流体力学第五章II

流体力学

（第五章流体动力学的基本原理）同济大学汽车学院目录前言第一章绪论第二章流体的物理性质及作用力第三章流体静力学第四章流体运动学第五章流体动力学的基本原理第六章理想流体的无旋流动和有旋流动第七章相似原理和量纲分析第八章粘性流体力学第九章气体动力学第一节理想流体的运动微分方程（1）根据牛顿第二定律，可写出沿X轴的运动微分方程：用流体微团的质量通除上式，得：同理：一、欧拉运动微分方程第一节理想流体的运动微分方程（2）3、上述方程变成流体静力学中的欧拉平衡微分方程。2、

此时的理想流体欧拉运动微分方程变成定常不可压缩理想流体欧拉运动微分方程。第一节理想流体的运动微分方程（3）讨论：

1、上式为非定常不可压缩理想流体欧拉运动微分方程。第一节理想流体的运动微分方程（4）二、兰姆运动微分方程

理想流体的基本方程—欧拉运动为微分方程，适用于理想流体的任何流动。但是，在该方程中只有表示移动线速度，而没有表示旋转运动的角速度，因此，方程显示不出流动是有旋还是无旋。为此，将欧拉运动微分方程做变换：在欧拉运动方程第一式中加减

第一节理想流体的运动微分方程（5）上述兰姆运动微分方程中只要流动便为无旋，如果其中一个不等于零，流动为有旋。第五章流体动力学的基本原理第一节理想流体的运动微分方程第二节理想不可压缩流体运动基本方程组第三节理想流体运动微分方程组的封闭和定解问题第四节理想流体运动微分方程的积分——伯努利方程第五节流体动力学的积分方程第六节伯努利方程、动量方程、动量矩方程的应用第二节理想不可压缩流体运动基本方程组1、理想、不可压缩流体三元流动基本微分方程组第二节理想不可压缩流体运动基本方程组2、理想、不可压缩流体二元流动的基本微分方程组第二节理想不可压缩流体运动基本方程组3、理想、不可压缩流体一元流动的基本方程曲线坐标下的一元流动微分方程重力场中的一元流动微分方程第五章流体动力学的基本原理第一节理想流体的运动微分方程第二节理想不可压缩流体运动基本方程组第三节理想流体运动微分方程组的封闭和定解问题第四节理想流体运动微分方程的积分——伯努利方程第五节流体动力学的积分方程第六节伯努利方程、动量方程、动量矩方程的应用第三节理想流体运动微分方程组的封闭和定解问题1、理想流体运动方程组的封闭问题a、理想流体的任何流动必须满足连续性方程和运动微分方程组，且方程组要封闭。b、连续性方程和运动微分方程组共计四个方程。在这四个方程中发现有五个未知数，方程组不封闭需增添封闭方程。c、封闭方程：对于不可压缩流体，密度等于常数，它的封闭方程为：对于正压流体，密度仅是压强的函数，它的封闭方程为：

1）运动学条件——理想流体没有粘性，流体质点的速度与物面只能相切，即流体质点速度不可能有穿越物体表面的法向分量。A、初始条件

——初始条件是对不定常流动问题提出的，即给出某一时刻流场的中各点的所有运动参数值，方程组的解必须满足这一初始条件。第三节理想流体运动微分方程组的封闭和定解问题2、理想流体运动方程组的定解条件问题B、边界条件2）动力学条件——指边界表面上的流体压力条件。根据作用于反作用定律，即流场边界面处流体的压力与固体壁面所受的压力相等。第五章流体动力学的基本原理第一节理想流体的运动微分方程第二节理想不可压缩流体运动基本方程组第三节理想流体运动微分方程组的封闭和定解问题第四节理想流体运动微分方程的积分——伯努利方程第五节流体动力学的积分方程第六节伯努利方程、动量方程、动量矩方程的应用关于欧拉运动微分方程积分最常见的形式有两种：1、定常无旋流动的欧拉积分

