参考教程分析

积微精2017高二091、平面向量数量积的性质及其坐标表设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b结几何表坐标表模|a|＝|a|＝ a·b＝|a||b|cos夹cosθ＝ cosθ＝x2＋y2· |a·b|与|a||b||x1x2＋y1y2|≤x2＋y2· 2、向量在几何中的应①cos〈a，b〉＝a·b

x2＋y2 AB2＝3、向量与相关知识的平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)与垂直求解相关问题．例题精 1、如7－10，在梯形ABCD→ →若AC·BM＝－3，则 →

→1→

(

ADAB)

3

2 2→→ ∴3

3

×422→ →→∴－AB·AD＝－1，∴AB·AD＝ 例2、若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值 解析：设a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(x，y)，则x2＋y2＝1，a－c＝(1－x，－y)，b－c＝(－x，1－y)，则(a－c)(b－c)＝(1－x)(－x)＋(－y)(1－y)＝x2＋y2－x－y＝1－x－y≤0，即x＋y≥1.又 ∴|a＋b－c|＝（1－x）2＋（1－y）2＝ 法一如图.c＝(x，y)对应点在AB上，而①式的几何意义为P点到AB上点的距离，其最大值为1. 法二|a＋b－c|＝（x－1）2＋（y－1）2＝x2＋y2－2x－2y＋2＝＝ ≤ 3、已知＝1＝3→＝0，点C在∠AOB内，且∠AOC＝30°， (m，n∈R)，则mn解析：由题设知 →，→＝

→

→

→ →3333

m|OA| 所以→→＝2 ＝2

→ ＝22

m

＋2mnOA·OB＋n2|OB|2·|因为 →

＝⇒

又因为点C在∠AOB内，所以m>0，n>0，所以n 4ABCDDADBDCDADBDBDCDCDA4 P,M满足AP2,PMMC，则BM的最大值 解析:设|DA||DB||DC|r,r2cosr2cosr2cos4由题设可知1200,r28r22建立如图所示的平面直角坐标系,则 2),B(6,0),C(6,0)由题意点P在以A为圆心的圆上,M是线段PC的中点故结合图形可知当CP与圆相切时, 的值最大,其最大值是 ＝例5、已知边长为4的正三角形 →1→→＝1→，AD与BE交于点P，则→→的值 ＝

b解析：法一：设→＝a＝b.a·＝8.设＝→＝λa＋μb 3 → ,

2 ＝

→→→解得λ＝，μ＝，η＝，PB＝AB－AP＝4

－1b，→44 4 44

→ a－ a＋

4＝(aa

法二：BCx轴，ADy轴，建立坐标系，B(－2,0)，C(2,0)，A(0,23)，P(0，→所以PB·PD＝(－23)·(0→ →BA·CA＝BF·CF＝－1则 BE·CE的值是 →解析设则→1 2

2

a＋2→2→ 3

AD＝a＋ →1→ 3

AD＝a＋ →→

a＋

a＋

a＋

a－3 —a＋ a－ 2 2 2 则 .

3＝－a－b

(a＋b)＋

92又→→ BE＝BA＋AE＝－a＋a＋

a＋

a＋

a－6 则

—a＋

a－ 6＝－(a＋b

a·b＝－

＋×4＝ 课后练习（5题，241、在ABC中，AB边上的CO2PAPsin2AOcos2ACR

PA

2、已知菱ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC＝3BE，DC＝λDF.若→AEAF＝1，则λ的值

|a|x ．4、在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，动点E和F分别段BC1DC上，且 →，则→·→的最小值 1

5、已O为△ABC的外心

→＝ ，若a

αAB＋βAC，则α＋β的最小值 答1、解：因为APsin2AOcos2ACR，系数之和为1，故C,P,O三点共线，且sin2,cos20,1所以点P 段OC上，设PQtt0,2， 故PAPBPC2POPC2t2t1 2当t1时，取最小值→→→→1 1 12、解析：法一如图，AE＝AB＋BE＝AB＋BC，AF＝AD＋DF＝AD＋DC＝BC＋ → 所以

1→

1→AE·AF＝(AB BC)(BC AB)＝(1 )AB·BC＋AB＋ ＝(11×2×2×cos1204＋4＝1，解得 λ法二建立如图所示平面直角坐标系.A(0，1)，C(0，－1)，B(－3，0)，D(E，FE(231，F(3(111 3→ 3

∴AE·AF＝ ,)(

＝－2(11＋4(11＝1，解得 2∵函数f(x)R上有极值即Δ＝|a|－4a·b>0，∴2

方程x2＋|a|x＋a·b＝0有两个不同的实数根a·b<4又∵|a|＝2|b|≠0，∴cosθ＝a·b< (又∵θ∈[0，π]，∴θ∈(3

＝cosθ< 24、解析：→梯形ABCD可得DC＝1，＝＋→＝1 → 1 1 1∴AE·AF＝(AB＋λBC)·(

＝2×1×cos60°＋2×1＋λ×1×cos60°＋λ·1×cos120°＝ λ

2 ·＋＝＋当且仅当

9λ ＝9λ

，即

时，取得最小值为 法二以点A为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则B(2，0)，C 3)，D 3)(, (, 2 2又 1又BE＝λBC，DF＝ ,则E(21,3)，F(1 3, 9所以→ 2·1λ29AE·AF＝(2)()＋λ＝＋ ＋λ≥ ＝ 9λ 9λ 9λ → 故AE·AF的最小值为3 3aACn上，AC的中点(12a

，ACtan120°＝－ny3＝3(x

1mn的方程联立方程组

x y 3(x12