数值分析第一章 绪论

数学与信息科学学院数值分析教材

(TextBook)

数值分析(第5版)李庆扬等，清华大学出版社，2008年数值计算方法，李维国等，石油大学出版社，2009年参考书目

(Reference)

数值计算方法(上、下册)

林成森编著（科学出版社1998年）

Principleof

NumericalAnalysis

数值分析原理封建湖、车刚明、聂玉峰编著（科学出版社，2001年）

MATLAB数值计算方法

,张德丰编(机械工业出版,2010年)

课程评分方法

(GradingPolicies)平时成绩(30%左右)

期末考试成绩

(70%左右)本课程称为“数值分析”,也常被称为“数值计算方法”、“计算方法”等。它是一门研究数学问题的数值数值解法及其相关理论的课程

提问：数值分析是做什么用的？研究对象：数值问题——有限个输入数据（问题的自变量、原始数据）与有限个输出数据（待求解数据）之间函数关系的一个明确无歧义的描述。如一阶微分方程初值问题求函数解析表达式数学问题求函数在某些点的近似函数值数值问题程序设计上机计算设计高效、可靠的数值方法数值问题求解近似结果输出重点讨论数值问题的来源：实际问题建立数学模型数值问题数值方法的设计原则收敛性：方法的可行性稳定性：初始数据等产生的误差对结果的影响便于编程实现：逻辑复杂度要小计算量要小：时间复杂度要小，运行时间要短存贮量要尽量小：空间复杂度要小可靠性分析计算复杂性误差估计：运算结果不能产生太大的偏差且能够控制误差§1

误差

/*Error*/一、误差的来源与分类

/*Source&Classification*/

1、从实际问题中抽象出数学模型

——模型误差

/*ModelingError*/

2、通过观测得到模型中某些参数（或物理量）的值

——观测误差

/*MeasurementError*/

3、数学模型与数值算法之间的误差求近似解

——方法误差

(截断误差

/*TruncationError*/)

4、由于机器字长有限，原始数据和计算过程会产生新的误差

——舍入误差

/*RoundoffError*/二、误差分析的基本概念

/*BasicConcepts*/设为真值（精确值），为的一个近似值称为近似值的绝对误差，简称误差。注：误差可正可负，常常是无限位的绝对误差限/*accuracy*/——绝对值的上界如：绝对误差还不能完全表示近似值的好坏（绝对误差/*absoluteerror*/）近似值的误差与准确值的比值：称为近似值的相对误差，记作注：实际计算时，相对误差通常取因为（相对误差/*relativeerror*/）相对误差也可正可负（有效数字/*SignificantDigits*/）相对误差限——相对误差的绝对值的上界/*relativeaccuracy*/如：3位6位若近似值与准确值的误差绝对值不超过某一位的半个单位，该位到的第一位非零数字共有位，则称有位有效数字有效数字(另外一种定义形式)注：0.2300有4位有效数字，而00023只有2位有效数字。12300如果写成0.123105，则表示只有3位有效数字。数字末尾的0不可随意省去！用科学计数法，记其中，若（即的截取按四舍五入规则），则称为有位有效数字，精确到。例1：问：有几位有效数字？请证明你的结论。证明：有位有效数字，精确到小数点后第位。43规格化形式有效数字与相对误差限的关系.

有效数字相对误差限已知x*

有n位有效数字，则其相对误差限为相对误差限

有效数字已知x*

的相对误差限可写为则可见x*

至少有n

位有效数字。例2：为使

的相对误差小于0.001%,至少应取几位有效数字？解：假设*取到n位有效数字，则其相对误差上限为要保证其相对误差小于0.001%，只要保证其上限满足已知

a1=3，则从以上不等式可解得

n>6log6，即

n6，应取

*=3.14159。例3计算下列多项式的值为已知数据分析：输入数据为，输出数据为，若直接由算出，再乘相应的系数并相加，则要做次乘法和次加法，占用个存储单元。秦九韶方法，也称为Horner算法用递推公式表示为只用次乘法和次加法，并占用个存储单元

