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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知为等差数列,若,,则()A.1 B.2 C.3 D.62.设集合(为实数集),,,则()A. B. C. D.3.已知双曲线的左,右焦点分别为,O为坐标原点,P为双曲线在第一象限上的点,直线PO,分别交双曲线C的左,右支于另一点,且,则双曲线的离心率为()A. B.3 C.2 D.4.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称,旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系,共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2015年以来,“一带一路”建设成果显著.如图是2015—2019年,我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图,下列描述错误的是()A.这五年,出口总额之和比进口总额之和大B.这五年,2015年出口额最少C.这五年,2019年进口增速最快D.这五年,出口增速前四年逐年下降5.一个圆锥的底面和一个半球底面完全重合,如果圆锥的表面积与半球的表面积相等,那么这个圆锥轴截面底角的大小是()A. B. C. D.6.是抛物线上一点,是圆关于直线的对称圆上的一点,则最小值是()A. B. C. D.7.若实数满足不等式组,则的最大值为()A. B. C.3 D.28.设分别为双曲线的左、右焦点,过点作圆的切线,与双曲线的左、右两支分别交于点,若,则双曲线渐近线的斜率为()A. B. C. D.9.设复数满足(为虚数单位),则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限10.△ABC中,AB=3,,AC=4,则△ABC的面积是()A. B. C.3 D.11.已知集合,集合,若,则()A. B. C. D.12.已知双曲线的左、右焦点分别为,,P是双曲线E上的一点,且.若直线与双曲线E的渐近线交于点M,且M为的中点,则双曲线E的渐近线方程为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若函数与函数,在公共点处有共同的切线,则实数的值为______.14.已知函数,若对于任意正实数,均存在以为三边边长的三角形,则实数k的取值范围是_______.15.若在上单调递减,则的取值范围是_______16.已知实数,满足则的取值范围是______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知直线l的极坐标方程为,圆C的参数方程为(为参数).(1)请分别把直线l和圆C的方程化为直角坐标方程;(2)求直线l被圆截得的弦长.18.(12分)已知抛物线的焦点为,准线与轴交于点,点在抛物线上,直线与抛物线交于另一点.(1)设直线,的斜率分别为,,求证:常数;(2)①设的内切圆圆心为的半径为,试用表示点的横坐标;②当的内切圆的面积为时,求直线的方程.19.(12分)为了整顿道路交通秩序,某地考虑将对行人闯红灯进行处罚.为了更好地了解市民的态度,在普通行人中随机选取了200人进行调查,当不处罚时,有80人会闯红灯,处罚时,得到如表数据:处罚金额(单位:元)5101520会闯红灯的人数50402010若用表中数据所得频率代替概率.(1)当罚金定为10元时,行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少?(2)将选取的200人中会闯红灯的市民分为两类:类市民在罚金不超过10元时就会改正行为;类是其他市民.现对类与类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷,则前两位均为类市民的概率是多少?20.(12分)已知函数,其中e为自然对数的底数.(1)讨论函数的单调性;(2)用表示中较大者,记函数.若函数在上恰有2个零点,求实数a的取值范围.21.(12分)如图所示,在三棱柱中,为等边三角形,,,平面,是线段上靠近的三等分点.(1)求证:;(2)求直线与平面所成角的正弦值.22.(10分)已知椭圆经过点,离心率为.(1)求椭圆的方程;(2)经过点且斜率存在的直线交椭圆于两点,点与点关于坐标原点对称.连接.求证:存在实数,使得成立.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】
