弹塑性力学应力分析

弹塑性力学李li@使用教材及参考书目使用教材：《工程弹塑性力学》杨伯源等编，机械工业出版社《应用弹塑性力学》徐秉业等编，清华大学出版社参考书目：《弹性力学》徐芝纶编，高等教育出版社《塑性力学引论》王仁等编，北京大学出版社课程内容简介基础理论篇第1章

应力分析第2章

应变分析第3章

弹性与塑性应力应变关系第4章

弹性与塑性力学的解题方法工程应用篇第5章

厚壁圆筒的分析第6章

旋转圆盘的分析第7章轴的扭转第8章薄板的分析第9章热应力第10章结构的塑性极限分析绪论研究对象和任务基本假设基本方程与基本解法1研究对象和任务学科分类及研究对象轴向拉伸实验本课程的任务学科分类及研究对象弹塑性力学是固体力学的一个重要分支。理论力学，分析力学等：研究力及其与运动的关系。材料力学，结构力学，弹塑性力学，断裂力学等：研究固体材料变形，流动和断裂时的力学响应。

轴向拉伸实验（低碳钢）OB段：弹性阶段BC段：屈服阶段CD段：强化阶段DE段：局部变形阶段比例极限屈服极限强度极限总应变卸载特征OABCE2基本假设1.连续性假定整个物体的体积都被组成物体的介质充满，不留下任何空隙。该假定在研究物体的宏观力学特性时，与工程实际吻合较好；研究物体的微观力学性质时不适用。作用：使得σ、ε、u

等量表示成坐标的连续函数。保证中极限的存在。2.均匀性假定假定整个物体是由同一种材料组成的，各部分材料性质相同。作用：弹性常数（E、μ）——不随位置坐标而变化；取微元体分析的结果可应用于整个物体。3.各向同性假定假定物体内一点的弹性性质在所有各个方向都相同。作用：弹性常数（E、μ）——不随坐标方向而变化；金属——上述假定符合较好；木材、岩石——上述假定不符合，称为各向异性材料；4.小变形假定假定位移和形变是微小的，即物体受力后物体内各点位移远远小物体的原来的尺寸。作用：建立方程时，可略去高阶微量；可用变形前的尺寸代替变形后的尺寸。使求解的方程线性化。在外力作用以前，物体内各点应力均为零。5.无初始应力以上基本假定为本课程讨论问题的基础，针对具体问题提出的假定在相关问题描述中给出。3基本方程与基本解法

基本方程简介

基本解法简介几何学方面建立位移和应变之间的关系。

几何方程，位移边界条件运动学方面建立物体的平衡条件。

运动（或平衡）微分方程，载荷的边界条件 以上两类方程与材料的力学性质无关，属于普适方程。物理学方面建立应力与应变之间的关系。

本构方程 对于动力学问题，还要给出初始条件。弹塑性力学的基本方程 弹塑性力学的基本解法：根据基本方程求解精确解法

即能满足弹塑性力学中全部方程的解。近似解法

即根据问题的性质，采用合理的简化假设，从而获得近似结果。有限元数值分析方法

它不受物体或构件几何形状的限制，对于各种复杂的物理关系都能算出正确的结果。第1章应力分析应力状态三维应力状态分析三维应力状态的主应力最大剪应力等倾面上的正应力和剪应力应力张量的分解平衡微分方程1-1应力状态单向应力状态分析平面应力状态分析

单向应力状态分析P1P2P3P4ΔSyzxoΔP应力单位面积上的内力正应力σ：与截面垂直剪应力τ：与截面相切轴向拉伸的等截面直杆

横截面平面假设→σ均匀分布

斜截面总应力正应力剪应力PPp平面应力状态分析静力平衡方程斜截面法向斜截面切向斜截面上的应力：消去o主平面方位：主应力大小：应力圆1-2三维应力状态分析σyxyzoσxσz正应力σ

