”},表示将“字符串1”设置为横坐标标记,“字符串2”设置为纵坐标标记,“字符串3”设置为竖坐标标记。例:AxesLabel->None,表示显示的图形坐标轴没有标记；AxesLabel->{"time","speed"},表示平面图形的横坐标轴标记显示为time纵坐标轴标记显示为speed;AxesLabel->{“时间”,“速度”,“高度”},表示空间图形的横坐标轴标记设置为时间,纵坐标轴标记设置为速度,竖坐标轴标记设置为高度。绘图命令中的选择项参数的形式

(7)选项参数名称:PlotRange 含义:设置图形的范围例:PlotRange->Automatic

表示用Mathematica内部算法显示的图形。PlotRange->{1，8},

表示只显示函数值在1和8之间的平面曲线图形或空间曲面图形PlotRange->{{2，5}，{1，8}},

表示只显示自变量在2和5之间且函数值在1和8之间的平面曲线图形；PlotRange->{{2,5},{1,8},{-2,5}}

显示第一个自变量在[2,5]、第二个自变量在[1,8]且函数值在[-2,5]之间的曲面图形。绘图命令中的选择项参数的形式

(8)选项参数名称:PlotStyle 含义:设置所绘曲线或点图的颜色、曲线粗细或点的大小及曲线的虚实等显示样式参数取值:与曲线样式函数的取值对应。曲线样式函数(一)RGBColor[r,g,b]颜色描述函数，自变量r,g,b的取值范围为闭区间[0，1]，其中r,g,b分别对应红(red)、绿(green)、蓝(blue)三种颜色的强度，它们取值的不同组合产生不同的色彩。Thickness[t]曲线粗细描述函数，自变量t的取值范围为闭区间[0，1]，t的取值描述曲线粗细所占整个图形百分比，通常取值小于0.1。二维图形的粗细默认值为Thickness[0.004]，三维图形的粗细默认值为Thickness[0.001]。曲线样式函数(二)PointSize[r]点的大小描述函数，自变量r表示点的半径，它的取值范围为闭区间[0，1],该函数的取值描述点的大小所占整个图形百分比，通常r取值小于0.01。二维点图形的默认值为PointSize[0.008]，三维点图形的粗细默认值为PointSize[0.01]。Dashing[{d1,d2,…dn}]虚线图形描述函数,虚线图周期地使用序列值{d1,d2,…,dn},在对应的曲线上采取依次交替画长d1实线段,擦除长d2实线段,再画长d3实线段,擦除长d4实线段,…,的方式画出虚线图。曲线样式函数(三)常用常数曲线样式：Red,Green,Blue,Yellow,Black,Pink,WhiteThickDashed例1：Plot[{Sin[x],Cos[x+Pi/6]},{x,-4,6}]例2：z[x_,y_]:=1/Sqrt[x^2+y^2];Plot3D[z[x,y],{x,-2,2},{y,-2,2}](1)f(x)=（x2－x）sinx，x∈[0,16](2)f(x）=，x∈[－5,5](3)f1(x)=sinx

f2(x)=sin2x，x∈[0,2π](4）

例3:利用图形显示命令分析下列函数的性质：结果图形(1)Plot[(x^2-x)Sin[x],{x,0,16}](2)Plot[Sin[x^2]/x^2,{x,-5,5}](3)Plot[{Sin[x],Sin[2x]},{x,0,2Pi}](4)ParametricPlot[{Sin[t],Sin[2t]},{t,0,2Pi}]画一元函数图形(曲线)一元函数f(x)的图形是一条平面曲线，所以一元函数又称为曲线。一元函数绘图是最常用和最简单的绘图形式。画一条曲线的命令命令形式1：Plot[f[x],{x,xmin,xmax}]

功能：画出函数f(x)的图形，图形范围是自变量x满足xmin≦x≦

xmax的部分，其选择项参数值取默认值。命令形式2：Plot[f[x],{x,xmin,xmax},option1->value1，option2->value2，…]