2、定常有旋流动的伯努利积分第四节理想流体运动微分方程的积分——伯努利方程一、欧拉积分式和伯努利积分式伯努利方程积分前提条件：1、流动是定常的3、流体不可压缩，流体密度仅与压强有关，为正压流体。2、作用在流体上的质量力有势第四节理想流体运动微分方程的积分——伯努利方程第四节理想流体运动微分方程的积分——伯努利方程A）欧拉积分（定常无旋流动）第四节理想流体运动微分方程的积分——伯努利方程此式说明，对于非粘性的不可压缩流体和可压缩的正压流体，在有势的质量力作用下作定常无旋流动时，流场中任一点的单位质量流体质量力的位势能、压强势能和动能的总和保持不变，但可相互转换。第四节理想流体运动微分方程的积分——伯努利方程B）伯努利积分（定常有旋流动）对有旋流动积分，必须沿某条流线积分。第四节理想流体运动微分方程的积分——伯努利方程此式说明，对于非粘性的不可压缩流体和可压缩的正压流体，在有势的质量力作用下作定常有旋流动时，沿同一条流线上各点单位质量流体质量力的位势能、压强势能和动能的总和保持常数值，但可相互转换。一般说来，在不同的流线上，该常数值是不同的。如果质量力是重力，则。对于不可压缩流体，则第四节理想流体运动微分方程的积分——伯努利方程C）伯努利方程在重力作用下，不可压缩理想流体作定常流动时，对于有旋流动，沿同一条流线单位质量流体的位势能、压强势能和动能的总和保持不变，但可转换；对于无旋流动，在整个流场中机械能保持不变，但相互可以转换。第四节理想流体运动微分方程的积分——伯努利方程二、伯努利方程的意义A、伯努利方程的几何意义伯努利方程中每一项的量纲与长度单位相同，表示单位重力液体所具有的水头。位置水头测压管水头速度水头总水头第四节理想流体运动微分方程的积分——伯努利方程B、伯努利方程的能量意义位置势能压力位能动能总机械能伯努利方程中每一项表示单位重量流体具有的能量总位能第四节理想流体运动微分方程的积分——伯努利方程三、相对运动中的伯努利方程在相对坐标系中：流体质点的运动速度为相对速度流体上的质量力除重力外，还有离心力的作用质量力：第四节理想流体运动微分方程的积分——伯努利方程第四节理想流体运动微分方程的积分——伯努利方程四、非定常有旋流动中伯努利积分第四节理想流体运动微分方程的积分——伯努利方程第四节理想流体运动微分方程的积分——伯努利方程第四节理想流体运动微分方程的积分——伯努利方程上式为不可压缩流体非定常流动瞬刻间眼微小流束的伯努利方程第四节理想流体运动微分方程的积分——伯努利方程第四节理想流体运动微分方程的积分——伯努利方程伯努利方程表达了沿流线压强和速度的变化规律。现在来讨论垂直于流线方向的压强和速度变化是如何变化的。根据牛顿第二定律，列出M点微元体的力平衡方程：由于：一、速度沿流线主法线的变化四、沿流线主法线的速度和压力变化规律第四节理想流体运动微分方程的积分——伯努利方程如果伯努利常数对弯曲流场中所有流线的值都相等，则：或者：(b)(a)由a、b得：积分之：第四节理想流体运动微分方程的积分——伯努利方程二、压强沿流线主法线的变化代入积分，得：曲线流动：直线流动：不计重力的直线流动：(c)(c)中令第五章流体动力学的基本原理第一节理想流体的运动微分方程第二节理想不可压缩流体运动基本方程组第三节理想流体运动微分方程组的封闭和定解问题第四节理想流体运动微分方程的积分——伯努利方程第五节流体动力学的积分方程第六节伯努利方程、动量方程、动量矩方程的应用控制体的定义：控制体是指流场中某一确定的空间区域，区域的周界为控制面。控制体的形状可根据流体流动情况和边界位置任意选定，一旦选定之后，控制体的形状和位置相对坐标系固定不变。第五节流体动力学的积分方程

