中考数学频考点突破-解直角三角形及其应用VIP

中考数学频考点突破--解直角三角形及其应用1．如图，点O是边长为4的等边三角形ABC的中心，∠EOF的两边与△ABC的边AB，BC分别交于E、F，∠EOF＝120°.（1）如图①，当E为AB中点时，求∠EOF与△ABC的边所围成的四边形OEBF的面积；（2）如图②，∠EOF绕点O旋转.在旋转过程中四边形OEBF的面积会改变吗？请说明理由.2．一酒精消毒瓶如图1，AB为喷嘴，△BCD为按压柄，CE为伸缩连杆，BE和EF为导管，其示意图如图2，∠DBE＝∠BEF＝108°，BD＝6cm，BE＝4cm．当按压柄△BCD按压到底时，BD转动到BD′，此时BD′∥EF（如图3）．（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）（1）求点D转动到点D′的路径长；（2）求点D到直线EF的距离（结果精确到0.1cm）．3．如图，以AB为直径的⊙O经过点C，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，D是⊙O上于点，且BC=CD，弦AD的延长线交切线PC于点E，连接AC．（1）求∠E的度数；（2）若⊙O的直径为5，sinP=354．小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，当显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图1），侧面示意图如图2.使用时为了散热，她在底板下垫入散热架ACO'后，电脑转到AO'B'位置（如图3），侧面示意图为图4.已知OA=OB=24cm，O'C⊥OA于点C，O'C=12cm.（1）求∠CAO'的度数.（2）显示屏的顶部B'比原来的顶部B升高了多少？（3）如图4，垫入散热架后，要使显示屏O'B'与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏O'B'应绕点O''按顺时针方向旋转多少度？并说明理由.5．如图，已知正方形ABCD，AB＝2，E是对角线BD上一点，F是射线CB上一点，且EF＝EC．（1）求证：AE＝EF；（2）若BE＝AB，请在图2中补全图形，判断AF与EC的位置关系并加以证明；（3）当点E从点B运动到点D的过程中，求线段FB与BE满足怎样的等量关系．6．如图所示，AC与⊙O相切于点C，线段AO交⊙O于点B.过点B作BD//AC交⊙O于点D，连结CD,OC，且OC交DB于点E.若∠CDB=30°,DB=53（1）求∠COB的大小和⊙O的半径长.（2）求由弦CD,BD与弧BC所围成的阴影部分的面积（结果保留π）.7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，O为BC上一点，以O为圆心，OB为半径的⊙O交AB于另一点D，E为AC上一点，且AE=DE.（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若OB=2，OC=1，tanA=128．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90º，AO是△ABC的角平分线.以O为圆心，OC为半径作⊙O.（1）求证：AB是⊙O的切线.（2）已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于点D，tan∠ADC＝23，求AE9．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于点D，点E为线段BC的中点，AD＝2，tanA＝2．（1）求AB的长；（2）求DE的长．10．如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点（点E在点F左侧），且∠AEB=∠CFD=90°.（1）求证：四边形AECF是平行四边形.（2）当AB=5，tan∠ABE=34，∠CBE=∠EAF11．校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于21米，在l上点D的同侧取点A、B，使∠CAD=30°，∠CBD=60°．（1）求AB的长(精确到0.1米，参考数据：3≈1.73，（2）已知本路段对校车限速为40千米／小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速?说明理由．12．如图1，滑动调节式遮阳伞的立柱AC垂直于地面AB，P为立柱上的滑动调节点，伞体的截面示意图为ΔPDE，F为PD中点，AC=2.8m，PD=2m，CF=1m，∠DPE=20∘.当点P位于初始位置P0时，点D与C（参考数据：sin70∘≈0.94，cos70∘≈0.34，（1）上午10:00时，太阳光线与地面的夹角为65∘（图3），为使遮阳效果最佳，点P需从P0上调多少距离？（结果精确到（2）中午12:00时，太阳光线与地面垂直（图4），为使遮阳效果最佳，点P在（1）的基础上还需上调多少距离？（结果精确到0.1m）13．在一次数学综合实践活动中，小明计划测量城门大楼的高度，在点B处测得楼顶A的仰角为22°，他正对着城楼前进21米到达C处，再登上3米高的楼台D处，并测得此时楼顶A的仰角为45°.（1）求城门大楼的高度；（2）每逢重大节日，城门大楼管理处都要在A，B之间拉上绳子，并在绳子上挂一些彩旗，请你求出A，B之间所挂彩旗的长度（结果保留整数）.（参考数据：sin22°≈38，cos22°≈1516，tan22°≈14．如图1，某游乐场建造了一个大型摩天轮，工程师介绍：若你站在摩大轮下某处（A点）以30°的仰角恰好可以看到摩天轮圆轮的底部（C点），可测得AC的长度为30m，以63°的仰角可以看到摩天轮圆轮的最上方（D点），如图2，设摩天轮圆轮的直径CD垂地面于点B，点A，B在同一水平面上．（人的身高忽略不计，参考数据：3≈1（1）求AB的长；（2）求摩天轮的圆轮直径（即CD的长）．15．如图，某居民楼AB的前面有一围墙CD，在点E处测得楼顶A的仰角为25°，在F处测得楼顶A的仰角为45°，且CE的高度为2米，CF之间的距离为20米（B，F，C在同一条直线上）.（1）求居民楼AB的高度.（2）请你求出A、E两点之间的距离.（参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，16．随着科技进步，无人机的应用越来越广，如图，在某一时刻，无人机上的探测器显示，从无人机A处看一栋楼顶部B点的仰角和看与顶部B在同一铅垂线上高楼的底部c的俯角．（1）如果上述仰角与俯角分别为30。与60。，且该楼的高度为30米，求该时刻无人机的竖直高度CD．（2）如果上述仰角与俯角分别为α与β，且该楼的高度为m米．求用α、β、m表示该时刻无人机的竖直高度CD．