功能：画出函数f(x)的图形，图形范围是自变量x满足xmin≦x≦

xmax的部分，其选择项参数值取命令中的值。在同一个坐标系画多条曲线的命令命令形式1：Plot[{f1[x],f2[x],…,fn[x]},{x,xmin,xmax}]功能：在同一个坐标系画出函数f1[x],f2[x],…,fn[x]的图形，图形范围是自变量x满足xmin

≦x≦

xmax的部分，其选择项参数值取默认值。命令形式2：Plot[{f1[x],f2[x],…,fn[x]},{x,xmin,xmax},option1->value1，…]

功能：在同一个坐标系画出函数f1[x],f2[x],…,fn[x]的图形，图形范围是自变量x满足xmin

≦x≦

xmax的部分，其选择项参数值取命令中的值解:Mathematica

命令:In[1]:=Plot[Sin[x^2],{x,-5,5}]例1:画出函数y=sinx2

在-5≦x≦5的图形。解:Mathematica

命令:In[2]:=Plot[Sin[x]+x,{x,-3,25},

PlotRange->{{5,12}，{5,10}}，

PlotStyle->RGBColor[1,0,0]]例2:画出函数y=sinx+x-3≦x≦25的图形,要求只显示其在平面区域[5,12]×[5,10]部分的图形，且为红色。解:Mathematica

命令:In[3]:=Plot[{Cos[2x],x^2,x},{x,-2,2},AxesLabel->{"x","y"}]例3:

在同一坐标系中画出三个函数y=cos2x,y=x2,y=x的图形,并给坐标横轴和纵轴分别标记为x和y,自变量范围为:-2x2。解:Mathematica

命令:In[4]:=Plot[{Cos[2x],x},{x,-2,2},

PlotStyle->{{RGBColor[1,0,0],Thickness[0.01]},{Dashing[{0.05,0.02}]}}]例4:在同一坐标系中画出两个函数y=cos2x,y=x的图形,自变量范围为:-2x2,且函数y=cos2x为红色实线,线粗0.01,函数y=x为虚线解:Mathematica

命令:

Plot[LegendreP[5,x],{x,-1,1},Frame->True,PlotLabel->"LegendreP[5,x]"]例5:画出5次勒让德多项式LegendreP[5,x]的图形,自变量范围为:-1x1,且函数图形四周加框,并在图形上标出函数名称。画二元函数图形命令形式1:Plot3D[f[x,y],{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax}]功能：画出函数f(x,y)的自变量(x,y)满足xmin

≦x≦

xmax,ymin

≦y≦

ymax的部分的曲面图形，其选择项参数值取默认值。命令形式2:Plot3D[f[x,y],{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax},option1->value1，…]功能：画出函数f(x,y)的自变量(x,y)满足xmin

≦x≦

xmax,ymin

≦y≦

ymax的部分的曲面图形。常用的几个空间曲面绘图选项参数名称、含义简单列表如下:选项默认值意义BoxedTrue是否在曲面周围加立体框BoxRatios{1，1，0.4}三维立体边长的比率MeshTrue在曲面上画出xy网格，

False可以取消网格PlotPionts15函数在每个方向的取样点数RegionFunction指定绘制区域如Function[{x,y,z},2<x^2+y^2<9]例6_1：绘制z=x^2+y^2Plot3D[x^2+y^2,{x,-3,3},{y,-3,3},

RegionFunction->Function[{x,y,z},1<=x^2+y^2<=3]]

解:Mathematica

命令:Plot3D[Sin[x+Sin[y]],{x,-3,3},{y,-3,3}]例6:画出函数z=sin(x+siny)在-3≦x≦3,-3≦y≦3上的图形例7:画出例6的曲面图形,要求显示视点在图形前上方位置观察的曲面效果。解:Mathematica

命令:

In[7]:=Plot3D[Sin[x+Sin[y]],{x,-3,3},{y,-3,3},ViewPoint->{0,-2,2}];画平面参数曲线图形命令形式1:ParametricPlot[{x[t],y[t]},{t,tmin,tmax},option1->value1，…]功能：画出平面参数曲线方程为x=x(t),y=y(t)满足tmin≦t

≦

tmax的部分的一条平面参数曲线图形。命令形式2：ParametricPlot[{{{x1[t],y1[t]},{x2[t],y2[t]},…},{t,tmin,tmax},option1->value1，…}]

