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文档简介
湘潭大学数学与计算科学学院1§3
Hermite插值一、问题的提法二、Hermite插值公式
湘潭大学数学与计算科学学院2一、问题的提法前面提到的插值，仅要求插值多项式p(x)与被插值函数f(x)在插值点处有相同的值，这种多项式往往不能反映插值函数的变化趋势.现在提出一个新的插值问题：
要求构造一个多项式H(x)，使它与函数f(x)在插值点处不仅有相同的函数值，
而且还有相同的导数值.这种带导数的插值叫做Hermite插值.湘潭大学数学与计算科学学院3是n+1个不相同的节点，其中插值问题：设求作次数不超过2n+1次的代数多项式H(x)，使它满足插值条件：湘潭大学数学与计算科学学院4二、Hermite插值公式
本节主要讨论两点Hermite插值，即n=1的情形.插值问题变为：求满足(3.2)下面构造性地给出两点Hermite插值问题:1、适定性证明2、相应的插值公式湘潭大学数学与计算科学学院5定理3.1
两点Hermite插值问题的解存在且唯一。证明首先证明存在性.在标准单元[0,1]上构造两个特殊的三次代数多项式满足插值条件容易求得
(3.3)湘潭大学数学与计算科学学院6若令即满足：则其中湘潭大学数学与计算科学学院7同样若令即满足：则湘潭大学数学与计算科学学院8类似地若令则
湘潭大学数学与计算科学学院9综合为(3.3)则且满足(3.4)湘潭大学数学与计算科学学院10利用(3.4)式，容易验证满足插值条件(3.2)，从而存在性得证.(3.5)湘潭大学数学与计算科学学院11现在证明唯一性.假设另有一个三次数多项式G(x)满足插值条件(3.2)R(x)是次数小于等于3的代数多项式,而上式表明，它有2个重根，令R(x)=H3(x)–G(x),则由(3.2)有即：除非湘潭大学数学与计算科学学院12(3.5)称(3.5)式为两点Hermite插值公式，为两点Hermite插值多项式；相应的而被称为关于的两点Hermite插值问题的基函数.
是一个非常重要的Hermite插值多项式，在点和处它所刻画的曲线与不仅有相同的函数值，而且有相同的斜率.湘潭大学数学与计算科学学院13两点Hermite插值问题解的误差分析
定理3.2若在存在，两点Hermite插值问题解的误差为则对(3.6)且依赖于其中证明（略）湘潭大学数学与计算科学学院14例1
已知f(x)=x1/2及其一阶导数的数据见下表,用Hermite插值公式计算1251/2的近似值.x121144f(x)1112f'(x)1/221/24解湘
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