答案解析部分1．【答案】（1）解：连接OB，∵点O是边长为4的等边三角形ABC的中心，∴∠ABO＝∠CBO＝30°，∵当E为AB中点时，∴AE＝BE＝2，OE⊥AB，∴∠BOE＝60°，OE=2∵∠EOF＝120°，∴∠BOF＝60°，∴∠BFO＝180°﹣30°﹣60°＝90°，∴BF＝CF＝2，∴OF=2∴四边形OEBF的面积＝12（2）解：不变，理由如下：连接OB、OC，过点O作ON⊥BC，垂足为N，∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵点O为△ABC的中心∴∠OBC＝∠OBA＝12∠ABC，∠OCB＝1∴∠OBA＝∠OBC＝∠OCB＝30°.∴OB＝OC.∠BOC＝120°，∵ON⊥BC，BC＝4，∴BN＝NC＝2，∴ON＝tan∠OBC•BN＝33∴S△OBC＝12BC•ON＝4∵∠EOF＝∠BOC＝120°，∴∠EOF﹣∠BOF＝∠BOC﹣∠BOF，即∠EOB＝∠FOC，在△EOB和△FOC中，∠BOE=∠OCF∴△EOB≌△FOC（ASA），∴S△EOB＝S△FOC，∴S四边形OEBF＝S【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；解直角三角形；几何图形的面积计算-割补法【解析】【分析】（1）连接OB，由等边三角形的性质可得∠ABO＝∠CBO＝30°,分别求出OE,OF的长,由面积公式可求解；

（2）连接OB、OC,过点O作ON⊥BC,垂足为N,由“ASA”可证△EOB≌△FOC,可得S△EOB＝S△FOC,由面积公式可求解.2．【答案】（1）解：如图3，∵BD'∥EF，∠BEF=108°，

∴∠D'BE=180°-∠BEF=72°，

∵∠DBE=108°，

∴∠DBD'=∠DBE-∠D'BE=108°-72°=36°，

又∵BD=6，

∴点D转动到点D’的路径长=36π×6180=6π（2）解：如图4，过点D作DG⊥BD于点G，过点E作EH⊥BD于点H，

DG=BDsin36°≈3.54，

EH=BEsin72°≈3.80，

∴DG+EH=3.54+3.80=7.34≈7.3，

又∵BD'∥EF，

∴点D到直线EF的距离约为7.3cm.【知识点】解直角三角形的应用；旋转的性质【解析】【分析】（1）根据平行线的性质求出∠D'BE，然后根据角的和差关系，结合旋转的性质求出旋转角∠DBD'的大小，然后根据弧长公式计算即可；