功能：在同一个坐标系中画出一组平面参数曲线,对应的参数曲线方程为x1=x1(t),y1=y1(t);x2=x2(t),y2=y2(t);…,t满足tmin

≦t≦

tmax。例8:画出半径为4的圆的图形。解:由于圆为封闭曲线,故应该用参数绘图命令来画。半径为4的圆的参数方程为:x=2cost,y=2sint,0≦t≦2Mathematica

命令:In[8]:=ParametricPlot[{2Cos[t],2Sin[t]},{t,0,2Pi}];该命令画出的不是圆而是椭圆的原因是由于ParametricPlot[]的命令中的图形高宽比参数AspectRatio的默认值为1:0.618造成的,要显示出真正的圆应该把AspectRatio设置为Automatic即AspectRatio->Automatic此时对应的命令为:In[9]:=ParametricPlot[{2Cos[t],2Sin[t]},{t,0,2Pi},AspectRatio->Automatic];例9:在同一坐标系中画出如下两条参数曲线,参数曲线方程为

x1=cost,y1=sint;x2=sint,y2=sin2t;t满足0t2解:Mathematica

命令:In[10]:=ParametricPlot[{{Cos[t],Sin[t]},{Sin[t],Sin[2t]}},{t,0,2Pi}];空间参数曲线命令形式:ParametricPlot3D[{x[t],y[t],z[t]},{t,tmin,tmax},option1->value1，…]例10:画出如下空间曲线,参数曲线方程为x=cost,y=sint,z=1/t,t满足0.1≦t≦9解:ParametricPlot3D[{Cos[t],Sin[t],1/t},{t,0.1,9}];画参数曲面图形参数曲面的方程为:x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v),u[u0,u1],v[v0,v1];命令形式:ParametricPlot3D[{x[u,v],y[u,v],z[u,v]},{u,umin,umax},{v,vmin,vmax},option1->value1，…]功能：画出参数曲面方程为

x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v),u[umin,umax],v[vmin,vmax]

部分的参数曲面图形，如果不选选择项参数,则对应的选择项值取默认值。例11画出参数曲面方程为x=cosh(u)cos(v),y=cosh(u)sin(v),z=u,满足-2u2,0v2的参数曲面图形解:Mathematica

命令:

In[12]:=ParametricPlot3D[{Cosh[u]*Cos[v],Cosh[u]*Sin[v],u},{u,-2,2},{v,0,2Pi}]

例12:画出参数曲面方程为

x=ucos(u)(4+cos(v+u)),y=usin(u)(4+cos(v+u)),z=usin(v+u),满足0u4,0v2

的参数曲面图形,图形的取点数为x方向60个点y方向12个点解:Mathematica

命令为:

In[14]:=ParametricPlot3D[{u*Cos[u]*(4+Cos[v+u]),u*Sin[u]*(4+Cos[v+u]),u*Sin[v+u]},{u,0,4Pi},{v,0,2Pi},PlotPoints->{60,12}]

例13:画出单位球面图形(方法一)解:单位球面的参数曲面方程为

x=cos(t)cos(u),y=sin(t)cos(u),z=sin(u),

满足0≦t≦2Pi,0≦u≦2Pi

Mathematica

命令为:

In[13]:=ParametricPlot3D[{Cos[t]Cos[u],Sin[t]Cos[u],Sin[u]},{t,0,2Pi},{u,0,2Pi}]例13:画出单位球面图形(方法二)

