弹性力学与有限元法习题集

2023/2/3slide1弹性力学与有限元法习题集与参考答案单丽君大连交通大学2009年10月2023/2/3slide2第一章第二章第三章第四章第五章参考试卷2023/2/3slide3第一章习题与答案有限单元法的含义？2.有限单元法的解题思路？答案返回3.有限单元法的优点？2023/2/3slide4有限单元法的含义？答：用有限个单元将连续体离散化，通过对有限个单元作分片插值求解各种力学、物理问题的一种数值方法。连续体的单元是各种形状（如三角形、四边形、六面体等）的单元体。2.有限元法的解题思路？答（1）网格划分；（2）单元分析；（3）整体分析。3.有限元法的优点？答（1）物理概念清晰，便于入门；

（2）采用矩阵形式，便于编制计算机程序；

（3）有较强的灵活性和适用性。返回2023/2/3slide5第二章习题与答案试说明弹性力学的基本假设？2.

弹性力学平面问题的基本方程有哪三大类？各表征何种关系？3.虚功原理内容？答案返回2023/2/3slide64.工程上具有什么特点的空间问题可以简化为平面应力问题？5.工程上具有什么特点的空间问题可以简化为平面应变问题？6.应用几何方程推导应变分量应满足下列变形协调方程。答案返回2023/2/3slide77.悬臂梁在三角形分布载荷作用下，可以看成平面应力问题，应力分量表达式为，试检验这些应力公式是否满足变形协调方程？，答案返回2023/2/3slide88.下图示梁作用有分布载荷q(x)，体力忽略不计，已知，其中M（x）为梁的截面弯矩，I为截面惯性矩。试根据单元体的平衡方程式，求应力。答案返回2023/2/3slide9试说明弹性力学的基本假设？答（1）假设物体是线性弹性的；

（2）假设物体是连续的；

（3）假设物体是均匀的，各向同性的；

（4）假设物体的位移和应变是微小的。2.弹性力学平面问题的基本方程有哪三大类？各表征何种关系？答：弹性力学平面问题的基本方程包括平衡方程、几何方程和物理方程。平衡方程表征：应力与外力的关系。几何方程表征：应变与位移的关系。物理方程表征：应力与应变的关系。3.虚功原理?

外力在虚位移上所做的虚功W，恒等于应力乘虚应变的虚变形功（或虚变形能）。1、2、3.题答案返回2023/2/3slide104.工程上具有什么特点的空间问题可以简化为平面应力问题？答：（1）在几何外形上，它们都是等厚度的平面薄板；（2）在受力状态上，面力都只作用在板边上，且平行于板面，并且不沿厚度变化，体力也平行于板面，且不沿厚度变化；（3）σz=0，εz≠0。5.工程上具有什么特点的空间问题可以简化为平面应变问题？（1）在几何形状上，它们都是一个近似等截面的长柱体，它们的长度要比横截面的尺寸大得多；（2）在受力情况上，它们都只受有平行于横截面，且沿纵向长度均布的面力和体力。有的在纵向的两端还受有约束。（3）εz=0，σz≠04、5.题答案返回2023/2/3slide11由：，，，，，（1）式+（2）式得：即：证毕6.题答案返回2023/2/3slide12答：所以，即应力公式满足相容方程7.题答案返回2023/2/3slide13解：8.题答案返回2023/2/3slide14同理在顶面rp上切向内力系的合力：取截面下的物体为分离体返回2023/2/3slide15由剪应力互等定理，返回2023/2/3slide16第三章习题与答案1.为满足解答收敛性要求，选择位移模式应满足什么条件？2.弹性体在进行单元划分时，应注意什么问题？答案返回2023/2/3slide173.试说明图示工程实例的约束如何引进整体刚度矩阵？答案返回2023/2/3slide184.计算出图示单元节点的编码方式下的三角形ijm的面积Ｓ△ijm的值。5.试证明:三结点三角形单元内任意一点有：6.“在应用有限元求解弹性力学平面问题时，单元划分得越小越好”，这句话对吗？试说明理由。答案返回2023/2/3slide197.试证明平面三角形三结点单元的位移模式：含有刚体位移状态。9.试在图示的网格划分图上标上合适的结点编码，使其有限元计算时的半带宽最小，并计算其半带宽。8.简述有限元计算结果如何整理？答案返回2023/2/3slide2010.一平面三角形薄板构件，离散为2个单元4个节点，如图所示。已知单元①的编码顺序为（1，3，4），单元②的编码顺序为（1，2，3）。试分别写出：（１）单元①的刚度矩阵；（2）单元②的刚度矩阵；（３）总刚矩阵的表达式。①②答案返回2023/2/3slide2111.试用“*”表示非零子块，用“0”表示零子块，写出图示已划分单元弹性体的总刚矩阵。12.图（a）、(b)所示是同一结构的两种不同的网格划分方法，试计算两图的半带宽，并说明哪种划分方法比较合理，为什么？答案返回2023/2/3slide2213.已知某单元，其结点编号为i，j，m，其坐标依次为（2，2）、（6，3）、（5，6），试写出其形函数Ni，Nj，Nm

