概率论与随机过程1-作业及答案

11概率论与随机过程(1)，8_solution©电子工程掷三次均匀的硬币，以X表示正面出现的次数，以Y表示正面出现次数与出现次(X,Y)′的联合分布列，XY的边缘分布列。YX13P(X=0038038301818P(Y=3414—(X,Y)′{p(x,y) 4xy,0<x<1,0<y<0

(0<X

1,

)<Y<2P(X=YP(X<YP(X⩽Y参考答案P(0<X

1,

<Y<1)

∫1∫2

4xydydx=2 P(X=Y)=∫1∫ 0 P(X<Y) 40 2[P(X⩽Y)=P(X<Y)=2(X,Y,Z)′p(x,y,z)

{yz) x>0,y>0,z>0求P(X<Y<P(X=Y<X2参考答案

P(X<Y<Z)

∫+∞

z∫

e−(x+y+z)dxdydz= 方法二X,Y,Z分布的对称性：P(X<Y<Z)=P(X<Z<Y)=P(Y<X<ZP(Y<Z<X)=P(Z<X<Y)=P(Z<Y<X)上述六种情况等概出现11/6P(X=Y<Z)=x0p(x)

∫+∞∫

e−(x+y+z)dydz= {p(x)

e−x,x>0 x⩽22Σ 1 1Σ2 2其中σ10σ20,|ρ| aΣb矩阵正定的充要条件是各阶顺序主子式大于零 正定等价a> det(Σ)=ac−2>a>0,ac>2令

0⇒c>0,ac<√σ ,

= c, b则 111Σ2 2|ρ|<1′’3参考答案DD区域包含边界，虚线表示D区域不包含边界。设D1区域为P(a1⩽X<a2,b⩽Y<5=F(a2−0,b5−0)−F(a2−0,b3−0)−F(a1−0,b5−0)+F(a1−0,b3−D2P(a2⩽X<a5,b⩽Y<5=F(a5−0,b5−0)−F(a2−0,b5−0)−F(a5−0,b1−0)+F(a2−0,b1−D3P(a3⩽X<a4,b⩽Y<4=F(a4−0,b4−0)−F(a3−0,b4−0)−F(a4−0,b2−0)+F(a3−0,b2−DD1D2D3P(D)=P(a1⩽X<a2,b3⩽Y<5P(a2⩽X<a5,b⩽Y<5P(a3⩽X<a4,b2⩽Y<4F(a5−0,b5−0)+F(a1−0,b3−0)+F(a2−0,b1−0)+F(a4−0,b2−0)+F(a3−0,b4−F(a2−0,b3−0)−F(a1−0,b5−0)−F(a5−0,b1−0)−F(a4−0,b4−0)−F(a3−0,b2− 注意边界条件的问题，F(a0b0≜

F(aδbδF(ab(X,Y)′F(x,y)P(a⩽X<b,Y<P(X=a,Y<P(X<x,Y<P(X<−∞,Y<参考答案P(a⩽X<b,Y<y)=P(X<b,Y<y)−P(X<a,Y<=F(b−0,y−0)−F(a−0,y−P(X=a,Y<y)=P(X⩽a,Y<y)−P(X<a,Y<=F(a,y−0)−F(a−0,y−4P(X<x,Y<+∞)=limy→∞F(x−0,y)=FX(x−P(X<−∞,Y<+∞)⩽P(X<−∞,Y⩽y)=F(−∞,y)=

P(X<−∞,Y<+∞)⩾P(X<−∞,Y<+∞)=和上一题一样，请注意边界条件的问题分布函数F(x,y)并不只适用于连续随量亦适用于离散随量因此，F(x,y)并不一定是连续的。我们在使用它时，一定要多加注意。很多同学认为P(X=aY<y)=0第二问有同学的错误答案为∂F(x,y)a后面讲到条件分布大家会知道∂F(x,y)= pX|Y⩽y(aP(Y⩽y)已知随量X1和X2的概率密度分别为{fX1(x){fX2(x) 2试求E(X1X2)E2X13X2

x> x⩽ x> x⩽参考答案E(X1)

∫ ∫ ∫2xe−2xdx xd(−e−2x)=

e−2xdx=

1e−2x|+∞=E(X2)

∫ ∫ ∫4xe−4xdx xd(−e−4x)=

e−4xdx=

441e−4x|+∞=44 ∫ ∫

0∫ 1∫ E(X2)

4x2e−4xdx

x2d

2xe−4xdx

4xe−4xdx )

2 E(X1+X2)=E(X1)+E(X2)= 1设随量X的概率密度为f(x)

0<x<cx+b2⩽x⩽ 已知E(X2,P{1X3}0.75,5a,b,cYeX的期望和方参考答案由规范性、E(X2、P{1X3}0.75可∫ ∫axdx ∫

(cx+b)dx=

2a+6c+2b=

a=42ax2dx

8a(cx+b)xdx=1

3+6b=2

b=∫

∫

axdx (cx+b)d