（2）过点D作DG⊥BD于点G，过点E作EH⊥BD于点H，根据三角函数的定义分别求出DG和EH，然后根据线段的和差关系即可求出结果.3．【答案】（1）解：连接OC．∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA．∵BC=CD，∴∠OAC=∠CAD．∴∠OCA=∠CAD，∴OC∥AE．∴∠E=∠OCP．∵PE是的切线，C为切点，∴∠OCP=90°．∴∠E=90°（2）解：在Rt△ABD中，OC=2.5，sin∠P=OCOP=3∴OP=256在Rt△APE中，AP=256+2.5=203，sin∠P=AEAP∴AE=4．【知识点】切线的性质；解直角三角形【解析】【分析】（1）连接OC．根据等腰三角形的性质得到∠OAC=∠OCA．∠OAC=∠CAD．推出OC∥AE．根据平行线的性质得到∠E=∠OCP．根据切线的性质即可得到结论；（2）解直角三角形即可得到结论．4．【答案】（1）解：∵O'C⊥OA,OA=OB=24cm，∴sin∠CAO'=∴∠CAO'=30（2）解：如图，过点B作BD⊥AO交AO的延长线于点D.∵sin∠BOD=∴BD=OB⋅sin∵∠AOB=120∴∠DOB=60∴BD=OB⋅sin∵O'C⊥OA,∠CAO'=30∴∠AO'C=60∵∠AO'B'=120∴∠AO'B'+∠AO'C=180∴O'B'+O'C−BD=24+12−123∴显示屏的顶部B'比原来顶部B升高了(36−123（3）解：显示屏O'B'应绕点O'按顺时针方向旋转30°.理由如下：设电脑显示屏O'B'绕点O'按顺时针方向旋转α角至O'E处，O'F//OA.∵显示屏O'E与水平线的夹角仍保持120°，∴∠EO'F=120∵O'F//OA，∴∠FO'A=∠CAO'=30∵∠AO'B'=120∴∠EO'B'=∠FO'A=30°，即∴显示屏O'B'应绕点O'按顺时针方向旋转30°.【知识点】解直角三角形的应用【解析】【分析】（1）先求出该角的正弦值，根据特殊函数值求出角的度数，即可得出答案；（2）先求出BD的长度，再证明∠AO'B'和∠AO'C互补，即B′、O′、C三点在同一条直线上，故B′C与BD的差即为所求；（3）先根据O'F//OA5．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ADB＝∠CDB＝45°又∵DE＝DE∴△ADE≌△CDE（SAS）∴AE＝EC∵EF＝EC，∴AE＝EF（2）解：AF∥EC，理由如下：∵AB＝BE＝BC，∠ABD＝∠DBC＝45°∴∠BAE＝∠AEB＝∠BEC＝∠BCE＝67.5°∵EF＝EC∴∠EFC＝∠ECF＝67.5°∴∠FEC＝45°，∠BFE＝112.5°∵∠BAE+∠AEF+∠BFE+∠ABF＝360°∴∠AEF＝90°，且AE＝EF∴∠AFE＝45°∴∠AFE＝∠FEC＝45°∴AF∥EC（3）解：若点F在点B左侧，如图1，过点E作EM⊥BC，∵EF＝EC，EM⊥BC∴MC＝FM，∵∠DBC＝45°，EM⊥BC∴BM＝22∵AB＝BC＝BM+MC＝BM+BF+BM＝2BM+BF∴2＝2BE+BF若点P在线段BC上，如图，过点E作EN⊥BC，∵EF＝EC，EN⊥BC∴FN＝NC∵∠DBC＝45°，EN⊥BC∴BN＝22∵AB＝BC＝BN+CN＝BN+BN﹣BF＝2BN﹣BF∴2＝2BE﹣BF【知识点】平行线的判定；三角形全等及其性质；正方形的性质；解直角三角形；四边形-动点问题【解析】【分析】（1）利用正方形的性质，可证CD＝AD，∠ADB＝∠CDB，再利用SAS证明△ADE≌△CDE，利用全等三角形的性质，易证AE＝EC，结合已知可证得结论。

（2）根据AB＝BE＝BC，∠ABD＝∠DBC＝45°，可证得∠BAE＝∠AEB＝∠BEC＝∠BCE＝67.5°，再利用等腰三角形的性质，可证∠EFC＝∠ECF＝67.5°，再证明∠AFE＝∠FEC，然后利用平行线的判定定理，可证得结论。

