内容课件分析

线性代数 线性代数是讨论矩阵理论,有限维向量空间及其线性变换理论的一门学科.线性代数在数学,物理学(量子力学),计算机图形学(数据结构),计算机辅助涉及,学等学科有重要的应用.我的研究方向是代数群和量子群,线性代数是我的这个研究方向的理论基础.大家在刚开始学这门,可能会觉得有些痛苦.可能会觉得概念太多,太抽象,这是一个正常现象.等到把这门课学完以后,会发现其实这门课一点也不抽象,很多概 二阶与三阶行列式解方程是代数中的一个基本问题.在中学中,我们解过一元,二元,三元一次方程组,一元二次方程.我们知道一元二次方程有求根公式,其实一元三次方程组,一元四次方程组也有根式求解,但是一般高于四次的一元方程是不能用根式求解的.这个问题是伽罗瓦通过引入群的概念彻底解决的,他把一元高次方程的根式求解问题转化为群论的问题,然后通过研在这门课程当中我们不讨论高次方程组的求解问题,我们讨论的是多元一次方程组的求解问题,也就是讨论线性方程组的求解问题.在这本书的前面三章中,我们主要讨论多元一次方程组的求解问题第二章引进矩阵的概念,并且讨论矩阵的一些基本性质a11x1a12x2我们现在来看一个二元一次方程组axaxb,x1x2是未知数21 22 若aaa 0,则xb1a22b2a12,xa11b211 12 a aa a a

11 12 11 12令称为二阶行列式

a11a22

a

中,a11a22的斜线称为主对角线.a12a21的斜线称为 对角线.a11a22a12aa12a21的乘积例 26353 ba ba

a12,babaa

b1.则x ,,x ..1b1 2b2

2 1ab ab2

,x的分子也是二阶行列式,

aa

i

aa

§2全排列及其逆序数定义:由1, ,n组成的一个有序数组称为一个n级排列例如231是一个三级排列.所有的三级排列:123,132,213,231,312,定义:在一个排列中,如果一对数的前后位置与大小顺序相反,即前面的数大于后面的数,则称之为一个逆序,一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数.例如:排列2431中,21,43,41,31都是逆序.2431的逆序数是4记(j1 jn)排列j1 jn的逆序数定义:逆序数为偶数的排列称为偶排列,逆序数为奇数的排列称为奇排列.例:(2431)4,所以2431是偶排列.(3214)3,所以3214是奇排列逆序数的计算：设p1 pn为1, ntt1t2 tn其中tipipi大的数的个数.是求和符号,表示把所有的ti加起来,i从1n例 求排列1 (2n (2n)的逆序数解:t10,t20 ,tn0,2ntn1n1,tn2n2 所以(1 (2n (2n))ti(n1)(n2) 0 i §3n 二阶行列式aa11a22a12a21aj a1ja2j j12是一个二级排其中j1j2j1j2Σ是对所有二级排列求和三阶行列式的定义

a11a22a33a12a23a31 1(j1j2j3)a 1j12j23n阶行列式的定义an其中n阶行列式的定义an(j1j2jnj1j2jn是一个n列

annj简记为det(aij).其中(j1j2 jn)一个排列j1j2 为主对角线.a1nan1的斜线称为副对角线列式的(ij元

aij位于这个行列式的第ij列,称为, a1ja2

是行列式的不不同列的元素的乘积a1ja1j2 na积顺序是按照行指标来排列的,行指标是按照自然顺序12 n排列,求和是对列指标求和,列指标取遍所有的n级排列.由上可知,n阶行列式恰好是它的 ★例1.证

(n1)n 21 2

1 证:记a111,a,,annn.因为行列式等于不n 和,a11以外其余元素都是零,a11,a22以外其余元素都是零,a22,nann以外其余元素都是零,所以第n行只能取ann,所

(1)(12n)a

11

1 记b1n1,b2,n12,

bn1n.因为行列式等于不不同列的n个元素的代数和行列式的第一行只能取b1n,第二行只能取b2,n1,n行只能取bn1b0b

(1)(n(n1)21)b

1n 1 ★例2.证明

ann下三角行列式

a

a上三角行列式

11 证:只证(1).因为行列式的第一行除了a11以外其余元素都是零,a11,第二行除了a12和a22以外其余元素都是零,但是因为行列式等于不不同列的n个元素的代数和,a12a11在同一列,a12,a22,n行只能取ann

(1)(12n)a .□

11定理an

i1i2in是一个n列

(i1i2in nin§5行列式的性质记

an

,DT

an

D的转置行列式例D

6

DT

6798 9 798注意D的(i,j元＝DT的(i,j元.性质1.DDT. DT

b2n.

aji由上面的定理知DT(1)(i1i2in)b i1i2

i11i2 in(i1i2in)1i i1i2D 2.ri表示行列式的第i行,ci表示行列式的第i,交换行列式的ijrirj,1(或cicj 例D 6 6.D 46 6

推论.若行列式有两行（或两列）完全相同,则此行列式为0r证:设行列式D的第i行和第j行完全相同.则DjD,DD.所以D0 123例D4560123性质 行列式的第i行(或列)乘以k,记为kri(或kci 例

k 6 性质 例 6k4 60

a1i

a2i

a2n ani a 例 c 6 6 6 e

性质 把行列式的第j行的k倍加到第i行,记作rikrjjk倍加到第i列,记作cikcjriDD1D1D(或cikcj r 例 4 5 63k 计算行列式

一.rirjrikrj可把行列式化简成上三角行列式123r123r 258r338 1232

r3r3

1 21

3r4 012012 1402140001

2 abbbbabbbbabbabbbbabbbbabbbbac

a

rra rrD rrD

a 解

a3b a

a a(a3b)(ab)3 例4.计算Dn 1111

0n11 n10 解:Dn1

n11 1

(1)n1(n1) n11 1

nn11 0 5.