及单元的应变矩阵。答案

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2023/2/3slide2314.图示平面应力状态的直角三角形单元及其结点编码，设试求：（1）形态矩阵[N]；（2）几何矩阵[B]及应力转移矩阵[S];（3）单元刚度矩阵[k]e答案

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2023/2/3slide2415.如图所示单元，在jm边上作用有线性分布的水平载荷，试求其等效结点载荷。单元的厚度为1cm。答案

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2023/2/3slide2516.如图所示单元，在ij边上作用有均布，载荷密度为q，试单元的等效结点载荷。单元的厚度为t。答案

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2023/2/3slide2617.如图所示单元，在ij边上作用有均布，载荷密度为q，试单元的等效结点载荷。单元的厚度为t。答案

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2023/2/3slide2718.如图所示固端梁受集中力P作用，取,按平面应力问题计算，求图示单元的结点位移。答案

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2023/2/3slide281.答：（1）位移模式应包括单元的刚体位移状态和常量应变状态，满足这个条件的单元为完备单元。（2）位移模式应保证相邻单元在公共边界处位移是连续的，这种连续性称为协调性或相容性；条件（1）是收敛的必要条件，条件（1）+（2）是收敛的充分条件。2.答：（1）单元的大小：重要部位、易发生应力集中、应力位移变化剧烈部位单元划小些，次重要部位、应力和位移变化比较平缓的部位单元划大些。（2）单元形状：应力及位移的误差与单元的最小内角正旋成反比。（3）结构厚度和弹性常数有突变时的单元划分：把厚度和弹性常数有突变线作为单元的分界线，不能使突变线穿过单元。1、2题答案返回

2023/2/3slide29答：（1）将整体刚度矩阵[K]中的第1行、第3行、第5行、第6行的主对角线元素改为1，将第1行、第3行、第5行、第6行非对角线元素改为0；（2）为了保持[K]矩阵的对称性，将第1列、第3列、第5列、第6列非对角线元素改为0；（3）将1、3、5行对应的载荷向量改为0。3.题答案返回

2023/2/3slide30解：4.题答案返回

2023/2/3slide31根据行列式性质有：上式第一项为行列式第一列代数余子式与第二列各元素相乘等于零，第二项为第二列代数余子式与第二列各元素相乘等于2A，第三项为第三列代数余子式与第二列各元素相乘等于０。所以，有即：证毕5.题答案返回

2023/2/3slide326.“在应用有限元求解弹性力学平面问题时，单元划分得越小越好”，这句话对吗？试说明理由。答：这句话不对。因为，从理论上说，单元划分越小，计算结果越精确，但在实际工作中，要根据工程上对精度的要求，计算机容量及合理的计算时间，来确定单元的大小。重要部位、易发生应力集中、应力位移变化剧烈部位单元划小些，次重要部位、应力和位移变化比较平缓的部位单元划大些。6.题答案返回