系统的定义：系统为一团流体质点的集合。系统所包含的流体具有确定的质量，而系统的表面通常在流动的情况下是不断地变形的。第五节流体动力学的积分方程流体系统所具有的物理量对时间的随体导数：第五节流体动力学的积分方程或第五节流体动力学的积分方程

上式为流体系统内物理量对时间的随体导数，输运公式。系统内所具有的某种物理量对时间的随体导数也是由两部分组成的：

当地导数，是控制体内物理量总量的时间变化率：迁移导数，是单位时间流进和流出控制体的某种物理量的差值。或在定常流动条件下，整个系统内部流体所具有的某种物理量的变化率只与通过控制面的流动有关，而不必知道系统内部流动的详细情况。定常流动条件下，

则有

第五节流体动力学的积分方程根据输运公式式中代表单位质量流体，

则系统内流体总质量。

根据流体系统的总质量不会随时间发生变化的质量守恒定律有积分形式的连续性方程A、积分形式的连续性方程第五节流体动力学的积分方程非定常流动情况下：即单位时间内控制体内流体质量的增加或减少等于同时间内通过控制面流入或流出的净流体质量。如果控制体内的流体质量不变，则必然同一时间内流入与流出控制体的流体质量相等。在定场流动条件下，控制体内的流体质量不随时间变化，通过控制面的流体质量通量等于零。

取控制体为包含管壁与任意两个有效截面构成的流管，由于不可能有流体流过壁面，故得：

定常流动条件下：第五节流体动力学的积分方程B、动量方程

式中

代表单位质量流体的动量，则为流体系统的动量，它为矢量。流体系统的随体导数为：根据动量定理：流体系统动量的时间变化率等于作用在流体系统上的外力的矢量和。根据输运公式第五节流体动力学的积分方程式中：为单位质量流体上的质量力，为沿外法线方向作用在上的表面应力。由于时刻流体系统与控制体重合，故上式可写成：右端——表示作用在流体系统上的所有外力的矢量和。左端第一项——是控制体内流体动量随时间变化而产生的力，它反映流体运动的非定常性左端第二项——是单位时间内流体流入和流出控制体的动量之差，它表示流入动量与流出动量不等所产生的力。积分形式的动量方程第五节流体动力学的积分方程定常流动条件：定常流动条件下，控制体内质量力与控制面上的表面力的主矢量之和应等于单位时间通过控制体表面的流体动量通量的主矢量，而与控制体内部的流动状态无关。第五节流体动力学的积分方程C、动量矩方程根据动量矩定理：流体系统动量矩的时间变化率等于作用在流体系统上的外力矩的矢量和，即：

代表单位质量流体的动量矩，则为流体系统的动量矩，它的随体导数为：代入上式，得：积分形式的动量矩方程根据输运公式第五节流体动力学的积分方程定常流动条件下：左端第一项等于零，上式可写成：定常流动条件下积分形式的动量矩方程第五节流体动力学的积分方程

根据能量守恒和转换定律，流体系统中能量的时间变化率应等于单位时间质量力和表面力对系统所做的功加上单位时间与系统交换的热量。单位质量流体的能量，则

流体系统的总能量根据式D、能量方程第五节流体动力学的积分方程对于定比热的完全气体：

重力作用下的一维绝热流：

将方程右端中的表面应力分解为垂直于表面的法向应力

和相切于表面的切向应力

第五节流体动力学的积分方程对于一维管道流动：在整个控制面上的切向应力功率项为零

得下式：

在定常条件下：

由于在管壁上

，上式只需对在流入、流出截面上积分。

在

流出截面上

，在

流出截面上

重力场中的一维绝能定常流积分形式的能量方程第五节流体动力学的积分方程讨论：1、控制面上切向应力做功等于零，并不意味流体内部的切向应力不做功2、控制体内粘性流体间只要有相对运动，切向应力的摩擦功将导致流体的机械能损失。3、流体的机械能损失将转化为热，在与外界物热量交换时，这种热使流体的温度上升，内能提高。第五章流体动力学的基本原理第一节理想流体的运动微分方程第二节理想不可压缩流体运动基本方程组第三节理想流体运动微分方程组的封闭和定解问题第四节理想流体运动微分方程的积分——伯努利方程第五节流体动力学的积分方程第六节伯努利方程、动量方程、动量矩方程的应用第六节伯努利方程、动量方程、动量矩方程的应用伯努利方程的应用伯努利方程的应用1）小孔出流问题：已知:图示一敞口贮水箱,孔与液面的垂直距离为h(淹深).设水位保持不变.求：(1)出流速度v(2)出流流量Q小孔出流：托里拆里公式及缩颈效应已知:图示一敞口贮水箱,孔与液面的垂直距离为h(淹深).设水位保持不变.