三、数值算法及稳定性

/*NumericalAlgorithmandStability*/大家一起猜？11/e解法之一：将作Taylor展开后再积分S4R4

/*Remainder*/取则称为截断误差

/*TruncationError*/|

舍入误差

/*RoundoffError*/|=0.747……由截去部分/*excludedterms*/引起由留下部分/*includedterms*/引起例4近似计算一个算法如果输入数据有扰动（即误差），而计算过程中舍入误差不增长,则称此算法是数值稳定的，否则此算法就称为不稳定的。（数值稳定性/*NumericalStability*/）对数学问题本身如果输入数据有微小扰动，引起输出数据（即问题真解）的很大扰动，这就是病态问题。（病态问题/*ill-posedproblem*/）

它是数学问题本身性质所决定的，与算法无关，也就是说对病态问题，用任何算法（或方法）直接计算都将产生不稳定性。

此公式精确成立记为则初始误差????!!!Whathappened?!例5计算公式一：考察第n步的误差我们有责任改变。造成这种情况的是不稳定的算法

/*unstablealgorithm*/迅速积累，误差呈递增趋势。初始的小扰动公式二：注意此公式与公式一在理论上等价。方法：先估计一个IN

,再反推要求的In(n<<N)。可取取考察反推一步的误差：以此类推，对n<N

有：误差逐步递减,这样的算法称为稳定的算法

/*stablealgorithm*/

在我们今后的讨论中，误差将不可回避，算法的稳定性将会是一个非常重要的话题。例6：蝴蝶效应

——纽约的一只蝴蝶翅膀一拍，风和日丽的北京就刮起台风来了？！纽约北京这是一个病态问题关于蝴蝶效应§2

误差分析的方法和原则

/*ErrorAnalysis*/一、误差分析的方法利用原始数据的误差限，根据误差的运算法则，随着计算过程逐步向前进行分析，直至估计出最后的结果。注：两个近似数，四则运算得到的误差限分别为（1）（2）对于函数y=f(x)，若用x*取代x，将对y产生什么影响？分析：e*(y)=f(x*)f(x)e*(x)=x*xMeanValueTheoremx*

与x非常接近时，可认为，则有：即：产生的误差经过作用后被放大/缩小了

倍。故称

为放大/缩小因子

/*amplificationfactor*/

或

绝对条件数

/*absoluteconditionnumber*/.相对误差条件数

/*relativeconditionnumber*/

f的条件数在某一点是小\大，则称

f在该点是好条件的

/*well-conditioned*/

\坏条件的

/*ill-conditioned*/。注：关于多元函数

可类似讨论，理论工具：Taylor公式例7设,试求函数的相对误差限.解：由题设知:近似值为,绝对误差限为

二、几点注意事项

/*Remarks*/1、

避免相近二数相减例：a1=0.12345，a2=0.12346，各有5位有效数字。而a2

a1=0.00001，只剩下1位有效数字。

几种经验性避免方法：当|x|<<1时：2、

避免小分母:分母小会造成浮点溢出

/*overflow*/3、避免大数吃小数例：用单精度计算的根。精确解为算法1：利用求根公式在计算机内，109存为0.11010，1存为0.1101。做加法时，两加数的指数先向大指数对齐，再将浮点部分相加。即1的指数部分须变为1010，则：1=0.00000000011010，取单精度时就成为：

109+1=0.100000001010+0.000000001010=0.100000001010大数吃小数算法2：先解出再利用注：求和时从小到大相加，可使和的误差减小。例：按从小到大、以及从大到小的顺序分别计算1+2+3+…+40+1094、

先化简再计算，减少步骤，避免误差积累。一般来说，计算机处理下列运算的速度为5、选用稳定的算法。称为尾数，j为阶§3计算机的数系结构/*StructureofNumberSystem

*/计算机的数系是一个不完整的数系。计算机只能表示有限个数，即计算机的精度是有限的。每种计算机内部运算是按固定的有限位数进行的，也就是按固定位数的有限位浮点数进行运算的。浮点数系统由四个整数表征：基，精度（尾数）位数，下溢界和上溢界计算机所表示的数的集合(规格化浮点数系)：

若