2020新高考压轴双曲线题型大题练习全国通用一

试卷第试卷第页，总58页参考答案(1)匹=1(%>0)(II)证明见解析.3【解析】【分析】根据题意，判断出动点的轨迹方程为双曲线的右支，然后根据定义即可求得双曲线的方程。讨论当直线斜率存在与不存在两种情况下直线过定点问题。当斜率不存在时，易得直线过定点的坐标为P(1,0)；当斜率存在时，设出直线方程，联立曲线方程，消y得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理表示出两个交点横坐标间的关系；利用kpM=kpB，再证明直线BM经过P(1,0)o【详解】由已知|PFJ=|PF2I+2，即|PFJ-呵=2所以P轨迹C为双曲线的右支，2a=2，a=1,IF^I=2c=4,c=2•••曲线C标准方程％2—X2=1(x>0)3由对称性可知，直线BM必过%轴的定点当直线匚的斜率不存在时，4(2,3),B(2,—3),M(1,3)，知直线EM经过点P(1,0)122当直线-的斜率存在时，不妨设直线l1：y=k(x—2)，A(x1>y1)，B(x2>y2)直线ADy=-^-^(x+1)，当％=2时，y，m(1,3x^~)x^^+12M2(x1+1)22(x1+1)1得(3—k2)x2+4k2x-(4k2+3)=0,x+x=—4k2,x,x=4k2±33X2—y2=3123—k212k2—3下面证明直线BM经过点P(10),即证kpM=kpB，即^二亠X1+1X21即—3y1x2+3yr=x1y2+y2，由％=叭—2k,y2=kx2—2k整理得，4%/—5(%+x)+4=0,即4•血2+3—5•旦辽+4仇2-3)=01212k2—3k2—3k2—3即证BM经过点P(1,0),直线BM过定点(1,0)【点睛】本题考查了利用定义求圆锥曲线的方程，直线与圆锥曲线的位置关系，直线过定点问题，综合性强，需要很好的思维和计算能力，属于难题。my2(1)轨迹E的方程为：——X2+〒二1(x丰0),

当m=-1当m=-1时，轨迹E表示以（0,0）为圆心3为半径的圆，且除去两点；当m<-1时，轨迹E表示焦点在y轴上的椭圆，且除去JU込）两点；当—1<m<0时，轨迹E表示焦点在x轴上的椭圆，且除去小亍）两点;当m>0时，轨迹E表示焦点在y轴上的双曲线，且除去'，-打）'人3）两点；（2）直线EF斜率为为定值2解析】my2试题分析：（1）设点C的坐标（x,y），由直接法得到-yx2+-二1（X丰0），然后对参数m分类说明其表示什么曲线。当m=-1时，表示圆；而m丰0,所以再分m<-1，—1<m<0，m>0这三种情况依次说明。（2）设出PE、PF的直线方程，并分别求出点E、F的坐标，从而表示出EF的斜率，最后化简整理即知，直线EF的斜率为定值。试题解析：（1）令C点坐标为（x,y），则直线AC的斜率k=甘3，直线BC的斜率1xTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"k="，因为两直线的斜率之积为m,所以有kk=-（'）==m,2x12xxx2my2化简得到-yx2+亍=1（x丰0），所以当m=-当m=-1时，轨迹E表示以（0,0）为圆心，为半径的圆，且除去两点；当m<-1时，轨迹E表示焦点在y轴上的椭圆，且除去‘厂71爲）两点;轨迹E表示焦点在x轴上的椭圆，且除去当m>0时，轨迹E表示焦点在y轴上的双曲线，且除去',-朽）'‘爲）两点；x2y23（2）由题意曲线C为+=1（x丰0），点P（1，2）,

设中,人）,匕,打），令直线PE:y-1二k（x-1）,联立椭圆方程，得3+4k2人2+8k（|-k）x+4（|一k）2-12二0,同理,k—EF-4k2-同理,k—EF-4k2-⑵一3,故x13+4k24k2+12k-33+4k2,二x一x21—4k2-12k-33+4k2,33一k（x一1）+一[k（x一1）+]2212一k（x+x）+2k121—x一x221x一x21故直线EF斜率为为定值-2考点：①求点的轨迹方程；②判断直线的斜率是否为定值。思路点睛】（1）判断轨迹方程表示的曲线是本题的一个难点，首先明白高中常见的二次曲my2线就是二次函数、圆及圆锥曲线，因此根据结果形式-1x2+-—1（x丰0）及m丰0知,当m=-1时，方程表示圆；而m=-1且m丰0时的三种情况m<-1，—1<m<0，m>0表示的是圆锥曲线。（2）判断直线的斜率是否为定值，这类题目一般是字母多，运算量大，题目不难只是繁，应培养沉稳、不急躁的良好心理素质，细心运算一般都可迎刃而解。3.（1）罕-罕—1；（2）孚<kpA<2434PA22解析】试题分析：⑴由双曲线的性质求曲线方程；⑵设出点p（x，y）的坐标，并表示出kpA，纭注意圆锥曲线经常设而不求，所以如何利用x,y的关系是简化问题的突破口，根据斜率3PAPAk,k的形式，可求出k-k—，然后利用直线PA1的斜率范围求出直线PA2斜率PA1PA2PA1PA24的取值范围。试题解析：3—2a7―牙fa—2x2y21）由题意,Jc，则1故双曲线C:〒一宁—1.1）由题意,42一32—1[b—J343、a2b2

