高中数学复数讲义.教师版

..复数复数知识内容知识内容一、复数的概念虚数单位i:〔1它的平方等于,即；〔2实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有加、乘运算律仍然成立．〔3i与－1的关系:i就是的一个平方根,即方程的一个根,方程的另一个根是-i．〔4i的周期性：,,,．数系的扩充：复数复数的定义：形如的数叫复数,叫复数的实部,叫复数的虚部．全体复数所成的集合叫做复数集,用字母表示复数的代数形式:通常用字母表示,即,把复数表示成的形式,叫做复数的代数形式．复数与实数、虚数、纯虚数及的关系：对于复数,当且仅当时,复数是实数；当时,复数叫做虚数；当且时,叫做纯虚数；当且仅当时,就是实数复数集与其它数集之间的关系：两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等．这就是说,如果,,,,那么,二、复数的几何意义复平面、实轴、虚轴：复数与有序实数对是一一对应关系．建立一一对应的关系．点的横坐标是,纵坐标是,复数可用点表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,也叫高斯平面,轴叫做实轴,轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数．．对于虚轴上的点要除原点外,因为原点对应的有序实数对为,它所确定的复数是表示是实数．除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数．复数复平面内的点这就是复数的一种几何意义．也就是复数的另一种表示方法,即几何表示方法．三、复数的四则运算复数与的和的定义：复数与的差的定义：复数的加法运算满足交换律:复数的加法运算满足结合律:乘法运算规则：设,<、、、>是任意两个复数,那么它们的积其实就是把两个复数相乘,类似两个多项式相乘,在所得的结果中把换成,并且把实部与虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数．乘法运算律：〔1〔2〔3复数除法定义：满足的复数<、>叫复数除以复数的商,记为：或者除法运算规则：设复数<、>,除以<,>,其商为〔、>,即∵∴由复数相等定义可知解这个方程组,得于是有:②利用于是将的分母有理化得：原式．∴<点评:①是常规方法,②是利用初中我们学习的化简无理分式时,都是采用的分母有理化思想方法,而复数与复数,相当于我们初中学习的的对偶式,它们之积为是有理数,而是正实数．所以可以分母实数化．把这种方法叫做分母实数化法．共轭复数：当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于的两个共轭复数也叫做共轭虚数．例题精讲例题精讲复数的概念已知为虚数单位,那么实数a,b的值分别为〔A．2,5B．-3,1C．-1．1D．2,[答案]D计算：〔表示虚数单位[答案]∵,而〔,故设,,则下列命题中一定正确的是〔A．的对应点在第一象限B．的对应点在第四象限C．不是纯虚数D．是虚数[答案]D．在下列命题中,正确命题的个数为〔①两个复数不能比较大小；②若是纯虚数,则实数；③是虚数的一个充要条件是；④若是两个相等的实数,则是纯虚数；⑤的一个充要条件是．⑥的充要条件是．A．1 B．2 C．3 D．4[答案]B复数为实数时,可以比较大小,①错；时,,②错；为实数时,也有,③错；时,,④错；⑤⑥正确．复数的几何意义复数〔,为虚数单位在复平面上对应的点不可能位于〔A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限[答案]A由已知在复平面对应点如果在第一象限,则,而此不等式组无解．即在复平面上对应的点不可能位于第一象限．若,复数在复平面内所对应的点在〔A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案]B结合正、余弦函数的图象知,当时,．如果复数满足,那么的最小值是〔A．1 B． C．2 D．[答案]A设复数在复平面的对应点为,因为,所以点的集合是轴上以、为端点的线段．表示线段上的点到点的距离．此距离的最小值为点到点的距离,其距离为．满足及的复数的集合是〔A．B．C．D．[答案]D复数表示的点在单位圆与直线上〔表示到点与点的距离相等,故轨迹为直线,故选D．已知复数的模为,则的最大值为_______．[答案],,故在以为圆心,为半径的圆上,表示圆上的点与原点连线的斜率．如图,由平面几何知识,易知的最大值为．复数满足条件：,那么对应的点的轨迹是〔A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线[答案]AA；设,则有,,化简得：,故为圆．[点评]①的几何意义为点到点的距离；②中所对应的点为以复数所对应的点为圆心,半径为的圆上的点．复数,满足,,证明：．