个人住房抵押贷款以及其它金融问题

个人住房抵押贷款以及其它金融问题数学试验正如文学诱导人们的情感一样，数学启发人们的想象与推想。—Chaserole方法就是把我们应留意的事物进行适当的整理和排列.─R.Descartes试验目的

●介绍差分方程●复习：数列及其极限、线性代数方程组、矩阵及其运算、方程的求根●运用Mathematica进行迭代运算、求根、矩阵等运算●学习相关问题建模背景随着经济的发展，金融正越来越多地进入一般人的生活：贷款、保险．养老金和信用卡等；个人住房抵押贷款是其中重要的—项。个人住房商业抵押贷款养老保险金融公司的支付基金的流淌本节主要探讨：小学问——个人住房贷款个人住房贷款是指银行向借款人发放的用于购买自用一般住房的贷款。借款人申请个人住房贷款时必需供应担保。目前，个人住房贷款主要公积金贷款、商业贷款和组合贷款三种。1、住房公积金贷款:是指由各地住房公积金管理中心运用职工以其所在单位所缴纳的住房公积金，托付商业银行向缴存住房公积金的在职职工和在职期间缴存住房公积金的离退休职工发放的房屋抵押贷款2、个人住房商业贷款:是中国公民因购买商品房而向银行申请的一种贷款，是银行用其信贷资金所发放的自营性贷款。3、组合贷款:是指符合个人住房商业性贷款条件的借款人又同时缴存住房公积金的，在办理个人住房商业贷款的同时还可以申请个人住房公积金贷款，及借款人以所购本市城镇自住住房（或其他银行认可的担保方式）作为抵押可同时向银行申请个人住房公积金贷款和个人住房商业性贷款。首付比例：买房子时不能全部贷款。要先付一部分，余下的从银行贷款。现在的要求是付房款的20%-30%。因为考虑到贷款的还款风险，相关的部门都会要求购房人供应一部分首付，就是预先由个人支付一部分房款，以证明你有还款实力。还款方式贷款期限在一年以上的房屋贷款还款方式一般有等额本金还款和等额本息还款两种。1、等额本金是在还款期内把贷款数总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余贷款在该月所产生的利息。每月还款金额=（贷款本金/还款月数）+（本金—已归还本金累计额）×每月利率特点：由于每月的还款本金额固定，而利息越来越少，贷款人起初还款压力较大，但是随时间的推移每月还款数也越来越少。2、等额本息在还款期内，每月偿还同等数额的贷款(包括本金和利息)。每月还款金额=［贷款本金×月利率×（1＋月利率）＾还款月数］÷［（1＋月利率）＾还款月数－1］特点：相对于等额本金还款法的劣势在于支出利息较多，还款初期利息占每月供款的大部分，随本金渐渐返还供款中本金比重增加。但该方法每月的还款额固定，可以有支配地限制家庭收入的支出，也便于每个家庭依据自己的收入状况，确定还贷实力。实际案例

1998年12月，中国人民银行公布了新的存、贷款利率水平,其中贷款利率如下表所列:●中国人民银行再次调整存、贷款利率贷款期限 半年1年3年5年5年以上利率/％ 6.12 6.39 6.667.207.56

(当贷款期处于表中所列相邻年限之间时，利率为对应相邻两数中较大者.)最新贷款利率表（2010年10月20日）贷款期限 半年1年3年5年5年以上利率/％ 5.10 5.565.605.966.14

依据央行的贷款利率表，上海商业银行对个人住房商业性贷款利率作出相应调整，公布新的利率表和还款表

个人住房商业抵押贷款年利率表贷款期限1年2年 3年4年5年利率（％）6.1206.2556.3906.5256.660

个人住房商业抵押贷款(万元)还款表

贷款期年123 45

月1224364860月还款额到期一次还清

444.356305.9896237.2649196.4118本息总额10612.010664.5411015.6311388.7111784.71

提出问题个人住房商业抵押贷款年利率表和个人住房商业抵押贷款还款表是如何依据中心银行的贷款利率水平制定的？

分析一下年利率和月还款额表：贷款期限1年2年3年4年5年利率（％）6.1206.2556.3906.5256.660贷款期年123 45

月1224364860月还款额到期一次还清

444.356305.9896237.2649196.4118本息总额10612.010664.5411015.6311388.7111784.71建立模型

(差分方程)则由Ak到Ak+1，应有

Ak+1-Ak＝rAk-m即得模型

Ak+1＝(r＋1)Ak-m(k=0,1,…)其中r为利息，当然应当用月利率r＝0.06255/12＝0.0052125设贷款后第k个月时欠款余数为Ak,月还款额m元另外明显有A0＝10000分析求解●月还款额的确定令