(2)设点P(兀y)，由题意，A1(_2,0),A2(2，0),51=占'kpA2=占,故■■=（772）•（7^2）故■■=（772）•（7^2）=壬=4又怙e1迈’2T，则「3“3]P2G「〒，2]考点：①求双曲线方程；②求直线斜率范围。解析】试题分析：（1）由双曲线的性质求曲线方程;（2）设出点P（x,y）的坐标，并表示出环斗％，注意圆锥曲线经常设而不求，所以如何利用x,y的关系是简化问题的突破口，根据斜率3■■■-二，-的形式，可求出l-二一，然后利用直线的斜率范围求出直线二之斜率--4的取值范围.试题解析：（1）由题意，“，则r—r=1打*矿a=（1）由题意，“，则r—r=1打*矿“圧，故双曲线y=-（2）设点=，由题意，三'一■上-，1&—”，-x—2故"■二--（兀+2）（X-2）干—44考点：①求双曲线方程；②求直线斜率范围．5.（I）久=丄；（II）①详见解析，②4.2【解析】试题分析：（I）根据曲线方程表示的轨迹：曲线q,曲线C2皆为焦点在x轴上的椭圆，利

用椭圆几何性质有阿=V4二解得久=丄（11［①本题以算代征：由于P为4C中点，所2以可根据“点差法”得到©p'kAC=~~=—^，再根据点斜式得AC:y-y0=k（x-X0）=a22-斗（％-暂），化简即为匕—二二■②处理四边形ABCD的面积是本题关键，主要思路2儿0

为分割成两个三角形，即将四边形的一条对角线看做底，另两个顶点到这条对角线的距离看做高，这里计算较大，一是求弦长，二是求点到直线距离，参数选择为5(%0，儿)，最后约去参数得四边形ABCD的面积.试题解析：解：（I）V4A=V4—42A=12(II)①证明；•・4=吕二VF(x：,yj肯曲线G上一点,过点P件直线交曲线「千AC两点.直线0P交曲线：于乩D两点.X0^-2v0~=2,直线OF：y=—xs"HO联立f—联立f—

一x"xOlx+2v—4s■_bl=-1TOC\o"1-5"\h\za22ZC：y—y0=fc（x—%0）=—斗（％—%0）即~-2y°y0=0,%=±V2,仃严=±72符合y=—X+—1„②解法一：联立方程2y0y0（1+斗）％2+2_4=0x2+2y2=42埒埒埒即2%2-4%0%+4-8y2=0|4C|=Vi+埠比一4y0£|4C|=Vi+埠比一4y0£°|=V1+V4x2—8+I6y2=V1+V8y2004y20BfD至I」AC距离£=2P2—2,d2V%0+4y04瓚

=2於+2厶2+4丁2S=1|4C|-（d+d）=4212当y0=0时ABCD面积也为4②解法二：V—兀0x~+―1联立方程2y0y0（1+舟）％2-刍％+2一4=0%2+2y2=42埒埒埒即2%2—4%0%+4—8y2=0|4C|=V1+比一％」=V1+咼V4%2—8+16y24埒4y200

=J1+=J1+42J8y2,。到力c距离"=2卜0+切0Sabcd=2$%oc=4当y0=0时ABCD面积也为4②解法三：P（x°，儿），巩卡%，卡儿），°（_申%，_卡儿）肿=2卡角+埒，A（x1,y1），lBD：yoX-Xoy=04到BD的距离为d=JxO+y04，又％叫+2y0y1=2,%0+2yo=2,%2+2丹=4，8=(%o+2yo)(%2+2y2)=%o%2+2y2%o+2yo%2+4yoy2

=(xo+2(%=4+2(%则|y°叫又p为4C中点，则S=2-1-d-IBDI=〔叫衍-心叫1-2I2lx2+y2=4.2卜0+%7700考点：椭圆性质，直线与椭圆位置关系16^56.（1）x2+y2=i（y^o）和迢—妙=1（y>0）；（2）证明见解析；（3）5.20162016【解析】试题分析：（I）本题曲线方程的求法实质为待定系数法，即根据条件列出两个方程组，解出对应参数即可（II）本题证明方法为以算代证，即先求出弦的中点M坐标,再代入双曲线渐近线方程进行验证.先根据条件设出直线方程，与椭圆方程联立方程组，根据韦达定理及中点坐标公式求出弦中点横坐标（或纵坐标），代入直线方程可得弦中点纵坐标（或横坐标），再代入双曲线另一渐近线方程进行验证（III）三角形CDF1的面积可转化为等于两