Plot3D[{Sqrt[1-x^2-y^2],-Sqrt[1-x^2-y^2]},{x,-1,1},{y,-1,1},BoxRatios->Automatic]例13:画出单位球面图形(方法三)RegionPlot3D[x^2+y^2+z^2<=1,{x,-1,1},{y,-1,1},{z,-1,1}]例13:画出单位球面图形(方法四)ContourPlot3D[x^2+y^2+z^2==1,{x,-1,1},{y,-1,1},{z,-1,1}]补充：ContourPlot[x^2+y^2Š1,{x,-2,2},{y,-2,2}]RegionPlot[x^2+y^2>1,{x,-2,2},{y,-2,2}]画平面散点图命令形式1：ListPlot[{{x1,y1},{x2,y2},…,{xn,yn}},option1->value1,…]功能：在直角坐标系中画出点集{x1,y1},{x2,y2},…,{xn,yn}的散点图，如果没有选择项参数,则选择项值取默认值命令形式2：ListPlot[{y1,y2,…,yn},option1->value1,…]功能：在直角坐标系中画出点集{1,y1},{2,y2},…,{n,yn}的散点图，如果没有选择项参数,则选择项值取默认值命令形式3:ListPlot[{{x1,y1},{x2,y2},…,{xn,yn}}，PlotJoined->True]功能：将所输入数据点依次用直线段联结成一条折线。注意：命令中的选择项参数及其取值同于一元函数绘图,

如果画出的散点图的点太小,可以用选择项参数PlotStyle->PointSize[r]增大散点图的点,r表示点的半径,一般取<0.1的值。解:Mathematica

命令:

In[15]:=t=Table[x^3,{x,0,5,0.2}];

ListPlot[t,PlotStyle->{RGBColor[0,1,0],PointSize[0.08]}]例14:画出由函数Table[x^3,{x,0,5,0.2}]产生的二维点图例15:已知科学家在某海域观察到海平面的年平均高度表如下，由表的数据绘制出二位数据点图，并画出其折线图。

年份 12345678910111213

海拔 5.011.016.023.036.058.029.020.010.08.03.00.00.0

年份141516171819202122232425

海拔 2.011.027.047.063.060.039.028.026.022.011.021.0解：应用Mathematica画二维点图的命令，并且因为年份是从1到25，输入命令行：

f=ListPlot[{5.0,11.0,16.0,23.0,36.0,58.0,29.0,20.0,10.0,8.0,3.0,0.0,0.0,2.0,11.0,27.0,47.0,63.0,60.0,39.0,28.0,26.0,22.0,11.0,21.0}PlotStyle->PointSize[0.05],AxesLabel->{年份,海拔}]g=ListPlot[{5.0,11.0,16.0,23.0,36.0,58.0,29.0,20.0,10.0,8.0,3.0,0.0,0.0,2.0,11.0,27.0,47.0,63.0,60.0,39.0,28.0,26.0,22.0,11.0,21.0},PlotJoined->True,AxesLabel->{年份,海拔}]*做折线图(左)

Show[f,g]*散点图和折线图显示在一起(右)例16:画出在[0,1]取值的随机函数所产生的21个随机点的散点图

解:Mathematica

命令:

data=Table[Random[],{i,0,20}];

ListPlot[data,PlotStyle->PointSize[0.05]]画平面等高线图二元函数z=f(x,y)在z取均匀间隔数值所对应的平面等值线系列构成该函数的等直线图。从等直线图可以了解该二元函数特性。Mathematica的绘制平面等高线图的命令为:

命令形式:ContourPlot[f[x,y],{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax},option1->value1，…]功能：画出二元函数z=f(x,y)当z取均匀间隔数值所对应的平面等值线图,其中变量(x,y)满足xmin

x

xmax,ymin

y

ymax，如果不选选择项参数,则对应的选择项值取默认值。注意：命令中的xmin,xmax,ymin,ymax应该是具体的数字或可以计算出数值的表达式,该命令只能画在矩形区域上的二元函数等高线图。此外,该命令的选项参数除了同于Mathematica的平面曲线绘图的选项外,还有如下的常用选项:

选项默认值

意义PlotPionts15函数在每个方向的取样点数PlotRangeAutomaticZ值的范围，可以用{z1,z1}取值Contours10从z1到z2之间等值线的条数ContourShadingTrue是否使用明暗效果ContourSpacingAutomatic相邻等值线之间的z值间距例17:画出函数z=x2+y2

在区域[-2,2][-2,2]上具有15条等值线的图形,不使用阴影效果

解:In[20]:=ContourPlot[x*x+y*y,{x,-2,2},{y,-2,2},ContourShading->False,Contours->15]

