教案-假设检验

应用数理统计假设检验重庆大学数统学院李寒宇hyli@24078395113594230969《假设检验》主要内容一、假设检验的基本概念二、参数假设检验三、非参数假设检验四、应用案例假设检验的应用女生——瑜伽！男生？喝酒？！你想谈恋爱吗？你想和自己心仪的人在一起吗？健美恋爱我和你性格不和！我和你没猿粪！一、假设检验的基本概念1、基本概念：假设检验（hypothesistesting）是统计推断的一个重要组成部分，是一种利用样本信息对总体的某种假设进行判断的方法。它分为参数假设检验与非参数假设检验，对总体分布中未知参数的假设检验称为参数假设检验(parameterhypothesistesting)，对总体分布函数形式或总体分布性质的假设检验称为非参数假设检验(non-parametericalhypothesistesting)2、假设检验过程及检验问题：2、假设检验过程及检验问题：例1．某糖厂用自动打包机包装糖，每包重量为X,且X～N(100,0.05

)

，某日开工后随机检测9包重量（单位：kg）如下：

99.3，98.7，100.5，101.2，98.3，

99.7，99.5，102.1，100.5

问这一天打包机工作是否正常？即每包平均重量是否为100kg？解：因工艺条件没有变化，故可认为当天每包糖重量X～N(μ,0.05

)

，即判断：μ是否等于μ0＝100，先假设：μ＝μ0

，并记为：H0:μ＝μ0

，称为原假设；当原假设H0不成立时，即：μ≠μ0

记：H1:μ≠μ0

，称为备择假设；即:(1)首先提出原假设和备择假设：

H0:μ＝μ0

；H1:μ≠μ0

即:(2)寻找某个数c，当时就拒绝H0

，否则就认为H0成立。又因：是μ的一致最小方差无偏估计量，则：

应很小，故当H0成立时，也应很小，否则认为H0不成立。

称c为临界值，称为拒绝域。假设检验的两类错误真实情况H0成立H0不成立假设检验结果认为H0不成立，拒绝H0犯第Ⅰ类错误(弃真错误)判断正确认为H0成立，接受H0判断正确犯第Ⅱ类错误(纳伪错误)记：

则：

所以：故H0的拒绝域为：针对本题，因：故：即：样本不在拒绝域中，故不能拒绝H0，认为H0成立。故认为：3、假设检验的基本步骤：1）提出原假设H0与备择假设H1

；2）分析并提出原假设H0的拒绝（否定）域的形式K0；3）确定拒绝域K0

；4）作出是否拒绝H0的判断。二、参数假设检验1、单个正态总体参数的假设检验：设X1,…,Xn是来自总体X～N(μ,σ2)的样本.1)μ的假设检验关于μ的各种统计假设形式：①H0:μ＝μ0

；H1:μ≠μ0

；②H0:μ≤μ0

；H1:μ＞μ0

；③H0:μ≥μ0

；H1:μ＜μ0

；对形式①：选择拒绝域形式为：则令：当σ2已知时，临界值为：当σ2未知时，在H0成立下：临界值为：对形式②：选择拒绝域形式为：当σ2已知时，临界值为：当σ2未知时，临界值为：对形式③：选择拒绝域形式为：当σ2已知时，临界值为：当σ2未知时，临界值为：例1、正常情况下，某炼铁炉的铁水含碳量X～N(4.55,0.1082)。现在测试了5炉铁水，其含碳量分别为：4.28，4.40，4.42，4.35，4.37。如果方差没有改变，问总体的均值有无显著变化？（α=0.05）解：1）提出假设：

H0:μ＝μ0(=4.55)；H1:μ≠μ0

；2）分析拒绝域形式为：3）计算：μ0=4.55u0.975＝1.96σ＝0.108即样本值在拒绝域内。4）判断：拒绝H0，即认为铁水含碳量有显著变化。例2、一种电子元件，要求其寿命不得低于1000h。现抽测25件，得其均值为，S

2＝100,已知该种元件寿命X～N(μ,σ2),问这批元件是否合格(α=0.05)？解：1）提出统计假设：

H0:μ＜μ0(=1000)；H1:μ≥μ0

；2）因σ2未知,提出拒绝域形式为：3）计算：4）判断：接受H0，认为产品不合格。2)σ2的假设检验（μ未知）关于σ2的各种统计假设形式：①H0:σ2＝σ02

；H1:σ2≠σ02

；②H0:σ2≤σ02

；H1:σ2＞

σ02；③H0:σ2≥σ02

；H1:σ2＜σ02

；拒绝域：拒绝域：拒绝域：①因：S

2是总体参数σ2的无偏估计量，故存在临界值c1＜c2，有:

故:在H0成立时其拒绝域为：又因：在H0成立时：令：故：例3、正常情况下，某炼铁炉的铁水含碳量X～N(μ,0.1082)。现在测试了5炉铁水，其含碳量分别为：4.28，4.40，4.42，4.35，4.37。如果总体均值没有改变，问总体方差有无显著变化？（α=0.05）解：1）提出统计假设：2）提出拒绝域形式：3）计算：4）判断：接受H0，总体方差无显著变化。H0:σ2＝σ02(=0.1082);H1:σ2≠σ02;例4、已知某厂生产的维尼纶纤度X～N(μ,0.0482),某日抽测8根纤维，其纤度分别为1.32,1.41,1.55,1.36,1.40,1.50,1.44,1.39，问这天生产的维尼纶纤度的方差是否明显变大了(α=0.05)？解：1）提出统计假设：2）提出拒绝域形式：3）计算：4）判断：拒绝H0，总体方差明显变大。H0:σ2≤σ02(=0.0482);H1:σ2＞σ02;2、两个正态总体参数的假设检验

假设总体,(X1,…,Xn)是X

的样本，总体,(Y1,…,Yn)是Y的样本。1）对两总体均值的检验关于μ1,μ2关系的各种统计假设形式及拒绝域如下表所示：其中：2）对两总体方差的检验例5、从甲、乙两煤矿各取若干个样品，得其含灰率（%）为：甲：24.3，20.8，23.7，21.3，17.4，乙：18.2，16.9，20.2，16.7假定含灰率均服从正态分布且σ12=σ22

。问甲,乙两煤矿含灰率有无显著差异(α=0.05)？解：提出统计假设：

H0:μ1＝μ2;H1:μ1≠μ2拒绝域：计算得：有：即样本不在拒绝域内，接受H0，故：含灰率无显著差异。例6、在漂白工艺中，要考察温度对某种针织品断裂强力的影响，在70oC与80oC下分别重复了8次试验，测得断裂强力数据如下所示：70oC20.518.519.520.921.519.521.021.280oC17.720.320.018.819.0问：在这两种温度下，断裂强力有无显著差异？(α=0.05)假定断裂强力服从正态分布.解：m=n=8,1)首先对两总体的方差进行齐性检验：

提出假设：

H0:σ12＝σ22；

H1:σ12≠σ22;拒绝域形式：又计算得：即：0.2638<F

=1.32<3.79接受H0，认为两个正态总体的方差相等。2）提出假设：

H0:μ1＝μ2;H1:μ1≠μ2拒绝域为：计算得：即：拒绝H0，认为断裂强力有显著差异.瑜伽＝喝酒？三个月瑜伽三两白酒一年瑜伽一瓶白酒两年瑜伽两瓶白酒五年瑜伽五瓶白酒你和TA有缘分吗？你某年进入重庆大学TA某年进入重庆大学就读某个专业就读某个专业选修了数理统计选修了数理统计什么？还性格不合？青春年华风华正茂三、非参数假设检验1、总体分布函数的假设检验提出假设：

H0:F

(x)＝F0(x);H1:F(x)≠F0(x);拒绝域：

其中：

或者：

F0(x)已知;

F0(x)未知;

r为未知参数的个数。

例7、从某高校99级本科生中随机抽取了60名学生，其英语结业考试成绩见下表：试问99级本科生的英语结业成绩是否符合正态分布？（α=0.10）937583939185848277767795948991888683968179977875676968838481756685709484838280787473767086769089716686738094797877635355解：设X

表示99级任意一位本科生的英语结业成绩，分布函数为F(x)，1)提出统计假设为：2)拒绝域为：3)将X

的取值划分为：4)在H0成立的条件下，计算参数μ,σ2的极大似然估计值。

通过计算得：5)又因：在H0成立的条件下，Ai

(i=1,2,3,4)的概率理论估计值为：样本值计算表Aivi1{X＜70}80.14928.9520.10122{70≤X＜80}200.350821.0480.05223{80≤X＜90}210.350821.0480.00014{90≤X}110.14928.9520.4685∑601.0000600.62206)故：接受H0，认为英语结业成绩符合正态分布。例8(离散型)：按测量仪器的分度读数时,通常需要大致估计读数的最后数字,理论上最后这个数字可以是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任何一个，并且每个数字的出现是等可能的，下表中列出200次读数的最后数字的统计分布。试检验这些数字是否服从均匀分布？(α=0.05)数字统计表数字xi012345频数vi351615171730数字xi6789频数vi11161924解：用X表示读出的最后数字，P{X＝i}＝pi,i＝0,1,…,9，如果数字是服从均匀分布，则pi＝1/10，i＝0,1,…,9。故假设检验为：H0:pi＝1/10计算χ2统计量的观察值，得：查表得<χ2=24.9故拒绝H0，认为最后的读数不均匀。拒绝域：

提出统计假设：

H0:X

与Y

独立;H1:X

与Y

不独立2、独立性假设检验在χ2检验法中，上述统计假设可转化为：拒绝域：其中：r

×s列联表XYvi.b1b2…bsa1v11v12…v1