2023/2/3slide33答：所以，即应力公式满足相容方程7.题答案返回

2023/2/3slide34答：计算结果的整理包括两个方面：（1）各结点的结点位移（2）各单元的应力分量位移：直接用结点位移分量画出结构物的位移图线。应力：采用平均的计算方法，使结构物内某一点的应力更接近实际应力。边界内应力采用绕结点平均法和二单元平均法。边界上的应力采用拉格朗日插值公式由结点内的应力推算出来。8.题答案返回

2023/2/3slide359.题答案半带宽：d=(4+1)×2=10答：返回

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（５分）（１）单元①的刚度矩阵（2）单元②的刚度矩阵（3）总体刚度矩阵为10.题答案返回

2023/2/3slide37总刚矩阵:11.题答案返回

2023/2/3slide38答：图（a）的半带宽为：d=(相邻结点码的最大差值+1)×2=（4+1）×2=10

图（b）的半带宽为：d=(相邻结点码的最大差值+1)×2=（3+1）×2=8

图（b）划分方法比较合理，因为该种划分方法半带

宽较小，占用的存储空间小，节省了计算机内存容量。12.题答案返回

2023/2/3slide3913.题答案解：（1）三角形面积为：返回

2023/2/3slide40（2）形函数为：（3）应变转换矩阵：返回

2023/2/3slide41（1）三角形面积为：解：14.题答案

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2023/2/3slide42形函数为：形态矩阵为：返回

2023/2/3slide43（2）几何矩阵为：应变转化矩阵为：返回

2023/2/3slide44（3）单元刚度矩阵为：返回

2023/2/3slide45返回

2023/2/3slide46载荷向量：

=

15.题答案解：形函数的几何含义得：，，返回

2023/2/3slide47N

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2023/2/3slide48形函数为：形态矩阵为：16.题答案解：返回

2023/2/3slide49等效结点载荷为：因为，在jm,mi边界上面力为零，所以，上式的后两项为零ds=-dy返回

2023/2/3slide50返回

2023/2/3slide51（1）三角形面积为：17.题答案形函数为：形态矩阵为：解：返回

2023/2/3slide52等效结点载荷为：因为，在jm,mi边界上面力为零，所以，上式的后两项为零在ds=-dy返回

2023/2/3slide53返回

2023/2/3slide54三角形面积为：将Ⅰ单元结点的坐标代入公式：解：得：

几何矩阵为：18.题答案返回

2023/2/3slide55刚度矩阵为：返回

2023/2/3slide56三角形面积为：将Ⅰ单元结点的坐标代入公式：得：几何矩阵为：返回

2023/2/3slide57返回

2023/2/3slide58总刚矩阵为：返回

2023/2/3slide59返回

2023/2/3slide60引入支撑条件：u1=v1=u4=v4=0返回

2023/2/3slide61将代入上式得：返回

2023/2/3slide62消元得：返回

2023/2/3slide63第四章习题与答案1.什么是轴对称问题？2.轴对称问题采用什么坐标系？答案

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2023/2/3slide641.什么是有限元轴对称问题？答：轴对称问题：物体的几何形状、约束情况及所受的外力都对称于空间的某一根轴，因此在物体中通过该轴的任何平面都是对称面，所有应力、应变和位移也对称于该轴，这类问题称为轴对称问题。通常采用圆柱坐标系（r，θ，z），以z轴为对称轴。四个应力分量：，四个应变分量：2.答：有限元轴对称问题采用柱坐标系。返回

2023/2/3slide65第五章习题与答案为什么工程上要采用等参单元对重要零件进行有限元分析？2.计算图示四结点等参单元上的局部坐标系上点，在实际单元上对应的整体坐标是多少？

答案

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2023/2/3slide66答：因为等参单元具有精度高,适用性好的优点。用等参单元,可以在局部坐标中的规则单元上进行单元分析,然后映射到实际单元上,单元的几何特征,载荷分布等自实际结构,充分反映了实际结构，适应曲边形状，计算工作是在母单元上进行,由于母单元形状简单而且规则,计算精度高。1.题答案