（3）分情况讨论：若点F在点B左侧，如图1，过点E作EM⊥BC，利用已知条件易证MC＝FM，BM＝22BE，再证明AB＝2BM+BF，就可求得线段FB与BE的数量关系；若点P在线段BC上，如图，过点E作EN⊥BC，由EF＝EC，EN⊥BC，可证得FN＝NC，再证明BN＝226．【答案】（1）解：∵AC与⊙O相切于点C，∴∠ACO=90°，∵BD∥AC，∴∠BEO=∠ACO=90°，∴DE=EB=12BD=5∵∠D=30°，∴∠O=2∠D=60°，在Rt△BEO中，sin60°=BEOB∴32∴OB=5，即⊙O的半径长为5cm.（2）解：由（1）可知，∠O=60°，∠BEO=90°，∴∠EBO=∠D=30°，又∵∠CED=∠BEO，BE=ED，∴△CDE≌△OBE，∴S阴=S扇OBC=60360π•52=25π6（cm答：阴影部分的面积为25π6cm2【知识点】切线的性质；扇形面积的计算；解直角三角形【解析】【分析】（1）先由切线性质得到∠ACO=90°，再由BD∥AC，得到∠BEO=∠ACO=90°，进而得到∠O=2∠D=60°，在Rt△BEO中，根据sin60°=BEOB即可得到OB.

（2）根据△CDE≌△OBE，将阴影部分面积转化为S扇OBC7．【答案】（1）证明：连接OD，∵OB=OD，∴∠B=∠ODB，∵AE=DE，∴∠EDA=∠A，∵∠ACB=90°，∴∠B+∠A=90°，∴∠ODB+∠EDA=90°，∴∠ODE=90°，∴DO⊥ED，∴ED是⊙O的切线（2）解：延长BC交圆O于点F，连接DF，∵BF是圆O的直径，∴∠BDF=90°，∵∠BCA=90°，∠B的余角相等，∴∠F=∠A，∵OB=2，OC=1，tanA=12，∴BF=4，tanF=12，∴BD2+∵BC=OB+OC=3，tanA=12，∴AC=6，∴AB=BC2+AC2=3过点E作EG⊥AD，垂足为G，∵AE=DE，∴DG=AG，设EG=x，则AG=2x，AE=5x，∴4x=1155，∴x=11520，∴5x=11520【知识点】余角、补角及其性质；勾股定理；切线的判定；解直角三角形【解析】【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质可得∠B=∠ODB，∠EDA=∠A，由∠B+∠A=90°，可得∠ODB+∠EDA=90°，即∠ODE=90°，可得DO⊥ED，且OD为圆的半径可得ED是⊙O的切线；（2）延长BC交圆O于点F，连接DF，由直径所对的圆周角是直角和同角的余角相等可得∠F=∠A，由tanA=12可得tanF=12，由勾股定理可得BD、AB的长度，即可得AD的长度，过点E作EG⊥AD，垂足为G，由等腰三角形的性质可得AG的长度，由tanA=8．【答案】（1）证明：过点O作OF⊥AB，∵∠ACB=90°，∴OC⊥AC，又∵OA是∠CAB的角平分线，∴OF=OC，∴AB是⊙O的切线.（2）解：连接CE，∵DE是⊙O的直径，∴∠ECD=90°，∴tanD=CECD∵OC=OD，∴∠OCD=∠ADC，又∵∠AEC=∠ECD+∠ADC=90°+∠ADC，∠ACD=∠ACO+∠OCD=90°+∠OCD=90°+∠ADC，∴∠AEC=∠ACD，∵∠CAE=∠CAD，∴△AEC∽△ACD，∴AEAC【知识点】圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；解直角三角形【解析】【分析】（1）过点O作OF⊥AB，利用角平分线的性质可证得OF=OC，再根据OC⊥AC，可证得AB是圆O的切线；

（2）连接CE，利用直径所对的圆周角等于90°可证得∠ECD=90°，利用锐角三角函数的定义可得到CE与CD的比值，再证明∠AEC=∠ACD，由此可得到△AEC∽△ACD，利用相似三角形的对应边成比例，可求出AE与AC的比值.9．【答案】（1）解：∵BD⊥AC，且tanA＝2．∴BDAD∵AD＝2，∴BD＝4，∴AB＝A（2）解：在Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，且tanA＝2．∴BCAB∵AB＝25∴BC＝45∵BD⊥AC，且E点为线段BC的中点，∴DE＝12BC＝【知识点】解直角三角形【解析】【分析】利用∠ABD的正切值求出BD的长，再利用勾股定理列式进行计算即可求出AB；根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE=CE，再根据等边对等角的性质可得∠EDC=∠C，再根据同角的余角相等求出∠C=∠ABD，然后根据锐角的正弦等于对边比斜边列式进行计算即可得解．10．【答案】（1）证明：∵∠AEB=∠CFD=90°，∴AE//CF，在▱ABCD中，AB//CD，AB=CD，∴∠ABE=∠CDF，∴△ABE≌△CDF(AAS)，∴AE=CF，∴四边形AECF是平行四边形（2）解：∵△ABE≌△CDF，∴BE=DF，∵四边形AECF是平行四边形，∴∠EAF=∠FCE，在Rt△ABE中AB=5，tan∠ABE=∴AE=3，BE=4.∵BE=DF，AE=CF，∴BE=DF=4，AE=CF=3，∵∠EAF=∠FCE，∠CBE=∠EAF，∴∠CBE=∠ECF，∴tan∠CBF=CFBE+EF=3∴34+EF=EF3，得到EF=∴BD=4+4+13−2=6+即BD=6+【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；锐角三角函数的定义；解直角三角形；三角形全等的判定（AAS）【解析】【分析】（1）根据平行线的推论可知AE//CF，再利用平行四边形的性质，根据角角边定理证明△ABE≌△CDF，得出AE=CF，则可证得结果；

