中考专题规律探索型问题

中考专题规律探索型问题考点知识梳理中考典例精析课后作业课堂练习探索规律型问题也是归纳猜想型问题，其特点是：给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境，要求通过观察分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论．类型有“数列规律”、“计算规律”、“图形规律”与“动态规律”等题型，近年来关于数列与图形排列规律的题目越来越多．1．数列规律数列规律问题主要是通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，以列代数式即函数关系式为主要内容．2．计算规律计算规律问题主要是在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系，然后通过适当的计算回答问题．3．图形规律图形规律问题主要是观察图形的组成、分拆等过程中的特点，分析其联系和区别，用相应的算式描述其中的规律，要注意对应思想和数形结合．4．动态规律动态规律问题是探求图形在运动变换过程中的变化规律，解答此类问题时，要将图形每一次的变化与前一次变化进行比较，明确哪些结果发生了变化，哪些结果没有发生变化，从而逐步发现规律．【点拨】通过观察发现，这组数字出现的规律是：(1)分子以幂的形式排列，分子与分母的差是定值4；(2)再从特殊到一般：从第一个数开始分子分别以3,4,5，…的平方出现．所以分子分母的代数式分别是(n＋2)2和(n＋2)2－4.观察下列算式：①1×3－22＝3－4＝－1；②2×4－32＝8－9＝－1；③3×5－42＝15－16＝－1；④________；….(1)请你按以上规律写出第4个算式；(2)把这个规律用含字母的式子表示出来；(3)你认为(2)中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．

答案：(1)4×6－52＝24－25＝－1

(2)答案不唯一．如n(n＋2)－(n＋1)2＝－1

(3)成立理由：n(n＋2)－(n＋1)2＝n2＋2n－(n2＋2n＋1)＝n2＋2n－n2－2n－1＝－1如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为________.例4．在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其行走路线如图所示．(1)填写下列各点的坐标：A1(______，______)，A3(______，______)，A12(______，______)；(2)写出点A4n的坐标(n是正整数)；(3)指出蚂蚁从点A100到点A101的移动方向．答案：(1)A1(0,1)，A3(1,0)，A12(6,0)

(2)A4n(2n,0)

(3)向上

2.如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1、A2、…、An分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分的面积和为________．1.(2012中考预测题)如图，一串有趣的图案按一定的规律排列，请仔细观察，按此规律第2012个图案是(

)【解析】观察图案可知，每4个图案循环一次，因为2012÷4＝503……0，所以第2012个图案与第1个图案相同，故选A.【答案】A3．(2012中考预测题)如图是圆心角为30°，半径分别是1、3、5、7、…的扇形组成的图形，阴影部分的面积依次记为S1、S2、S3、…，则S50＝________.(结果保留π)规律探索型问题作业1．(2010中考变式题)填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是(

)A．38B．52C．66D．74【解析】规律一：和m对应位置的数除外，其他相应位置的数都是偶数，且后面的数比对应前面的数大2.如：0,2,4,6；其他位置的数是4,6,8,10；2,4,6,8.如图规律二：一条对角线位置的数字之和等于另一条对角线位置的数字之积．如4＋44＝6×8，则6＋m＝8×10，故m＝74.【答案】D

2．(2011·武汉)在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．且规定，正方形的内部不包含边界上的点．观察如图所示的中心在原点、一边平行于x轴的正方形：边长为1的正方形内部有1个整点，边长为2的正方形内部有1个整点，边长为3的正方形内部有9个整点，…，则边长为8的正方形内部的整点的个数为(

)A．65B．49C．36D．25【解析】由题意分析知边长为n(n≥2)的正方形内部的整点个数满足：当n为奇数时，整点个数为n2；当n为偶数时，整点个数为(n－1)2.所以边长为8的正方形内部的整点个数为(8－1)2＝49.【答案】B

3．(2010中考变式题)观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中共有________个★.【解析】规律是1＋3×1,1＋3×2,1＋3×3，…，1＋3×9，所以第9个图形共有1＋3×9＝1＋27＝28(个)【答案】284．(2011·南京)甲、乙、丙、丁四位同学围成一圈依序循环报数，规定：①甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为1、2、3、4，接着甲报5，乙报6……按此规律，后一位同学报出的数比前一位同学报出的数大1.当报到的数是50时，报数结束；②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次．在此过程中，甲同学需拍手的次数为____________．【解析】∵50÷4＝12余2，∴甲由共报出1,5,9,13，…，45,49,13次数，其中的9,21,33和45是3的倍数，∴甲同学需拍手的次数为4.【答案】4

5．(2010中考变式题)如图为手的示意图，在各个手指间标记字母A，B，C，D.请你按图中箭头所指方向(即A→B→C→D→C→B→A→B→C→…的方式)从A开始数连续的正整数1,2,3,4，…，当数到12时，对应的字母是________；当字母C第201次出现时，恰好数到的数是________；当字母C第2n＋1次出现时(n为正整数)，恰好数到的数是________．(用含n的代数式表示)【解析】当数到12时，对应的字母是B.根据已知条件将字母进行排列，发现字母C出现的次数是奇数时，此时数到的数恰好是这个奇数的3倍．∵201,2n＋1都是奇数，∴数到的数分别是3×201＝603,3(2n＋1)＝6n＋3.【答案】B

603

6n＋3

6．2010中考变式题)给出下列命题：7．（2011·河北)如图①至④中，两平行线AB，CD间的距离均为6，点M为AB上一定点．思考如图①，圆心为O的半圆形纸片在AB，CD之间(包括AB，CD)．其直径MN在AB上，MN＝8，点P为半圆上一点，设∠MOP＝α.当α＝________度时，点P到CD的距离最小，最小值为________．探究一在图①的基础上，以点M为旋转中心，在AB，CD之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止，如图②，得到最大旋转角∠BMO＝________度，此时点N到CD的距离是________．探究二将图①中的扇形纸片NOP按下面对α的要求剪掉，使扇形纸片MOP绕点M在AB，CD之间顺时针旋转．(1)如图③，当α＝60°时，求在旋转过程中，点P