高中数学人教A版第四章圆和方程单元测试 市获奖

第四章圆与方程求圆的方程求圆的方程主要是根据圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法求解，采用待定系数法求圆的方程的一般步骤为：第一步：选择圆的方程的某一形式；第二步：由题意得a，b，r(或D，E，F)的方程(组)；第三步：解出a，b，r(或D，E，F)；第四步：代入圆的方程．注：解题时充分利用圆的几何性质可获得解题途径，减少运算量，例如：圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心与弦的中点连线垂直于弦；两圆相交时，连心线垂直平分两圆的公共弦；两圆相切时，连心线过切点等．已知圆的半径为eq\r(10)，圆心在直线y＝2x上，圆被直线x－y＝0截得的弦长为4eq\r(2)，求圆的方程．【思路点拨】解题流程可为：eq\x(设出圆方程)→eq\x(确定待定系数)→eq\x(根据半径、圆心、弦长的已知条件列方程)→eq\x(求出圆心坐标)→eq\x(写出圆方程)【规范解答】法一设圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝10.因为圆心在直线y＝2x上，所以b＝2a.由方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＝0，,x－a2＋y－b2＝10，))得2x2－2(a＋b)x＋a2＋b2－10＝0，所以x1＋x2＝a＋b，x1·x2＝eq\f(a2＋b2－10,2).由弦长公式得eq\r(2)·eq\r(a＋b2－2a2＋b2－10)＝4eq\r(2)，化简得(a－b)2＝4.②解①②组成的方程组，得a＝2，b＝4或a＝－2，b＝－4.故所求圆的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10.法二设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝10，则圆心为(a，b)，半径r＝eq\r(10)，圆心(a，b)到直线x－y＝0的距离d＝eq\f(|a－b|,\r(2)).由半弦长、弦心距、半径组成的直角三角形得d2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(2),2)))2＝r2，即eq\f(a－b2,2)＋8＝10，所以(a－b)2＝4.又因为b＝2a，所以a＝2，b＝4或a＝－2，b＝－故所求圆的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10.求圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)的圆的方程．【解】法一设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝－4a，,3－a2＋－2－b2＝r2，,\f(|a＋b－1|,\r(2))＝r.))解得a＝1，b＝－4，r＝2eq\r(2).故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.法二过切点且与x＋y－1＝0垂直的直线为y＋2＝x－3，与y＝－4x联立可求得圆心为(1,－4)．故半径r＝eq\r(3－12＋[－2－－4]2)＝2eq\r(2)，于是所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.直线与圆、圆与圆的位置关系直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，圆心和切点的连线垂直于切线．直线与圆相交时，常涉及到弦长问题，弦长的计算有以下两种思路：(1)代数方法：将直线和圆的方程联立得方程组，消元后得到一个一元二次方程，在判别式Δ>0的前提下，可利用根与系数的关系求弦长．(2)几何方法：若弦心距为d，圆半径为r，则弦长l＝2eq\r(r2－d2).解决直线与圆相交问题时，常利用几何方法，即构造直角三角形，利用勾股定理．已知圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l过点P(2,3)且与圆M交于A，B两点，且|AB|＝2eq\r(3)，求直线l的方程．【思路点拨】分斜率存在与不存在两种情况．(1)eq\x(斜率存在)⇒eq\x(设直线l方程)⇒eq\x(利用勾股定理)⇒eq\x(求k)⇒eq\x(直线方程)(2)eq\x(斜率不存在)⇒eq\x(验证)【规范解答】(1)当直线l存在斜率时，设直线l的方程为y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0.作示意图如图，MC⊥AB于C.在Rt△MBC中，|BC|＝eq\f(1,2)|AB|＝eq\r(3)，|MB|＝2，故|MC|＝eq\r(|MB|2－|BC|2)＝1，由点到直线的距离公式得eq\f(|k－1＋3－2k|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝eq\f(3,4).故直线l的方程为3x－4y＋6＝0.(2)当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝2，且|AB|＝2eq\r(3)，所以符合题意．综上所述，直线l的方程为3x－4y＋6＝0或x＝2.已知圆C与圆x2＋y2－2x＝0相外切，并且与直线x＋eq\r(3)y＝0相切于点Q(3，－eq\r(3))，求圆C的方程．【解】设所求圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心C(a，b)与Q(3，－eq\r(3))的连线垂直于直线x＋eq\r(3)y＝0，且斜率为eq\r(3).由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(a－12＋b2)＝r＋1，,\f(|a＋\r(3)b|,2)＝r，,\f(b＋\r(3),a－3)＝\r(3)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝0，,r＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝－4\r(3)，,r＝6.))∴所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4eq\r(3))2＝36.轨迹问题求轨迹方程的步骤：(1)建系设点；(2)列出动点满足的轨迹条件；(3)把轨迹条件坐标化；(4)化简整理；(5)检验．