初三数学二次函数知识点总结材料82780

wordword9/9word初三数学二次函数知识点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如〔是常数，〕的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2.二次函数的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2．⑵是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．二、二次函数的根本形式二次函数的根本形式的性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下X=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．三、二次函数图象的平移1.平移步骤：方法一：⑴将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；⑵保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：2.平移规律在原有函数的根底上“值正右移，负左移；值正上移，负下移〞．概括成八个字“左加右减，上加下减〞．方法二：⑴沿轴平移:向上〔下〕平移个单位，变成〔或〕⑵沿轴平移：向左〔右〕平移个单位，变成〔或〕四、二次函数与的比拟从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中．五、二次函数图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴与顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以与关于对称轴对称的点、与轴的交点，〔假如与轴没有交点，如此取两组关于对称轴对称的点〕.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.六、二次函数的性质1.当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值．2.当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值．七、二次函数解析式的表示方法1.一般式：〔，，为常数，〕；2.顶点式：〔，，为常数，〕；3.两根式：〔，，是抛物线与轴两交点的横坐标〕.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数二次函数中，作为二次项系数，显然．决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．2.一次项系数在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴．的符号的判定：对称轴在轴左边如此，在轴的右侧如此，概括的说就是“左同右异〞3.常数项决定了抛物线与轴交点的位置．总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式确实定：根据条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1.抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2.抛物线顶点或对称轴或最大〔小〕值，一般选用顶点式；3.抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4.抛物线上纵坐标一样的两点，常选用顶点式．九、二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系〔二次函数与轴交点情况〕：一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.图象与轴的交点个数：①当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根．这两点间的距离.②当时，图象与轴只有一个交点；③当时，图象与轴没有交点.当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有．2.抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为，；3.二次函数常用解题方法总结：⑴求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵求二次函数的最大〔小〕值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶根据图象的位置判断二次函数中，，的符号，或由二次函数中，，的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和一点对称的点坐标，或与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.二次函数考查重点与常见题型考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：以为自变量的二次函数的图像经过原点，如此的值是综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数的图像在第一、二、三象限内，那么函数的图像大致是〔〕yyyy110x-1ox0x01xABCD考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为，求这条抛物线的解析式。考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：抛物线〔a≠0〕与x轴的两个交点的横坐标是－1、3，与y轴交点的纵坐标是－eq\f(3,2)〔1〕确定抛物线的解析式；〔2〕用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.5．考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。由抛物线的位置确定系数的符号例1〔1〕二次函数的图像如图1，如此点在〔〕A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限〔2〕二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕的图象如图2所示，如此如下结论：①a、b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x的值只能取0.其中正确的个数是〔〕A．1个B．2个C．3个D．4个(1)(2)【点评】弄清抛物线的位置与系数a，b，c之间的关系，是解决问题的关键．例2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(-2，O)、(x1，0)，且1<x1<2，与y轴的正半轴的交点在点(O，2)的下方．如下结论：①a<b<0；②2a+c>O；③4a+c<O；④2a-b+1>O，其中正确结论的个数为()A1个B.2个C.3个D．4个答案：D会用待定系数法求二次函数解析式例3.：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一个根为x=2，且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，如此抛物线的顶点坐标为()A(2，-3)B.(2，1)C(2，3)D．(3，2)答案：C例4、抛物线y=x2+x-．〔1〕用配方法求它的顶点坐标和对称轴．〔2〕假如该抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．【点评】此题〔1〕是对二次函数的“根本方法〞的考查，第〔2〕问主要考查二次函数与一元二次方程的关系．函数主要关注：通过不同的途径〔图象、解析式等〕了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函数；将函数视为“变化过程中变量之间关系〞的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关知识的联系。二次函数对应练习试题一、选择题1.二次函数的顶点坐标是()A.(2,－11)B.〔－2，7〕C.〔2，11〕D.〔2，－3〕2.把抛物线向上平移1个单位，得到的抛物线是〔〕A.B.C.D.和在同一直角坐标系中图象可能是图中的()的图象如下列图,如此如下结论:①a,b同号;②当和时,函数值相等;③④当时,的值只能取0.其中正确的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个的顶点坐标〔-1，-3.2〕与局部图象(如图),由图象可知关于的一元二次方程的两个根分别是〔〕Ａ．－１.３B.-2.3C.-0.3D.-3.36.二次函数的图象如下列图，如此点在〔〕A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限的正根的个数为〔〕A.0个B.1个C.2个.3个8.抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与A.B.C.或D.或二、填空题9．二次函数的对称轴是，如此_______。10．抛物线y=-2〔x+3〕²+5，如果y随x的增大而减小，那么x的取值X围是_______.11．一个函数具有如下性质：①图象过点〔－1，2〕，②当＜0时，函数值随自变量的增大而增大；满足上述两条性质的函数的解析式是〔只写一个即可〕。12．抛物线的顶点为C，直线过点C，如此这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为。13.二次函数的图象是由的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到的,如此b=,c=。14．如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB上离中心M处5米的地方，桥的高度是(π取3.14).三、解答题：第15题图,图象经过(1,-6),且与轴的交点为(0,).第15题图(1)求这个二次函数的解析式;(2)当x为何值时,这个函数的函数值为0?(3)当x在什么X围内变化时,这个函数的函数值随x的增大而增大?16.某种爆竹点燃后，其上升高度h〔米〕和时间t〔秒〕符合关系式〔0<t≤2〕，其中重力加速度g以10米/秒2计算．这种爆竹点燃后以v0=20米/秒的初速度上升，〔1〕这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地15米？〔2〕在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内，判断爆竹是上升，或是下降，并说明理由.17.如图，抛物线经过直线与坐标轴的两个交点A、B，此抛物线与轴的另一个交点为C，抛物线顶点为D.〔1〕求此抛物线的解析式；〔2〕点P为抛物线上的一个动点，求使：5：4的点P的坐标。18.红星建材店为某工厂代销一种建筑材料〔这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货吨．该建材店为提高经营利润，准备采取降价的方式进展促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.

5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家与其它费用100元．设每吨材料售价为x〔元〕，该经销店的月利润为y〔元〕．〔1〕当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；〔2〕求出y与x的函数关系式〔不要求写出x的取值X围〕；〔3〕该建材店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？〔4〕小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．〞你认为对吗？请说明理由．练习试题答案一，选择题、1．A2．C3．A4．B5．D6．B7．C8．C二、填空题、9．10．＜-311．如等〔答案不唯一〕12．113．-8714．15三、解答题15．(1)设抛物线的解析式为,由题意可得解得所以(2)或-5(2)16．〔1〕由得，，解得当时不合题意，舍去。所以当爆竹点燃后1秒离地15米．〔2〕由题意得，＝，可知顶点的横坐标，又抛物线开口向下，所以在爆竹点燃后的1.5秒至108秒这段时间内，爆竹在上升．17．〔1〕直线与坐标轴的交点A〔3，0〕，B〔0，－3〕．如此解得所以此抛物线解析式为．〔2〕抛物线的顶点D〔1，－4〕，与轴的另一个交点C〔－1，0〕.设P，如此.化简得当＞0时，得∴P〔4，5〕或P〔－2，5〕当＜0时，即，此方程无解．综上所述，满足条件的点的坐