（2）由△ABE≌△CDF得出BE=DF，根据平行四边形的性质得出∠EAF=∠FCE，在Rt△ABE中，利用三角函数定义求出AE和BE，则可得出DF和CF的长，再推出∠CBF=∠ECF，然后利用正切三角函数分别把tan∠CBF和tan∠ECF用EF表示出来，根据其正切值相等构建方程求出EF，最后根据线段间的和差关系求BD即可.11．【答案】（1）解：由题意得，在Rt△ADC中，AD=CDtan30在Rt△BDC中，BD=CD∴AB=AD－BD=213（2）解：∵汽车从A到B用时2秒，∴速度为24.2÷2=12.1（米/秒），∵12.1米/秒=43.56千米/小时，∴该车速度为43.56千米/小时．∵43.56千米/小时大于40千米/小时，∴此校车在AB路段超速．【知识点】解直角三角形的应用【解析】【分析】（1）分别再Rt△ADC和Rt△BDC中，利用正切函数，即可求出AD与BD的长，从而求出AB的长；

（2）由从A到B用时2秒，即可求得这辆车的速度，比较与40千米每小时的大小即可确定是否超速。12．【答案】（1）解：如图2，当点P位于初始位置P0时，C如图3，10:00时，太阳光线与地面的夹角为65∘，点P上调至P∠1=90∘，∠CAB=90∘∴∠CP∵∠DP1E=20∵CF=P1F=1m，∴ΔCP1F为等腰直角三角形，∴P0即点P需从P0上调0.6m（2）解：如图4，中午12:00时，太阳光线与PE，地面都垂直，点P上调至P2∴P2∵∠CAB=90∘，∴∵∠DP∴∠CP∵CF=P2F=1m∴∠C=∠CP过点F作FG⊥CP2于点∴GP∴CP∴P1即点P在（1）的基础上还需上调0.7m.【知识点】解直角三角形；解直角三角形的应用【解析】【分析】（1）由题意可知当点P位于初始位置P0时，CP0=2m，10:00时，太阳光线与地面的夹角为65°，点P上调至P1处，可知∠1=∠CAB=90°，∠ABE=65°，利用四边形的内角和定理求出∠AP1E的度数，再证明△CP1F是等边三角形，利用勾股定理求出CP1的长，然后根据P0P1=CP0-CP1，代入计算可求解。

（2）中午12:00时，太阳光线与PE，地面都垂直，点P上调至P2处，因此可得到P2E∥AB，先求出∠CP2F的度数，再证明△CP2F是等腰三角形，过点F作FG⊥CP2，利用解直角三角形分别求出GP2，CP2，然后根据P1P2=CP1-CP2，代入计算可求解。

13．【答案】（1）解：如图，作AF⊥BC交BC于点F，交DH于点E，由题意可得，CD＝EF＝3米，∠B＝22°，∠ADE＝45°，BC＝21米，DE＝CF，∵∠AED＝∠AFB＝90°，∴∠DAE＝45°，∴∠DAE＝∠ADE，∴AE＝DE，设AF＝a米，则AE＝（a﹣3）米，∵tan∠B＝AFBF∴tan22°＝a21+(a−3)即25解得，a＝12，答：城门大楼的高度是12米（2）解：∵∠B＝22°，AF＝12米，sin∠B＝AFAB∴sin22°＝12AB∴AB≈12÷38即A，B之间所挂彩旗的长度是32米.【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题【解析】【分析】（1）作AF⊥BC交BC于点F，交DH于点E，由∠ADE=45°可得AE=DE，设AF=a,则AE＝（a﹣3），BF=21+(a-3)，根据∠ABF的正切值可求出a的值，即可得答案；（2）根据∠ABF的正弦值求出AB的长即可.14．【答案】（1）解：根据题意知AC=30，∵AB=AC⋅cos答：AB的长约为26m．（2）解