利用等差数列的通项公式列出方程组,求出首项和公差,由此能求出.【详解】∵{an}为等差数列,,∴,解得=﹣10,d=3,∴=+4d=﹣10+11=1.故选:B.【点睛】本题考查等差数列通项公式求法,考查等差数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.2.A【解析】
根据集合交集与补集运算,即可求得.【详解】集合,,所以所以故选:A【点睛】本题考查了集合交集与补集的混合运算,属于基础题.3.D【解析】
本道题结合双曲线的性质以及余弦定理,建立关于a与c的等式,计算离心率,即可.【详解】结合题意,绘图,结合双曲线性质可以得到PO=MO,而,结合四边形对角线平分,可得四边形为平行四边形,结合,故对三角形运用余弦定理,得到,而结合,可得,,代入上式子中,得到,结合离心率满足,即可得出,故选D.【点睛】本道题考查了余弦定理以及双曲线的性质,难度偏难.4.D【解析】
根据统计图中数据的含义进行判断即可.【详解】对A项,由统计图可得,2015年出口额和进口额基本相等,而2016年到2019年出口额都大于进口额,则A正确;对B项,由统计图可得,2015年出口额最少,则B正确;对C项,由统计图可得,2019年进口增速都超过其余年份,则C正确;对D项,由统计图可得,2015年到2016年出口增速是上升的,则D错误;故选:D【点睛】本题主要考查了根据条形统计图和折线统计图解决实际问题,属于基础题.5.D【解析】
设圆锥的母线长为l,底面半径为R,再表达圆锥表面积与球的表面积公式,进而求得即可得圆锥轴截面底角的大小.【详解】设圆锥的母线长为l,底面半径为R,则有,解得,所以圆锥轴截面底角的余弦值是,底角大小为.故选:D【点睛】本题考查圆锥的表面积和球的表面积公式,属于基础题.6.C【解析】
求出点关于直线的对称点的坐标,进而可得出圆关于直线的对称圆的方程,利用二次函数的基本性质求出的最小值,由此可得出,即可得解.【详解】如下图所示:设点关于直线的对称点为点,则,整理得,解得,即点,所以,圆关于直线的对称圆的方程为,设点,则,当时,取最小值,因此,.故选:C.【点睛】本题考查抛物线上一点到圆上一点最值的计算,同时也考查了两圆关于直线对称性的应用,考查计算能力,属于中等题.7.C【解析】
作出可行域,直线目标函数对应的直线,平移该直线可得最优解.【详解】作出可行域,如图由射线,线段,射线围成的阴影部分(含边界),作直线,平移直线,当过点时,取得最大值1.故选:C.【点睛】本题考查简单的线性规划问题,解题关键是作出可行域,本题要注意可行域不是一个封闭图形.8.C【解析】
如图所示:切点为,连接,作轴于,计算,,,,根据勾股定理计算得到答案.【详解】如图所示:切点为,连接,作轴于,,故,在中,,故,故,,根据勾股定理:,解得.故选:.【点睛】本题考查了双曲线的渐近线斜率,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.9.D【解析】
先把变形为,然后利用复数代数形式的乘除运算化简,求出,得到其坐标可得答案.【详解】解:由,得,所以,其在复平面内对应的点为,在第四象限故选:D【点睛】此题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的代数表示法及其几何意义,属于基础题.10.A【解析】
由余弦定理求出角,再由三角形面积公式计算即可.【详解】由余弦定理得:,又,所以得,故△ABC的面积.故选:A【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用,三角形的面积公式,考查了学生的运算求解能力.11.A【解析】
根据或,验证交集后求得的值.【详解】因为,所以或.当时,,不符合题意,当时,.故选A.【点睛】本小题主要考查集合的交集概念及运算,属于基础题.12.C【解析】
由双曲线定义得,,OM是的中位线,可得,在中,利用余弦定理即可建立关系,从而得到渐近线的斜率.【详解】根据题意,点P一定在左支上.由及,得,,再结合M为的中点,得,又因为OM是的中位线,又,且,从而直线与双曲线的左支只有一个交点.在中.——①由,得.——②由①②,解得,即,则渐近线方程为.故选:C.【点睛】本题考查求双曲线渐近线方程,涉及到双曲线的定义、焦点三角形等知识,是一道中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