图示单元体面的法线为y,称为y面，应力分量垂直于单元体面的应力称为正应力。正应力记为σy,沿y轴的正向为正,其下标y表示所沿坐标轴方向。剪（切）应力τ

平行于单元体面的应力称为切应力，用τyx

、τyz表示，其第一下标y表示所在的平面，第二下标x、z分别表示沿坐标轴的方向。如图示的τyx、τyz。xyzoτyzτyxσyxyzo符号规定：正面和负面：截面外法线与坐标轴正方向一致，则该面为正面，反之，如果截面外法线与坐标轴负方向一致，则该面为负面。正面正面正面NNN应力的符号：正面上的应力沿坐标轴正向为正，沿坐标轴的负向为负；负面上的应力沿坐标轴负向为正，沿坐标轴的正向为负。即：“＋＋”＝“＋”；“－－”＝“＋”“＋－”＝“－”；“－＋”＝“－”xyzo可见：正应力以拉应力为正，压应力为负，与材料力学的符号一致。正、负面上，正的应力分量正、负面上，负的应力分量弹性力学材料力学注意弹性力学切应力符号和材料力学是有区别的，图示中，弹性力学里，切应力都为正，而材料力学中相邻两面的的符号是不同的。在画应力圆时，应按材料力学的符号规定。切应力互等定律即τxy＝τyx

,τyz

＝τzy,

τzx

＝τxz证明：连接六面体前后两面中心的直线ab为矩轴，列出力矩平衡方程：同理可得：得：已知单元体各面上的应力分量，试在单元上标出方向与数值。应力的概念－举例yxz斜截面的法线v与坐标轴正向夹角余弦：四面体平行于坐标轴的棱边长度为dx，dy，dz斜截面的面积为dS静力平衡方程斜截面上的应力分量如果作用在物体表面上的外面载荷用Fx，Fy，Fz表示，而斜面为边界面，此时上式中的Pvx,Pvy,Pvz都换成Fx，Fy，Fz，则上式亦可作为应力边界条件。斜截面上的应力分量计算公式yxz总应力正应力剪应力yxz1-3三维应力状态的主应力主应力和主方向的概念只有正应力而无剪应力的斜平面为主平面主平面上的正应力

=主应力主平面的法线方向n=主方向可以证明，主应力是斜截面上正应力的极值yxzo设以v表示主应力平面的方向，而σv表示主应力。斜截面上的应力分量计算公式yxzo设以v表示主应力平面的方向，而σv表示主应力。应力不变量当坐标变换时，应力不变量的值是不变的。一旦应力状态确定后，其主应力便已确定，当坐标变换时，虽然每个应力分量都将随之变化，但主应力的值是不变的。所以Ii的值是不变的。（尝试证明）设三向应力状态应力圆坐标轴为主方向三向应力状态应力圆以斜截面上的正应力N为横坐标，剪应力N为纵坐标，应力点在阴影部分内应力点在C1圆以外应力点在C3圆以外应力点在C2圆以内三向应力状态应力圆o最大剪应力

例题已知受力物体中某点的应力分量为：试求作用在过此点的平面x+3y+z=1上的沿坐标轴方向的应力分量，以及该平面上的正应力和剪应力。解：平面Ax+By+Cz=D

的法线的方向余弦为

例题已知受力物体中某点的应力分量为：试求主应力分量及主方向余弦。解：应力不变量为利用求根公式（参考数学手册）代入中任意两式1-4最大剪应力求τv的极值剪应力的极值主坐标下斜截面上的剪应力斜截面上的应力分量计算公式求τv的极值满足表达式的解有四种情况：极值剪应力所处的平面位置：yxzyxzyxz1-5等倾面上的正应力和剪应力正八面体正八面体构成正八面体的定义每个卦限一个面=八面每个面的法线与坐标轴等角任意一个面上的法线方向余弦x2x1x3等倾面上的正应力等倾面上的剪应力应力强度（等效应力）表征物体受力程度的参量1-6应力张量的分解张量：在坐标变换时，按某种指定形式变化的量。应力张量：一点应力状态是由三个互相垂直的坐标面上的六个独立的应力分量（或三个主应力）来表示。这组量的集合称为应力张量。剪应力互等是二阶对称张量平均应力：球形应力张量：各向均匀受力状态，也称为静水压力状态，引起物体体积的改变。应力偏量：将原应力状态减去静水压力状态，引起物体形状的改变。1-7平衡微分方程xzydydxdz静力平衡方程直角坐标的平衡微分方程Navier平衡微分方程圆柱坐标的平衡微分方程平面问题极坐标的平衡微分方程轴对称问题（平面）各应力分量与θ无关球对称问题（空间）平衡方程