设复数,在复平面上对应的点为,,由知,以,为邻边的平行四边形为矩形,,故可设,所以．也可设,则由向量与向量垂直知,,故．已知复数,满足,,且,求与的值．[答案]；4．设复数,在复平面上对应的点为,,由于,故,故以,为邻边的平行四边形是矩形,从而,则；．已知,,,求．设复数,在复平面上对应的点为,由知,以,为邻边的平行四边形是菱形,记所对应的顶点为,由知,〔可由余弦定理得到,故,从而．已知复数满足,求的最大值与最小值．[答案],设,则满足方程．,又,故当时,；当时,有．复数的四则运算已知,若,则等于〔A．B．C．D．4[答案]B．计算：．[答案]原式．已知复数,,则的最大值为〔A．B．C．D．3[答案]A,故当时,有最大值．对任意一个非零复数,定义集合．〔１设是方程的一个根,试用列举法表示集合．若在中任取两个数,求其和为零的概率；〔2若集合中只有个元素,试写出满足条件的一个值,并说明理由．[答案]〔1；〔2．〔1∵是方程的根,∴或,不论或,,于是．〔2取,则及．于是或取．〔说明：只需写出一个正确答案．解关于的方程．[答案]．错解：由复数相等的定义得．分析：",且成立"的前提条件是,但本题并未告诉是否为实数．法一：原方程变形为,．由一元二次方程求根公式得,．原方程的解为,．法二：设,则有,,由②得：,代入①中解得：或,故方程的根为．已知,,对于任意,均有成立,试求实数的取值范围．[答案]．,,对恒成立．当,即时,不等式恒成立；当时,．综上,．关于的方程有实根,求实数的取值范围．[答案]误：方程有实根,．解得或．析：判别式只能用来判定实系数一元二次方程根的情况,而该方程中与并非实数．正：设是其实根,代入原方程变形为,由复数相等的定义,得,解得．设方程的根分别为,,且,求实数的值．[答案]或．若,为实数,则且,解得．若,为虚数,则且,共轭,,解得．综上,或．用数学归纳法证明：．并证明,从而．时,结论显然成立；若对时,有结论成立,即,则对,由归纳假设知,上式,从而知对,命题成立．综上知,对任意,有．易直接推导知：故有．．若是方程〔的解,求证：．将解代入原方程得：,将此式两边同除以,则有：,即,,由复数相等的定义得．设、为实数,且,则=________．[答案]4由知,,即,故,解得,故．已知是纯虚数,求在复平面内对应点的轨迹．[答案]以为圆心,为半径的圆,并去掉点和点．法一：设〔,则是纯虚数,故,即的对应点的轨迹是以为圆心,为半径的圆,并去掉点和点．法二：∵是纯虚数,∴〔且∴,∴,得到,设〔,则〔∴的对应点的轨迹以为圆心,为半径的圆,并去掉点和点．设复数满足,求的最值．由题意,,则．设,则．当时,,此时；当时,,此时．若,,试求．[答案]∵,∴又知,∴设〔,则,∴,即,由复数相等定义得,解得．∴．故．[点评]复数的共轭与模长的相关运算性质：①设〔的共轭复数为,则；；②为实数；③为纯虚数；④对任意复数有；；,特别地有；；．⑤,．,,．以上性质都可以通过复数的代数形式的具体计算进行证明．已知虚数为的一个立方根,即满足,且对应的点在第二象限,证明,并求与的值．[答案]0；法一：,解得：或．由题意知,证明与计算略；法二：由题意知,故有．又实系数方程虚根成对出现,故的两根为．由韦达定理有．．．[点评]利用的性质：,可以快速计算一 些相关的复数的幂的问题．若〔,求证：设,则有,即,,解得,即．设是虚数,是实数,且．〔1求的值及的实部的取值范围；〔2设,求证：为纯虚数；〔3求的最小值．[答案]〔1；的实部的取值范围是；〔31．〔1设,,则,因为是实数,,所以,即．于是,,,所以的实部的取值范围是．〔2．因为,,所以为纯虚数．〔3．因为,所以,故．当,即时,取得最小值．对任意一个非零复数,定义集合．〔1设是方程的一个根,试用列举法表示集合；〔2设复数,求证：．[答案]〔1；〔2略〔1∵是方程的根,∴或,当时,∵,．∴,当时,∵,∴．∴；〔2∵,∴存在,使得．于是对任意,．由于是正奇数,,∴．已知复数,和,其中均为实数,为虚数单位,且对于任意复数,有,．〔1试求的值,并分别写出和用表示的关系式；〔2将作为点的坐标,作为点的坐标,上述关系式可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点变到这一平面上的点．当点在直线上移动时,试求点经该变换后得到的点的轨迹方程；〔3是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上?若存在,试求出所有这些直线；若不存在,则说明理由．[答案]〔1；〔2；〔3这样的直线存在,其方程为或〔1由题设,,∴,于是由,且,得,因此由,得关系式．〔2设点在直线上,则其经变换后的点满足,消去,得,故点的轨迹方程为．〔3假设存在这样的直线,∵平行坐标轴的直线显然不满足条件,∴所求直线可设为．∵该直线上的任一点,其经变换后得到的点仍在该直线上,∴,即,当时,方程组无解,故这样的直线不存在．当,由,得,解得或．故这样的直线存在,其方程为或．课后检测课后检测已知,复数的实部为,虚部为1,则的取值范围是〔A． B． C． D．[答案]C,而