5.D

a323a33a223a23a12

a23解:

c2c2

r1r1

a21

5 akk

★6.

0

dd

bb

b bdd

证:我们只证明(1),类似可以证明(21)D D1

aa

,D2

bbD2

若干次ri若干次rikrj的运ak若干次rikrj的若干次rikrj的运bk

ak n 所以D

a bDD k 1 二.

7.计算2nD2n

00 00 解:第2n行依次与第2n1行,第2n2行, ,第2行对换.第2n列依次与第2n1列,第2n2列, ,第2列对换.

0

(1)2(2n2)(ad 4r3r34r3r3例如D

04c4c3

b

d记xD,xnadbc,xD b(adbc) 所以 xx(adbc)n1(adbc)n §6行列式按行（列）一般来说,高阶行列式的计算比较复杂.在这一节当中我们讨论如何把高阶行列式的计算题化简成低阶行列式的计算问题.为了达到这个目的,我们引入 在n阶行列式中，把元素aij所在的第i行、第j列划去，剩下的元素按原来的排 式，记为M；而A1ijM称为a的代数子式

aa aa

例在

中,

13

,a的代数式

A(1)21 M 引理 若行列式D中的第i行所有aik(kj)为零， a1 D DaijAij

riri1,ri1 ,r2 i1j1a1 证 Dc , ,

c j j

ij1ijaMaA ij定理

ai1Ai1ai2Ai2 ainAini1 n(行列式按第i行展开

a1jA1ja2jA2j anjAnjj1 n(行列式按第j列展开 证： ai10 0 0ai2 0 00 an

0

an

an

an ai1Ai1ai2Ai2 ainAin 23000120001.D45230.6712389012 3

0r

16解D

2010020xx0 2010020xx0

4 2.D100x02x0100x02x00x300004解:

00的根

(4x2)(6x2) 4所以D的根是2, 111111n

(xx) 1 (其中是连乘符号,xixj乘起来,i,j满足条件1jin例如.D2x2x1,D3x2x1)(x3x1)(x3x2D4(x2x1)(x3x1)(x4x1)(x3x2)(x4x2)(x4x3)证:n归纳.n2时显然成立rnrnrn1r2 x2xx

x(xx

xnx2xxx(xx 1 1 xn2xxn3xn3(xx xn2xxn3xn3(xx 1 1 xn1xxn2xn2 x xn1xxn2xn2(xx 1 1 (xx

x

xx(x2x1 (xnx1)2

x(xixj)x1

(xixj) 定理的推 ai1Aj1ai2Aj2 ainAjn0ia1iA1ja2iA2j aniAnj0i

jj 证 aj1Aj1aj2Aj2 a 0

ai1Aj1ai2Aj2 ainAjn(因为两个行列式只有第j行不同,所以它们的第j行的代数式对应相等.) aAaA a

iji1 i2j in

i aAaA a i

1i1 2i2 ni

i性质.

中aij的代数式是AijD b1Ai1b2Ai2 证:因为两个行列式只有第i行不同,所以它们的第i行的代数式对应相等按第i行展D□a1,ja1,jan,jan,jb1A1jb2A2j 21 0 13 例.设D ,D的(i,j) 21 0 13 A11A12A13A14M11M21M31M41 11 0解:A11A12A13A14

4 121101313M11M21M31M41A11121101313

§7法11 12 1n axax axbaxax11 12 1n 21 22 2n an1x1an2x2 annxn

的系数行列式D

0,则(1)有唯一解:xD1,xD2 ,xDn a1,j

a1,

Dj

an,j an,j 在第三章中我们可以证明定理.(1)有唯一解det(aij)0非齐次线性方程组 b1,b2 ,bn不全为0齐次线性方程组 b1b2 bn0a11x1a12x2 a1nxnaxax ax21 22 2n an1x1an2x2 annxnx1x2 xn0一定是(2)的解,称为(2)的零解2)的其它解称为(2)的非零解定理 (2)只有零解D逆否命题2)有非零解D0证:由上面的定理知(2)只有零解(2)有唯一解D0 x13x27x3 1.求2x4x3x 3x7x2x 解:D

3196,D1 354,D2

338

D 180.

D1

27,x

D219

D3

20 3

D (5)x2y2z例2.问取何值时,齐次线性方程组2x(6) 0(*)有非零解 (4)z5 解:(*)有非零解 6 0. 45 6 4

(31526680)所以(*)有非零解315266800问题:如何对31526680进行因式分解定理.设f()an n