思考ContourPlot[{xy==2,y==1+x^2,x==2},{x,-3,5},{y,0,6}]用图形元素作图图元作图分二维图元作图和三维图元作图。二维图元作图二维图元作图需要先用Graphics[二维图形元素表]函数得到图形文件,然后再用图形显示命令Show[图形文件]的形式显示完成的二维图形。常用的二维图形元素有(见表)命令形式:

Show[Graphics[二维图形元素表],option1->value1，…]功能：画出由二维图形元素表组合的图形。注意:可以在二维图形元素表中加入修饰图元的函数。

Graphics[…]称为图形文件。图形元素几何意义Point[{x,y}]位置在直角坐标{x,y}处的点Line[{{x1,y1},{x2,y2},…{xn,yn}}]依次用直线段连接相邻两点的折线图Rectangle[{xmin,ymin},{xmax,ymax}]以{xmin,ymin}和{xmax,ymax}为对角线坐标的矩形区域Polygon[{{x1,y1},{x2,y2},…,{xn,yn}}]以{x1,y1},{x2,y2},…,{xn,yn}为顶点的封闭多边形区域Circle[{x,y},r]圆心在直角坐标{x,y},半径为r的圆Circle[{x,y},{rx,ry}]]圆心在直角坐标{x,y},长短半轴分别为rx和ry的椭圆Circle[{x,y},r，{t1,t2}]以直角坐标{x,y}为圆心,r为半径,圆心角度从t1到t2的一段圆弧Disk[{x,y},r]圆心在直角坐标{x,y},半径为r的实圆盘Disk[{x,y},{rx,ry}]]圆心在直角坐标{x,y},长短半轴分别为rx和ry的椭圆盘Text[expr,{x,y}]中心在直角坐标{x,y}的文本例17:画出端点在{-1,-1},{1,-2}的虚线段解:In[21]:=Show[Graphics[{Dashing[{0.05,0.01}],Line[{{-1,-1},{1,-2}}]}]]

一般图元表{Dashing[{r1,r2,r3,r4,…}],Line[{p1,p2}]}表示在直线Line[{p1,p2}]上依次取长r1实线段,擦除长r2实线段,取长r3实线段,擦除长r4实线段的周期形式画出虚线段。

画出由端点{0,0},{2,0},{1,1}构成的的线段Graphics[{Dashed,Thick,Red,Line[{{0,0},{2,0},{1,1}}]}]画出端点{0,0},{2,0},{1,1}Graphics[{PointSize[0.05],Point[{{0,0},{2,0},{1,1}}]}]画出由端点{0,0},{2,0},{1,1}构成的的线段，并标出其端点Show[Graphics[{Dashed,Line[{{0,0},{2,0},{1,1}}]}],Graphics[{PointSize[0.05],Point[{{0,0},{2,0},{1,1}}]}]]

三维图元作图

三维图元作图需要先用Graphics3D[三维图形元素表]函数得到图形文件,然后再用图形显示命令Show[图形文件]的形式显示完成的三维图形。

命令形式:Show[Graphics3D[三维图形元素表],option1->value1，…]

功能：画出由三维图形元素表组合的图形,其选择项参数及取值同于空间绘图参数

常用的三维图形元素中有:

三维图形元素:几何意义:Point[{x,y,z}]空间直角坐标{x,y,z}点Line[{{x1,y1,z1},{x2,y2,z2},…}]通过{x1,y1,z1},{x2,y2,z2}…的折线Polygon[{{x1,y1,z1},{x2,y2,z2}…}]依次连接点{xi,yi,zi}的填充多边形Cuboid[{x0,y0,z0},{x1,y1,z1}]以{x0,y0,z0}和{x1,y1,z1}为对角线坐标的立方体常用的图形重画命令:命令形式1：Show[plot]功能：重新显示图形Plot命令形式2：Show[plot,option1->value1,…]功能：按照选择设置option1->value1,…重新显示图形Plot命令形式3：Show[plot1,plot2,…,plotn]功能：在一个坐标系中,显示n个图形plot1,plot2,…,plotn例18:在同一坐标系中画出两个函数y=cos2x,y=lnx,的图形,自变量范围为:1x3解:Mathematica

命令:In[26]:=g1=Plot[S