(1)设流动符合不可压缩无粘性流体定常流动条件.解：求：(1)出流速度v(2)出流流量Q从自由液面上任选一点1画一条流线到小孔2，并列伯努利方程(a)

小孔出流：托里拆里公式及缩颈效应讨论1：(b)式称为托里拆里(E．Tomcelli,1644)公式,形式上与初始速度为零的自由落体运动一样.(b)式也适用于水箱侧壁平行于液面的狭缝出流。液面的速度可近似取为零v1=0，液面和孔口外均为大气压强p1=p2=0(表压)，由(a)式可得(b)

(2)在小孔出口,发生缩颈效应.设缩颈处的截面积为Ae,缩颈系数ε

(c)

小孔出流量(d)

小孔出流：托里拆里公式及缩颈效应讨论2：上述各式均只适用于小孔情况(孔直径d≤0.1h),对大孔口(d>0.1h)应考虑速度不均匀分布的影响。收缩系数ε与孔口边缘状况有关：实际孔口出流应乘上一修正系数k

<1

(e)

上式中μ=kε,称为流量修正系数，由实验测定。

内伸管ε=0.5,流线型圆弧边ε=1.0.锐角边ε=0.61,伯努利方程的应用2）毕托测速管已知:设毕托管正前方的流速保持为v,静压强为p,流体密度为ρ,U

形管中液体密度ρm

.

求：用液位差Δh表示流速v毕托测速管已知:设毕托管正前方的流速保持为v,静压强为p,流体密度为ρ,U形管中 液体密度ρm.求：用液位差Δh表示流速v(a)

AOB线是一条流线(常称为零流线),

沿流线AO段列伯努利方程设流动符合不可压缩无粘性流体定常流动条件。解：(b)

端点O,v0=0,称为驻点(或滞止点),p0称为驻点压强.由于zA=z0,可得

毕托测速管称为动压强,p0称为总压强AB的位置差可忽略(c)因vB=v,由上式pB=p.在U形管内列静力学关系式

由(c),(d)式可得k称为毕托管系数。由(e)式可得(d)(e)伯努利方程的应用3）文特里管流量计已知:文特里管如图所示求：管内流量Q文特里流量计：一维平均流动伯努利方程已知:文特里管如图所示求：管内流量Q设流动符合不可压缩无粘性流体定常流动条件，截面为A1、A2，平均速度为V1、V2，流体密度为ρ.设解：由一维平均流动伯努利方程移项可得(b)(a)文特里流量计：一维平均流动伯努利方程A1、A2截面上为缓变流，压强分布规律与U形管内静止流体一样，可得

(3),(5)位于等压面上,p3=p5，由压强公式

及(c)(d)将上两式代入(d)式可得

(e)文特里流量计：一维平均流动伯努利方程将(c)、(e)式代入(b)式，整理后可得讨论：当ρ、ρm确定后,Q与Δh的关系仅取决于文德利管的面积比A1/A2，且与管子的倾斜角θ无关.A1、A2截面之间存在收缩段急变流并不影响应用伯努利方程。(f)由连续性方程

代入(f)式,整理后可得大管的平均速度为上式中μ称为流速系数，文特里管的流量公式为

动量方程的应用第六节伯努利方程、动量方程、动量矩方程的应用动量方程的应用1）弯曲喷管受力分析已知:设固定的收缩管的前半部向下弯曲,偏转角为θ,A0=0.00636m2,Q=0.02m3/s,d0=9cm,d3=2cm。出口端水喷入大气，忽略重力作用。求：(1)水流对喷管的作用力F的表达式