在检验中要排除不符合要求的点，或者补充上漏掉的部分．检验一般有两种：一种是文字说明，一种是式子说明．所谓式子说明，就是用式子注明方程中x或y的取值条件(即范围)，由于式子说明的形式往往比文字说明显得清楚，因此一般采用这种方法．求曲线的方程或者求动点的轨迹方程是解析几何中重要的题型，解答这种问题常用的方法有直接法、定义法、消参法、代入法等．如图4－1，圆O1与圆O2的半径都是1，O1O2＝4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM，PN，(M，N分别为切点)，使得|PM|＝eq\r(2)|PN|，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程．图4－1【思路点拨】由△PMO1与△PNO2均为直角三角形表示出切线长|PM|与|PN|，建立坐标系后，设出P点坐标即可由等式|PM|＝eq\r(2)|PN|求出P点的轨迹方程．【规范解答】如图，以O1，O2所在直线为x轴，线段O1O2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，则O1(－2,0)，O2(2,0)，设动点P的坐标为(x，y)．在Rt△PMO1中，|PM|2＝|PO1|2－1，在Rt△PNO2中，|PN|2＝|PO2|2－1.又因为|PM|＝eq\r(2)|PN|，所以|PM|2＝2|PN|2，即|PO1|2－1＝2(|PO2|2－1)，即|PO1|2＋1＝2|PO2|2，所以(x＋2)2＋y2＋1＝2[(x－2)2＋y2]，整理得x2＋y2－12x＋3＝0，即为所求点P的轨迹方程．已知线段AB的长为3,平面上一动点M到A的距离是到B的距离的两倍,求动点M的轨迹方程．【解】在线段AB上取一点O，使|AO|＝2|OB|，以O点为坐标原点、AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A(－2,0)，B(1,0)．设动点M(x，y)，则有eq\r(x＋22＋y2)＝2eq\r(x－12＋y2)，整理得x2＋y2－4x＝0.即动点M的轨迹方程为x2＋y2－4x＝0.数形结合思想1.数形结合思想在解析几何中的应用极其广泛，利用数形结合的思想解题，能把抽象的数量关系与直观的几何图形建立起关系，从而使问题在解答过程中更加形象化、直观化，而本章的相关知识整体体现了这种思想，即把几何问题代数化，同时利用代数(方程)的思想反映几何问题．2．(1)形如u＝eq\f(y－b,x－b)的最值问题，可借助于图形分析转化为直线斜率的最值问题；(2)形如t＝ax＋by的最值问题，可借助于图形分析动直线斜率的最值问题；(3)形如(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可借助于图形分析动点到定点距离的最值问题．已知圆C：(x＋2)2＋y2＝1，P(x，y)为圆C上任一点．(1)求eq\f(y－2,x－1)的最大值与最小值；(2)求x－2y的最大值与最小值．【思路点拨】结合几何性质求解式子的最值．【规范解答】(1)显然eq\f(y－2,x－1)可以看作是点P(x，y)与点Q(1,2)连线的斜率．令eq\f(y－2,x－1)＝k，如图所示，则其最大、最小值分别是过点Q(1,2)的圆C的两条切线的斜率．对上式整理得kx－y－k＋2＝0，∴eq\f(|－2k＋2－k|,\r(1＋k2))＝1，∴k＝eq\f(3±\r(3),4).故eq\f(y－2,x－1)的最大值是eq\f(3＋\r(3),4)，最小值是eq\f(3－\r(3),4).(2)令u＝x－2y，则u可视为一组平行线，当直线和圆C有公共点时，u的范围即可确定，且最值在直线与圆相切时取得．依题意，得eq\f(|－2－u|,\r(5))＝1，解得u＝－2±eq\r(5)，故x－2y的最大值是－2＋eq\r(5)，最小值是－2－eq\r(5).当曲线y＝1＋eq\r(4－x2)与直线y＝k(x－2)＋4有两个相异交点时，实数k的取值范围是()\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,12))) \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(3,4)))\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,12)，\f(3,4))) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,12)，＋∞))【解析】曲线y＝1＋eq\r(4－x2)是以(0,1)为圆心，2为半径的半圆(如图)，直线y＝k(x－2)＋4是过定点(2,4)的直线．设切线PC的斜率为k0，则切线PC的方程为y＝k0(x－2)＋4，圆心(0,1)到直线PC的距离等于半径2，即eq\f(|1＋2k0－4|,\r(1＋k\o\al(2,0)))＝2，k0＝eq\f(5,12).直线PA的斜率为k1＝eq\f(3,4).所以eq\f(5,12)<k≤eq\f(3,4).【答案】C分类讨论思想分类讨论思想是中学数学的基本思想之一，是历年高考的重点，其实质就是整体问题化为部分问题来解决，化成部分问题增加了题设的条件．在用二元二次方程表示圆时要分类讨论，在求直线的斜率问题时，用斜率表示直线方程时都要分类讨论．已知直线l经过点P(－4，－3)，且被圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝25截得的弦长为8，求直线l的方程．【思路点拨】求直线l的方程时，可分直线l的斜率存在与不存在两种情况求解．【规范解答】圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝25的圆心为(－1，－2)，半径r＝5.①当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝－4，由题意可知直线x＝－4符合题意．②当直线l的斜率存在时，设其方程为y＋3＝k(x＋4)，即kx－y＋4k－3＝0.由题意可知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|－k＋2＋4k－3|,\r(1＋k2))))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,2)))2＝52，解得k＝－eq\f(4,3)，即所求直线方程为4x＋3y＋25＝0.综上所述，满足题设的直线l方程为x＝－4或4x＋3y＋25＝0.过点A(4，－3)作圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线方程．【