函数的定义域为,求出导函数,利用曲线与曲线公共点为由于在公共点处有共同的切线,解得,,联立解得的值.【详解】解:函数的定义域为,,,设曲线与曲线公共点为,由于在公共点处有共同的切线,∴,解得,.由,可得.联立,解得.故答案为:.【点睛】本题考查函数的导数的应用,切线方程的求法,考查转化思想以及计算能力,是中档题.14.【解析】
根据三角形三边关系可知对任意的恒成立,将的解析式用分离常数法变形,由均值不等式可得分母的取值范围,则整个式子的取值范围由的符号决定,故分为三类讨论,根据函数的单调性求出函数值域,再讨论,转化为的最小值与的最大值的不等式,进而求出的取值范围.【详解】因为对任意正实数,都存在以为三边长的三角形,故对任意的恒成立,,令,则,当,即时,该函数在上单调递减,则;当,即时,,当,即时,该函数在上单调递增,则,所以,当时,因为,,所以,解得;当时,,满足条件;当时,,且,所以,解得,综上,,故答案为:【点睛】本题考查参数范围,考查三角形的构成条件,考查利用函数单调性求函数值域,考查分类讨论思想与转化思想.15.【解析】
由题意可得导数在恒成立,解出即可.【详解】解:由题意,,当时,显然,符合题意;当时,在恒成立,∴,∴,故答案为:.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性,属于中档题.16.【解析】
根据约束条件画出可行域,即可由直线的平移方法求得的取值范围.【详解】.由题意,画出约束条件表示的平面区域如下图所示,令,则如图所示,图中直线所示的两个位置为的临界位置,根据几何关系可得与轴的两个交点分别为,所以的取值范围为.故答案为:【点睛】本题考查了非线性约束条件下线性规划的简单应用,由数形结合法求线性目标函数的取值范围,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1).x2+y2=1.(2)16【解析】
(1)直接利用极坐标方程和参数方程公式化简得到答案.(2)圆心到直线的距离为,故弦长为得到答案.【详解】(1),即,即,即.,故.(2)圆心到直线的距离为,故弦长为.【点睛】本题考查了极坐标方程和参数方程,圆的弦长,意在考查学生的计算能力和转化能力.18.(1)证明见解析;(2)①;②.【解析】
(1)设过的直线交抛物线于,,联立,利用直线的斜率公式和韦达定理表示出,化简即可;(2)由(1)知点在轴上,故,设出直线方程,求出交点坐标,因为内心到三角形各边的距离相等且均为内切圆半径,列出方程组求解即可.【详解】(1)设过的直线交抛物线于,,联立方程组,得:.于是,有:,又,;(2)①由(1)知点在轴上,故,联立的直线方程:.,又点在抛物线上,得,又,;②由题得,(解法一)所以直线的方程为(解法二)设内切圆半径为,则.设直线的斜率为,则:直线的方程为:代入直线的直线方程,可得于是有:得,又由(1)可设内切圆的圆心为则,即:,解得:所以,直线的方程为:.【点睛】本题主要考查了抛物线的性质,直线与抛物线相关的综合问题的求解,考查了学生的运算求解与逻辑推理能力.19.(1)降低(2)【解析】
(1)计算出罚金定为10元时行人闯红灯的概率,和不进行处罚时行人闯红灯的概率,求解即可;(2)闯红灯的市民有80人,其中类市民和类市民各有40人,根据分层抽样法抽出4人依次排序,计算所求的概率值.【详解】解:(1)当罚金定为10元时,行人闯红灯的概率为;不进行处罚,行人闯红灯的概率为;所以当罚金定为10元时,行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低;(2)由题可知,闯红灯的市民有80人,类市民和类市民各有40人故分别从类市民和类市民各抽出两人,4人依次排序记类市民中抽取的两人对应的编号为,类市民中抽取的两人编号为则4人依次排序分别为,,,,,,,,,,,,共有种前两位均为类市民排序为,,有种,所以前两位均为类市民的概率是.【点睛】本题主要考查了计算古典概型的概率,属于中档题.20.(1)函数的单调递增区间为和,单调递减区间为;(2).【解析】
(1)由题可得,结合的范围判断的正负,即可求解;(2)结合导数及函数的零点的判定定理,分类讨论进行求解【详解】(1),①当时,,∴函数在内单调递增;②当时,令,解得或,当或时,,则单调递增,当时,,则单调递减,∴函数的单调递增区间为和,单调递减区间为(2)(Ⅰ)当时,所以在上无零点;(Ⅱ)当时,,①若,即,则是的一个零点;②若,即,则不是的零点(Ⅲ)当时,,所以此时只需考虑函数在上零点的情况,因为,所以①当时,在上单调递增。又,所以(ⅰ)当时,在上无零点;(ⅱ)当时,,又,所以此时在上恰有一个零点;②当时,令,得,由,得;由,得,所以在上单调递减,在上单调递增,因为,,
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