教材存在的问题的反馈

北师大版高中数学教材

使用中的一些问题的思考——北师大版高中数学教材编写组一.顺序问题1.顺序问题

从历史和现状来看,数学知识的起源有着诸多不同的背景,通常彼此无关.但一旦进入数学领域,这些知识就会交融在一起,使得数学学科成为一个有机的整体.教材的内容结构把整个数学纳入一个完整的公理体系,是不可能实现的(哥德尔不完全定理).而对数学中各学科体系的安排,其逻辑顺序是有很大的任意性的,不同的学者会有不同的安排.例如,著名分析学家R.柯朗在《微积分与数学分析引论》中,先讲授定积分,后讲授导数、微分.著名几何学家F.克莱因在《高观点下的初等数学》中主张先讲对数,后讲指数.事实上,到底按何种顺序讲授数学,从来就没有统一的意见.更谈不上最好、最优的顺序.只要在逻辑上不出现问题,教学顺序有很大的任意性.教师们通常是根据自己学生的具体情况,以及自己的对数学内容的理解来处理的.看一看我国著名大学数学系教师编写的数学教材,即使是基础课的教材——数学分析、高等代数、解析几何——几乎没有两种同类教材是顺序完全相同的.更何况研究生所用的国内外的教材.过去,我国只有一套高中数学教材,因此,只展现一种教学顺序.这是不正常的.《新课标》实施后,允许教师采用不同的教学顺序来处理教材.这无疑是一个进步.目前,在我国各地已出现了不同的教学顺序.有的老师还有所创新,这是很可喜的现象.现在教师们会思考：如果让我来安排高中三年的数学课程,我会以一个什么顺序来设置.这对教师整体考虑中学数学内容和其中的相互关系有着极大的好处.有利于教师业务水平的提高,有利于教师的成长.我们认为任何一种教学顺序都有利有弊.不存在最好的顺序.理想的状况是,教师应该根据你所教的学生的具体情况,结合自己的特点,给出最符合自己的教学顺序.教师开始思考整个高中数学内容的顺序安排,这种可喜的现象是这次课程改革的成果之一.2教学顺序改变引起的一些思考当教学顺序有所改变后,教师自然会考虑某些内容的引进和如何讲授的问题.举一个例子.如没有讲授任意角的三角函数,能讲直线的斜率吗？换句话说,除了我们过去学过的办法,数学上能有别的方法吗？这个问题将迫使我们思考斜率的本质、它在表示直线时的作用.学会这样的思考我们讲授的数学内容(而不是仅仅教授书本上的知识),对老师的业务成长有很大的好处.又例如,一元二次不等式,一元二次函数紧密相关,通常也有两种讲法.一种处理方法是：和一元二次函数放在一起讲.另一种处理办法是：突出不等式的性质,把它作为不等式的一部分内容来讲授.两种讲法各有特点.考虑到各模块的内容、学时等原因,《课标》采用的是后一种方法.至于个别老师把一元二次不等式和集合放在一起讲,就不合适了.因为二者讨论的完全是不同的问题.二.对于新增内容的处理方式1.二分法的意义和价值《普通高中数学课程标准》中明确了这样的理念：高中数学课程应提供基本内容的实际背景,反映数学的应用价值,开展“数学建模”的学习活动,设立体现数学某些重要应用的专题课程.高中数学课程应力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活及其他学科的联系,促进学生逐步形成和发展数学应用意识,提高实践能力.《必修一》中单独设立了“函数应用”一章,力图在理念、意义、方法和能力上为高中阶段的进一步学习奠定基础.从两个方面展开函数应用,突出用数学解决问题.教材里呈现的函数应用有两个方面,一是函数与其他数学知识的有机联系,这里集中研究的是从函数特征判定方程实数解的存在性及近似求方程解；二是函数与实际问题的联系,用函数解决实际问题.全章内容分三个层次逐渐展开.首先是函数用于方程是求解,然后是实际问题中的函数应用,最后是数学建模.二分法的教学目的：①帮助我们思考,是否能通过函数的性质求解方程；②它引入了“近似”的概念,在实际中,离不开近似,近似孕育着极限的思想,它可以达到我们要求的任何精度.2.立体几何的变动与以往高中数学课程中的立体几何内容相比,《标准》中立体几何内容的变化主要表现在几何定位的变化,几何内容处理方式的变化以及几何内容的分层设计等方面.改变以往一直以综合几何作为主要教学模式的状况,在课程设计中渗透了实验几何与现代几何的内容与方法.①几何定位：《标准》中立体几何定位于培养和发展学生把握图形的能力、空间想象与几何直觉的能力、逻辑推理能力等.②内容处理方式：《标准》按照从整体到局部的方式展开几何内容,并突出直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等探索研究几何的过程.特别重视长方体这一模型的应用,通过长方体让学生在直观感知的基础上认识空间中一般点、线、面之间的关系.③立体几何内容分层设计：在必修课程中,主要是通过直观感知、操作确认,获得几何图形的性质,并通过简单的推理发现、论证一些几何性质.对于进一步的论证与度量则放在选修系列2中用向量处理.④研究空间图形的基本位置关系,不是按主体分类（如线与面是一对主体）,而是按位置关系分类,即平行、垂直,突出了研究学习的主题。3.函数性质的处理课标指出:通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；结合具体函数,了解奇偶性的含义.反函数的处理,只要求以具体函数为例进行解释和直观理解,例如,可通过比较同底的指数函数和对数函数,说明指数函数y=ax和对数函数y=logax互为反函数(a>0,a≠1).不要求一般地讨论形式化的反函数定义,也不要求求已知函数的反函数.教材处理:突出函数的单调性和周期性,奇偶性也是我们在中学的要研究的函数性质,但它不是最基本的性质.因而没有把奇偶性专门列出一节,而是把它和幂函数放在了一起.4.依据课标要求,把握教学的深度例如:①将集合作为一种语言来学习;②对于“函数”这一高中数学的核心概念,应该做到：使学生了解生活中处处都存在函数关系,亲自经历构建函数模型的过程,体会函数模型的广泛应用.帮助学生在头脑中“留住一批函数”的模型.突出重点,淡化枝微末节.③三角函数,使学生体会三角函数是刻画周期现象的重要模型.课标只要求：借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.在三角函数的教学中,突出单位圆的作用.利用单位圆,从几何上,来看三角函数的性质,如函数的定义域、值域、周期性、函数的正负、单调区间、最大(小)值等等.重视单位圆和函数的图像.淡化三角函数线的作用.④在导数内容中,突出对平均变化率到瞬时变化率的过渡.在计算时,教材先将平均变化率化简,使其不出现零比零的形式.避免不必要的困难.⑤在计数原理中,突出两个基本的计数原理,重视数学模型的作用.而不是硬套排列、组合公式.在二项式定理和组合公式的证明中,突出其思想,而不是形式地验证.⑥螺旋式上升与一步到位对单调性认识、空间线面位置关系、概率等知识及坐标方