Bk＝Ak－Ak－1,(k＝1，2,...)推得

Bk+1＝(1+r)Bk(等比)从而

Bk+1＝B1(1+r)k利用以上关系导出

Ak＝A0(1+r)k－[(1+r)k－1]m/r

Bk+1＝Ak+1－Ak

＝((r＋1)Ak-m)－((r＋1)Ak-1-m)A0＝10000,k＝24,A24=0r＝0.0052125M＝[A0(1+r)kr]/[(1+r)k－1]=52.125(1.0052125)24/[(1.0052125)24－1]In[1]:=

52.125*1.0052125^24/(1.00125^24-1)Out[1]=

444.356(24个月还款本息总额10664.54元)考虑二年期状况：运用Mathematica●年利率如何得到

比较央行公布贷款利率与上海住房商业贷款，有数字相同：6.12％、6.66％，但年限不同

中间年限的利率如何得出(建议作图，从得到线性插值)任务1：制定住房商业性贷款利率表和还款表●还款周期越短越好吗假如逐年还款，对二年期贷款，用公式Ak＝A0(1+r)k－[(1+r)k－1]m/r其中:r=0.06255应为年利率k=2年还款额为m=5473.867元本息总额2m=10947.63元，比逐月还款本息总额10664.54元多任务2：探讨还款周期问题对于公式

Ak+1＝(r＋1)Ak–m(*)平衡点若

Ak+1＝Ak=A则

A=m/r成为方程（*）的平衡点由此若

A0＝m/r则衡有

Ak＝m/r这就意味着假如贷款利率r和月还款额m固定，第一个月还m/r,正好抵上利息，每个月的欠款额始终不变。(稳定）若第一个月还款大于或小于m/r，则欠款额就会远离m/r（不稳定）对于一般差分方程

Ak+1＝f(Ak)平衡点（续）当时始值A0稍大于或小于差分方程的平衡点A时若有AkA(k∞)称A为稳定的，否则称A为不稳定的

推断A是否稳定的方法是：|f'(Ak)|<1,A是稳定的|f'(Ak)|>1,A是不稳定的其它金融或经济问题●养老保险某保险公司的一份材料指出：在每月交费200元至60岁起先领取养老金的约定下，男子若25岁起投保，届时月养老金2282元；若35岁起投保，月养老金1056元；若45岁起投保，月养老金420元.●问题交保险费所得利率如何？(假定投保人所得完全由其交款及利息产生)(留意：明显结果依于投保人寿命)

设投保人在投保后第k个月所交保险费及利息的累计总额Fk为，那么易得到数学模型为分段表示的差分方程Fk+1=Fk(1+r)＋p,k=0,1,…,NFk+1=Fk(1+r)－q,k=N+1,…,M其中p、q分别为60岁前所交月保险费和60岁起所领月养老金的数目(元)，r是所交保险金获得的利率，N,M分别是自投保起至停交保险费和至停领养老金的时间(月).明显M依靠于投保人的寿命,取M=75(岁)（统计平均值）以25岁起投保为例,则有

P=200,q=2282;N=420,M=600

如前可推出差分方程的解Fk=F0(1+r)k＋[(1+r)k－1]p/r,k=0,1,…,N

Fk=FN(1+r)k－N

＋[(1+r)k－1]q/r,k=N+1,…,M在前一式取k=N，后一式取k=M，且留意F0=FM=0，消去FN，(1+r)M－(1+q/p)(1+r)M－N+q/p

＝0记x＝

1+r，

代入数据

x600－12.41x180＋11.41＝0(Newton法,方程求根)运用MathematicaIn[2]:=FindRoot[x^600-12.41x^180+11.41==0,{x,1.01}]Out[1]={x->1.00485}x＝1.00485,r

＝0.00485交保险费所得月利率为0.00485

年利率为0.0582某保险公司的推出结合养老的寿险支配，例子为：若40岁的男性投保人每年交保险费1540元，交费期20年至60岁任务3：一个人寿保险支配的利率分析

试分析：若该投保人的寿命为76岁，其交保险费所获得的实际年利率是多少？若该投保人的寿命为74岁，其交保险费所获得的实际年利率又是多少？

则在他生存时期，45岁时(投保满5年)可获返还补贴4000元，50岁时可获返还补贴5000元，其后每隔5年可获增幅为1000元的返还补贴；而在投保人去世或残废时，其受益人可获保险金20000元

每过一周

A城公司基金10％→

B城公司

A城公司←B城公司基金12％●金融公司的支付基金的流淌(形式的推广)新问题总额$540万基金,放置A公司和B公司要求：周末结算时总额仍为$540万A公司基金额A0＝$260万B公司基金额B0＝$280万●问题资金流淌趋势？会否少于警戒数＄220(万)●数学模型

设第k周末结算时,A城公司和B城公司支付基金数分别为ak和bk(单位:万美元),则有

差分方程组ak+1=0.9ak+0.12bkbk+1=0.1ak+0.88bk●视察数据通过对数据的观测估计结论(12周数据)For[a[0]=260;b[0]=280;k=0,k<=12,k++,Print[k];a[k+1]=0.9a[k]+0.12b[k];Print[a[k]//N];b[k+1]=0.1a[k]+0.88b[k];Print[b[k]//