(2)若θ=30°,求水流对喷管的作用力

弯曲喷管受力分析：压强合力的影响已知:设固定的收缩管的前半部向下弯曲,偏转角为θ,A0=0.00636m2,Q=0.02m3/s,d0=9cm,d3=2cm。出口端水喷入大气，忽略重力作用，求：(1)水流对喷管的作用力F的表达式(2)若θ=30°,求水流对喷管的作用力

解：1.只包含水流的控制体2.建立如图所示坐标系oxy。3.由一维不可压缩流体连续性方程4.由伯努利方程因p3=0,p0=395332.85pa5.由一维定常流动动量方程设水对喷管的作用力F如图所示。本例中对控制体的合外力包括喷管对水流的反作用力－F和压强合力。作用在控制面上的压强用表压强表示，本例中入口截面压强为p0，方向沿x轴正向；出口截面压强为零：(1)F的表达式为(2)设θ=30°,F在x,y方向的分量式为压强合力动量变化讨论：(1)一般可不必考虑大气压强作用，控制面上压强用表压强即可。(2)力F的方向可任意设定，计算出的数值为正说明假设方向正确。若欲求固定喷管的力，该力通过喷管直接作用在水流上，与本例F大小相等，方向相反。(3)从计算结果来看,喷管受力中压强占主要成分,流体加速造成的动量变化引起的力只占次要成分.当θ角改变时,压强合力保持不变,仅动量变化引起力的改变,且占的比例始终很小.如在Fx中动量变化占的比例在θ=83.62°时为零,在θ=180°时为最大值,占25%.动量方程的应用2）主动脉弓流动已知:图示人主动脉弓,条件及所取控制体CV均前例相同,设血液的密度为ρ=1055kg/m3

求：从控制体净流出的动量流量主动脉弓流动：多个一维出入口动量方程已知:图示人主动脉弓,条件及所取控制体CV均与例B4.2.1相同,设血液 的密度为ρ=1055kg/m3

解：建立坐标系oxy如图所示求：从控制体净流出的动量流量主动脉弓流动：多个一维出入口动量方程讨论：计算结果表明从控制体净流出的动量流量很小，这说明血流对主动脉弓壁的冲击力很小。Δ(mV)y=ρQ1(0.11V2cos16°+0.07V3cos6°+0.04V4cos23°-0.78V5-V1)

=0.1055(0.11×11.6×0.9613+0.07×18.2×0.9945+0.04×8×0.9205

-0.78×24.8-20.4)×10-2

=-0.039N

Δ(mV)x=ρQ1(－0.11V2sin16°+0.07V3sin6°+0.04V4sin23°)=0.1055(-0.11×11.6×0.2756+0.07×18.2×0.1045+0.04×8×0.3907)×10-2净流出控制体的动量流量的x、y坐标分量为

=-1×10–4N

第六节伯努利方程、动量方程、动量矩方程的应用动量矩方程的应用已知:一小型混流离心泵如图。d1=30mm，d2=100mm，b=10mm,n

=4000转/分，。动量矩方程的应用CV1）混流式离心泵求：(1)输入轴矩Ts(2)输入轴功率

求：(1)输入轴矩Ts混流式离心泵：固定控制体动量矩方程

已知:一小型混流离心泵如图。d1=30mm，d2=100mm，b=10mm, n=4000转/分，=3m/s。(2)输入轴功率

解：取包围整个叶轮的固定控制体CV，忽略体积力和表面力。设流动是定常的，由连续性方程可得CV混流式离心泵：固定控制体动量矩方程

Vθ1=0,由欧拉涡轮机方程输入功率为

叶轮旋转角速度为

ω=2πn/60=2π×4000/60=418.88(1/s)

出口切向速度为

Vθ2=ωR2=ωd2/2=418.88×0.1/2=20.94(m/s)

动量矩方程的应用2）洒水器已知:洒水器示意图。R=0.15m,喷口A=40mm2,θ=30°,Q=120